文档文本内容
专题04 基本不等式及其应用
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 考点统计..........................................................................................................................................4
04 知识点梳理......................................................................................................................................5
知识点一：基本不等式............................................................5
知识点二：基本不等式的应用......................................................5
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................7
题型一：基本不等式的概念与应用..................................................7
题型二：直接法求函数最值........................................................7
题型三：配凑法求最值............................................................7
题型四：换元消元法求最值........................................................8
题型五：常数 “1” 的代换求最值.................................................8
题型六：基本不等式的实际应用....................................................8
题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题..........................................9
06 模拟题精练.................................................................................................................................... 11
1
2
3
近3 年（2023—2025 年）高考中，基本不等式作为高中数学高频工具性考点，考查形式、
分值及难度保持稳定，核心围绕公式应用与综合能力展开，适配新高考与全国卷命题趋势。
考查形式以选择、填空题为主，偶见解答题第一问，分值稳定在5—8 分，难度集中在基础至
中档，侧重考查学生的运算求解与逻辑推理能力。
核心考点始终聚焦“一正二定三相等”的应用，高频考查配凑定值、“1”的代换、消元
法求最值，同时兼顾不等式变形与条件判断。2023 年多结合圆锥曲线、解三角形综合考查范
围求解；2024 年侧重“1”的代换变形，偶与导数结合考查函数最值；2025 年新增实际应用场
景，涉及生活优化问题建模，同时延续恒成立问题的考查。
整体命题重基础、重应用，避免复杂技巧，强调基本不等式的工具性，常与函数、向量、
解析几何等知识交汇，突出对数学核心素养的考查，命题趋势稳定且贴合考纲要求。
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知识点一：基本不等式
如果
，那么
，当且仅当
时，等号成立．其中，
叫作
的算术平均
数，
叫作
的几何平均数．即正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
，则
，当且仅当
时取等号；
基本不等式2：若
，则
（或
），当且仅当
时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
知识点二：基本不等式的应用
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
特例：
（
同号）．
（3）其他变形：
①
（沟通两和
与两平方和
的不等关系式）
②
（沟通两积
与两平方和
的不等关系式）
③
（沟通两积
与两和
的不等关系式）
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知
．
5
（1）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
（2）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：
，当且仅当
时等号成立；
模型二：
，当且仅当
时等号成立；
模型三：
，当且仅当
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时
等号成立．
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题型一：基本不等式的概念与应用
【例1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】设
，若
，
，
，则下列关系式中
正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026·广西柳州·二模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：直接法求函数最值
【例2】（24-25 高三上·贵州·月考）若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．
C．7
D．
【变式2-1】若实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．18
B．6
C．
D．
【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【变式2-3】已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：配凑法求最值
【例3】（25-26 高三上·北京·月考）若
，则函数
的最小值为 ，此时
.
7
【变式3-1】已知
，则
的最小值是 ．
【变式3-2】（25-26 高三上·吉林长春·月考）已知
，
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】函数
的最小值为 ．
【变式3-4】（25-26 高三上·河南驻马店·开学考试）已知
，则
的最大值为
．
【变式3-5】已知
，则函数
的最小值是 ，此时
.
题型四：换元消元法求最值
【例4】（22-23 高三上·福建泉州·期中）函数
在
上的最大值为 ．
【变式4-1】函数
的最小值为 ．
【变式4-2】已知
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2026·福建泉州·二模）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：常数 “1” 的代换求最值
【例5】（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
【变式5-1】（2026·湖北十堰·一模）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式5-2】（25-26 高三上·甘肃张掖·期末）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式5-3】（25-26 高三上·河北保定·期中）设
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
8
题型六：基本不等式的实际应用
【例6】设计用
的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A．
B．8
C．16
D．
【变式6-2】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合
理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为
180 元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为
，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高
应为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【变式6-3】某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为
，第二年的增长率为
，第三年的增长率为
，
这两年的平均增长率为
（
均大于零），则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题
【例7】已知实数
，
，
，且
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【变式7-1】已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是
【变式7-2】（25-26 高三上·北京西城·月考）若
，不等式
恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】若
，使得
成立是真命题，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
9
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1．（25-26 高三上·甘肃兰州·期末）若
，则
的最小值等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（25-26 高三上·安徽马鞍山·月考）若
，且
，则
的最大值（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三上·江苏·学业考试）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·山东烟台·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·福建厦门·期中）已知实数
满足
，则
最小值为（ ）
A．4
B．8
C．
D．
10．下列说法正确的是（ ）
①不等式
的解集为
．
②若
，则函数
的最小值为2
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③不等式
的解集是
．
④当
时，不等式
恒成立，则k 的取值范围是
A．①②③④
B．①②③
C．②③④
D．③④
11．已知
，则下列不等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）（25-26 高三上·江苏盐城·期末）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·上海·期末）已知正实数
满足
，则
的最小值为 ．
14．（25-26 高三上·全国·月考）已知
，
，且
，则xy 的取值范围是 ．
15．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数
，
满足
，则
的最大值为 .
16．若
，则
的最小值为 ．
17．（25-26 高三上·河南·月考）设a，b 为正数，且
，则
的最小值为 ．
18．（25-26 高三上·天津河西·月考）已知正实数
满足
，则
的最小值为 .
19．已知正数
满足
，则
的最小值为 ．
20．做一个体积为
，高为2 m 的长方体纸盒，当底面的边长为 m 时，用纸最少．
21．（2025·上海黄浦·一模）若正数
满足
，则
的最小值为 ．
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