专题06函数的概念及其表示压轴题(学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高一上学期（人教A版必修第一册）

专题06
函数的概念及其表示压轴题
1.函数的定义域、值域
在函数

y
f x
x
A


，
中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的
，与x 的值相对应的y
值叫做
，函数值的集合

{
|
}
f x
x
A

叫做函数的
．
常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中
不等于零.
(2).偶次根式函数的被开方式
.
(3).一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4).
0
y x
=
的定义域是

0
|
x x 
.
2.构成函数的三要素
函数的三要素为
、
、
.
注意：相等函数
如果两个函数的
相同，并且
完全一致，则这两个函数相等．
（1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对
应关系完全相同时，才表示相等函数．
（2）函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如



2
1
2
1
2
1
f x
x
g t
t
h m
m



＝
,
＝
,
＝
均表示相等函数.
3.函数的表示方法
函数的表示方法有三种：
、
、
.
解析法：一般情况下，必须注明函数的
；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
4．分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段
函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
注意：
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分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的
．
题型一函数的概念
例1.（1）下列选项中表示同一函数的是（
）
A．

0
f
x
x

与
1
g x 
B．

f x
x

与
2x
g x
x

C．

2
(
1)
f x
x


与
1
g x
x


D．

1,
0
1,
0
x
f x
x





与
,
0
( )
1,
0
x x
x
g x
x







(2).已知集合
{
0
4},
{
0
2}
M
x
x
N
x
x






∣
∣
从M 到N 的对应法则f 是函数的是（
）
A．
:
f
x
y
x


B．
2
:
f
x
y
x


C．
:
|
|
f
x
y
x


D．
:
1
f
x
y
x



练习题
(1).下列对应中：
（1）x
y

，其中


2
1,
1,2,3,4
y
x
x



，


10,
y
x x
x
N



；
（2）x
y

，其中
2y
x

，


0,
x
，
R
y
；
（3）x
y

，其中y 为不大于x 的最大整数，x
R

，y
Z

；
（4）x
y

，其中
1
y
x

，
*
xN ，
*
y
N

.
其中，是函数的是（
）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（3）（4）
(2).若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式
为
2
y
x

，值域为

0,1,4,9 的“孪生函数”共有
个.
(3).有以下判断：①
( )
x
f x
x

与
1,
0
( )
1,
0
x
g x
x





表示同一函数；②函数
( )
y
f x

的图像与直线
2
x 
最多有一
个交点；③
( )
3
2
f x
x
x




不是函数；④若点( , )
a b 在
( )
y
f x

的图像上，则函数
(2
)
2
y
f
a
x
b



的图像必过点( , )
a b .其中正确的判断有
．
题型二
函数的定义域
例2.(1)已知函数

11
2
f x
x


，则函数



13
y
f
x
f
x



的定义域为（
）
A．

2,11
B．

2,13
C．

2,15
D．

4,11
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(2).已知
( )
f x 的定义域为

4,1

，则函数


2
2
1
f x
y
x


的定义域为
.
(3).若函数

2
2
x
f x
mx
mx



的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（
）
A．

0,8
B．

8,
C．

0,8
D．



,0
8,



练习题：
(1).若函数
2
2
y
x
ax



的定义域为R，则实数a 的取值范围为
.
(2).已知函数


2
3
f
x 
的定义域为

1,4

，设函数



2
1 2
8
7
f
x
F x
x
x




，则函数

F x 的定义域是
.
(3).已知函数
2
2
2
1
1
x
x
y
f
x
x











的定义域是

1,，则函数

y
f x

的定义域是
．
(4).函数
( )
7
f x
x
x
c




的图象关于直线
3
x 
对称，如果函数


2
y
g x

的定义域是

,2
c
，则函数
( )
y
g x

的定义域是
.
题型三函数的表示
例3.（1）定义两种运算：
2
2
a
b
a
b



，


2
a
b
a
b



，则函数



2
2
2
x
f x
x




的解析式为（
）
A．

2
4
x
f x
x


，




2,0
0,2
x

B．

2
4
x
f x
x


，




, 2
2,
x


C．

2
4
x
f x
x


，




, 2
2,
x


D．

2
4
x
f x
x


，




2,0
0,2
x

（2）.函数
2
2
2
2
1
x
x
y
x
x




的图像大致为（
）
A．
B．
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C．
D．
(3).根据下列条件，求函数

f
x 的解析式；
（1）已知

f
x 是一次函数，且满足




3
1
2
1
2
17
f
x
f
x
x





；
（2）已知函数
( )
f x 为二次函数，且
2
(
1)
( )
2
4
f x
f x
x



，求
( )
f x 的解析式；
（3）已知
3
3
1
1
f
x
x
x
x









；
（4）已知等式





2
1
f
x
y
f
x
y
x
y





对一切实数x ､y 都成立，且

0
1
f
；
（5）知函数

f
x 满足条件

1
2
3
f x
f
x
x








对任意不为零的实数x 恒成立；
（6）已知


2
2
1
1
2
x
f
x
x



，求

f
x 的解析式．
练习题：
(1).根据下列条件，求函数

f
x 的解析式；
（1）已知

f
x 是一次函数，且满足




3
1
2
1
2
17
f x
f x
x





；
（2）已知
3
3
1
1
f
x
x
x
x









；
（3）已知等式





2
1
f
x
y
f
x
y
x
y





对一切实数x ､y 都成立，且

0
1
f
；
（4）知函数

f
x 满足条件

1
2
3
f
x
f
x
x








对任意不为零的实数x 恒成立
（2）．如图所示，在直角坐标系的第一象限内，AOB

是边长为2 的等边三角形，设直线
(0
2)
x
t
t


截
这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为
( )
f t ，则函数
( )
y
f t

的图象大致是（
）
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A．
B．
C．
D．
（3）.某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选
一名代表，则各班推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数
[ ]
y
x

（[ ]x 表示不大于x 的最大
整数，如[ ]
3

，[4]
4

）可表示为（
）
A．
2
[
]
10
x
y


B．
3
[
]
10
x
y


C．
4
[
]
10
x
y


D．
5
[
]
10
x
y


(4)．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（
）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝
2
1
3 x －4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
题型四
函数值与值域
例4.(1)
( )
f x 是定义在R 上的函数，(0)
2
f

，且对任意
R
x
，满足
(
2)
( )
2
f x
f x



，(
6)
( )
6
f x
f x



，
则
(2016)
f

A．2015
B．2016
C．2017
D．2018
(2)．定义在R 上的函数

f
x 满足：①

0
0
f

，②



1
1
f
x
f
x


，③

1
3
2
x
f
f
x






，且当
1
2
0
1
x
x



时，




1
2
f
x
f
x

，则
1
1
3
8
f
f












等于（
）
A．1
B．3
4
C．2
3
D．
1
2
(3).已知函数
1
( )
(1
2),
f x
x
x



则函数
2
( )
2 ( )
(
)
g x
f x
f x


的值域为（
）
A．[3,2
2 2]

B．5
[ ,3]
4
C．9
[
,3]
16
D．1
[
2,3]
2 
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(4)．已知g(x)＝ax＋a，f(x)＝
2
2
1,0
2,
, 2
0,
x
x
x
x








对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则
a 的取值范围是(
)
A．[－1，＋∞)
B．[－4
3 ，1]
C．(0,1]
D．(－∞，1]
(5).已知函数

1
1
f x
x
x




．
（1）求函数

f
x 的定义域和值域；
（2）设



2
2
2
a
F x
f
x
f x








（a 为实数），求

F x 在a<0时的最大值
g a ；
（3）对（2）中
g a ，若

2
2
2
m
tm
g a




对a<0所有的实数a 及


1,1
t 
恒成立，求实数m 的取值范围．
练习题：
(1).函数

1
f x
x

的定义域为

0,4 ，则函数



2
2
y
f
x
f
x




的值域为
．
(2)．
x 表示不超过x 的最大整数，如

3,1
3

，
5
5

，

4.2
5

，已知0
1
m

且满足
1
2
3
2021
21
2022
2022
2022
2022
m
m
m
m


































，则

674m 
.
(3)．（1）求函数

6
3
f x
x
x



在区间

2,4 上的值域.
（2）已知二次函数
2
( )
1(
R)
f x
x
mx
m
m





.函数在区间

1,1

上的最小值记为( )
g m ，求( )
g m 的值域；
题型五创新提升能力题
1.存在函数

f
x 满足：对任意
R
x
都有（
）
A．

2
1
f
x
x


B．

2
2
1
f
x
x
x



C．

2
1
1
f x
x



D．

2
2
1
f
x
x
x



2．函数

y
f x

的解析式为

2
2
3
1
f x
x
x


，值域为

0,1,2,3 ，则符合要求的函数

f
x 的个数为（
）
A．16 个
B．945 个
C．2025 个
D．1 个
3.在实数集R 中定义一种运算“”，具有下列性质：
①对任意a，bR ，a b
b a



；
②对任意a R ，
0
a
a


；
③对任意a，bR ，





2
a b
c
c
ab
a c
b c
c









．
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则函数





2,2
2
x
f x
x
x



的值域是（
）
A．

,5

B．
9 ,5
8







C．9 ,
8





D．

5,5

4.已知定义在R 上的函数

f
x ，对于给定集合A ，若
1
2
,
R
x x


，当
1
2
x
x
A


时都有




1
2
f
x
f
x
A


，
则称

f
x 是“ A 封闭”函数.则下列命题正确的是（
）
A．

2
f x
x

是“

1,1

封闭”函数
B．定义在R 上的函数

f
x 都是“
0 封闭”函数
C．若

f
x 是“
1 封闭”函数，则

f
x 一定是“
k 封闭”函数

*
N
k 
D．若

f
x 是“

,a b 封闭”函数

*
,
N
a b
，则

f
x 不一定是“

ab 封闭”函数
5.对于函数

f
x ，若


0
0
f x
x

，则称
0x 为

f
x 的“不动点”，若


0
0
f
f x
x





，则称
0x 为

f
x 的“稳定点”，
函数

f
x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即



|
A
x f
x
x


，



|
B
x f
f x
x






，那么，
（1）求函数

3
8
f x
x

的“不动点”和“稳定点”；
（2）求证：A
B

；
（3）若



2
1
,
f x
ax
a x
R



，且A
B

，求实数a 的取值范围．
1.函数

f
x 满足：
,
(
,0)
(0,
),
(
)
( )
( ) 1
x y
f xy
f x
f y








恒成立.若

8 =2
f
，则


4 =
f 
（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
2.已知函数

2
0,
1,
1,1
2,
5,
2,
x
f x
x
x
x
x












若



1
f
f a
，则

a
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
3.已知函数

f
x 满足：对任意的非零实数x，y，都



1
1
f x
y
f x f
y
x
y









成立，

1
2
f

.若


1
f n
f n


，nZ ，则n （
）
A．3

B．2

C．2
D．3
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4.已知函数

2
2
1
x
f x
x


,则






1
2
2015
2016
f
f
f
f



1
1
1
1
2
3
2015
2016
f
f
f
f




























的值为
A．
1
2012 2
B．
1
2013 2
C．
1
2014 2
D．
1
2015 2
5.已知函数
1
f x
的定义域为[1,7]，则函数
2
(2 )
9
h x
f
x
x



的定义域为（
）
A．[4,16]
B．(
,1]
[3,
)



C．[1,3]
D．[3,4]
6.已知函数

f
x 的定义域为R ，值域为

0, 

，且




2
1
,
2
2
f
x
y f
x
y
f
x
f









，函数




g x
f x
f
x



的最小值为2，则
6
1
2
k
k
f








（
）
A．12
B．24
C．42
D．126
7．已知

3
f x
x
x


，a ，b ，
R
c
且
0
a
b


，
0
a
c


，
0
b
c


，则



f a
f b
f c


的值一定（
）
A．大于零
B．等于零
C．小于零
D．正负都有可能
8.根据下列条件，求函数

f
x 的解析式；
（1）若

f
x 满足



2
3
f x
f
x
x



，则

f x ____________；
（2）已知函数

f
x 满足，对任意不为零的实数x ，

1
2
3
f
x
f
x
x








恒成立.
（3）已知
3
3
1
1
f
x
x
x
x









；
（4）已知等式





2
1
f
x
y
f
x
y
x
y





对一切实数x ､y 都成立，且

0
1
f
；
9.已知函数

f
x 对任意x 满足：



3
2
4
f x
f
x
x



；二次函数
g x 满足：1
4
g
且
g x 的图象与x
轴交于点

1,0

与

3,0 .
(1)求

f
x ，
g x 的解析式；
(2)若


,
x
m n

时，恒有


f x
g x

成立，求n
m

的最大值.
10．已知函数
2
( )
2,
R




f x
x
ax
a
．
(1)若不等式
( )
0
f x 
的解集为[1,2] ，求不等式
2
( )
1
f x
x

的解集；
(2)若对于任意
[ 1,1]
x
，不等式
( )
2 (
1)
4
f x
a x



恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)已知
( )
g x
x
m

，当
3
a 时，若对任意
1
[1,4]
x 
，总存在
2
(1,8)
x 
，使



1
2
f x
g x

成立，求实数
m 的取值范围．
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11．已知函数
2
2
1
( )
x
f x
x


(1)求函数
( )
y
f x

的值域；
(2)若不等式
2
3
( ) 1
x f x
kx
x


在
1 ,1
4
x





上恒成立，求实数k 的取值范围；
(3)当


1 1
,
0,
0
x
m
n
m n









时，函数
( )
( )
1(
0)
g x
tf x
t



的值域为

2
3 ,2
3
m
n


，求实数t 的取值范围.
12.设函数
1
g x
x

，函数
1
3
h x
x


，


3,
x
a

，其中a 为常数，且
0
a 
，令函数

f
x 为函数
g x
和
h x 的积函数.
（1）求函数

f
x 的表达式，并求其定义域；
（2）当
1
4
a 
时，求函数

f
x 的值域
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