文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3.4 对数运算及对数函数（精练）
1．（2023·四川）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数
，
，
的一个是
（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【答案】B
【解析】因为
，
（3）是
，（4）是
，又
与
关于
轴对称，
（1）是
．故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时
，即函数图象恒过
.故选：A
3．（2023·陕西）在同一平面直角坐标系中，函数
，
且
的图象可能是
（ ）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于AB，若
图象正确，则
，
单调递减，
又
时，
，A 正确，B 错误；
对于CD，若
图象正确，则
，
单调递增，CD 错误.故选：A.
4．（2023·江苏无锡·高三统考期末）函数
的部分图象大致为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
变形为
，定义域为
，
，故
为偶函数，关于y 轴对称．
当
时，
，
时，
，排除BC，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
时，
，故排除D，A 正确.故选：A．
5．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的解集是
，反之不成立.
所以“
”是“
”的必要不充分条件．故选：B
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）设
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，即
；
，即
；
，即
，
则a，b，c 的大小关系为
.故选：D．
7．（2023·内蒙古乌兰察布）函数
（
）在
上的最大值是（ ）．
A．0
B．1
C．3
D．a
【答案】C
【解析】因为
，所以该函数是单调递增函数，所以
，故选：C
8．（2023·江西）已知函数
的最大值与最小值的差为2，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】C
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】由题意得
在
上为单调递增函数，所以
，
，
所以
，解得
，
又
，所以
.故选：C
9．（2023·北京海淀·校考三模）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具
有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练
迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
，衰减速度为
，且当训
练迭代轮数为
时，学习率为
，则学习率衰减到
以下（不含
）所需的训练迭代轮数至少为（参
考数据：
）（ ）
A．75
B．74
C．73
D．72
【答案】C
【解析】由题设可得
，则
，
所以
，即
，
所以所需的训练迭代轮数至少为
次．故选：C．
10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）2023 年1 月底，人工智能研究公司OpenAI 发布的名为
“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能
的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型
为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练
迭代轮数，
表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训
练迭代轮数为12 时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（
）（参考数据：
）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．36
B．37
C．38
D．39
【答案】A
【解析】由已知，得
，所以
，则有
，即
，即
，
即
，因此G 至少为36.故选：A.
11．（2023·黑龙江哈尔滨）已知正实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．9
C．13
D．18
【答案】D
【解析】由题意正实数
满足
，则
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时取得等号，即
的最小值是18，故选：D
12．（2023·云南怒江）（多选）下列函数的图象过定点
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】根据题意，在每个选项中令
，
选项A 中，
，故函数图象过点
，A 正确.
选项B 中，
，故函数图象不过定点
，B 错误.
选项C 中，
，
，故
，故图象不过定点
，C 错误.
选项D 中，
，故函数图象过点
，D 正确.故选：AD.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2023 春·内蒙古呼和浩特）（多选）已知
是R 上的单调递增函数，
则实数a 的值可以是（ ）
A．4
B．
C．
D．8
【答案】AC
【解析】因为
是R 上的单调递增函数，
所以
，解得
，即
，故选项A 正确，选项D 错误；
因为
，且
，所以选项B 错误，选项C 正确.故选：AC
14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】AB 选项，易知
，
，
因为
，所以
，A 错误，B 正确；
CD 选项，因为
，
，所以
，D 正确，
故
，C 正确.
故选：BCD
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
定义域为
，则函数
的定义域为
______.
【答案】
【解析】因为函数
定义域为
，由
得
定义域为
则函数
的定义域满足
，解得
定义域为
.
故答案为：
.
16．（2023·广西）函数
的定义域为
，则实数m 的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数
的定义域为
，
得
，
恒成立．
当
时，
，成立；
当
时，需满足
于是
．
综上所述，m 的取值范围是
．
故答案为：
.
17．（2023·江苏）函数
的值域是__________．
【答案】
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】令
，则
，
因为
，所以
的值域为
，
因为
在
是减函数，所以
，
所以
的值域为
，故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】对任意的
，
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因为函数
的值域为
，则
，
所以，
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
19．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数
的图象不过第四象限，则实数a 的取值范围
为________．
【答案】
【解析】函数
的图象关于
对称，其定义域为
，
作出函数
的大致图象如图所示，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由图可得，要使函数
的图象不过第四象限，
则
，即
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.故答案为：
.
20．（2023·全国·高三对口高考）已知
，方程
的实根个数为__________．
【答案】2
【解析】由
，则
，则令
，
，
分别作出它们的图象如下图所示，
由图可知，有两个交点，所以方程
的实根个数为2．故答案为：2．
21．（2023 春·江苏常州）已知函数
的图象恒过定点
，若点
在角
的终边
上，则满足条件的
值可以为_________.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
（答案不唯一）
【解析】对于函数
，
令
，可得
，此时
，即
，则
，
因为点
在第二象限，故
为第二象限角，故
.
故答案为：
（答案不唯一）.
22．（2023·黑龙江）若函数
在
上是严格减函数，则实数
的取值范围为
________．
【答案】
【解析】因为
在
上是严格减函数，所以要满足：
，解得：
，所以实数
的取值范围是
故答案为：
23．（2023 春·河南平顶山）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】函数
在
上单调递增，
依题意，
，
，且
在
上单调递增，
因此
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：
24．（2023·云南昆明·）函数
的最大值为________.
【答案】
【解析】
，
故当
时，
.
故答案为:
.
25．（2023 春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数
是R 上的奇函数，则a 的值为
_____．
【答案】
．
【解析】∵
是奇函数，∴
，
恒成立，∴
，
时，
的定义域均为
，满足题意，
故答案为：
．
26．（2023 春·江苏泰州·）化简求值：
(1)
；
(2)
；
(3)
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（4）
.
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
（4）
(5)
(6)
【解析】（1）原式
（2）
；
（3）
.
（4）
.
（5）
.
（6）
.
1．（2023·山西运城）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【解析】对于函数
，有
，解得
且
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
，函数
为奇函数，排除CD 选项，
当
时，
，则
，排除B 选项.
故选：A.
2．（2023·安徽黄山·统考三模）“
”是“函数
在区间
上单调递增”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令
，
，
若
在
上单调递增，
因为
是
上的增函数，
则需使
是
上的增函数且
，
则
且
，解得
.
因为
⫋
，故
是
的必要不充分条件，
故选：C.
3．（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取
值范围是（ ）
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由对数函数的定义可知，
且
，
当
时，
单调递增，
，故
因为
，则
，
所以
，解得
，
与
求交集，得到
，
当
时，
单调递减，
，故
，
由于当
时，
，故此时无解，
综上：实数
的取值范围是
.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数
有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意
且
，所以
，解得
或
，综
上可得
，
令
的根为
、
且
，
，
，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若
，则
在定义域上单调递增，
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数不存在最小值，故舍去；
若
，则
在定义域上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数在
取得最小值，所以
；故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数
有最大值，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，要使函数
有最大值，
则内层函数
要有最小正值，且外层函数
为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数
要有最小正值，
则
，解得
．
综合得a 的取值范围为
．
故选：B.
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2023·全国·高三专题练习）若不等式
在
内恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，由
，可得
，则
，
又由
，此时不等式
不成立，不合题意；
当
时，函数
在
上单调递减，
此时函数
在
上单调递增，
又由
在
上单调递增，
要使得不等式
在
内恒成立，
可得
，解得
.
故选：A.
7．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数
，则函数
的图象与两坐
标轴围成图形的面积是（ ）
A．4
B．
C．6
D．
【答案】A
【解析】已知函数
，定义域为
，
又
.
因此函数
的图象关于点
成中心对称，
又
，且点
与点
也关于点
成中心对称，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由基本初等函数的单调性可得函数
在区间
上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是
.
故选：A.
8．（2023 春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感
与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用
的水泡制，再等到茶水温度降至
时饮用，可以产生
最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初
始温度是
，经过
后的温度是
，则
，其中
表示环境温度，表
示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是
，放在
的室温中，
以后茶
水的温度是
，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到
，参考
数据
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得方程组：
，化简可得：
，所以
，
大约需要放置
能达到最佳饮用口感．
故选：B.
9．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【解析】由
可得：
，
则
，
所以函数
是偶函数，则函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，
又
时，
在
上单调递增，则
在
上单调递减，
若
，则
，
即
，所以
或
，解得：
或
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数
（a＞0，且
）的定义域为
，值域为
．若
的最小值为
，则实数a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
因为函数
在
的值域为
，则
，即
，
由
，得
，则有
或
，
当
时，
，有
，
当
时，
，有
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令方程
的两个根为
，如图，
因此在
上函数
取得最小值0，最大值1，且
最小时，
，
于是
，解得
或
，而
的最小值为
，
则有
或
，解得
或
，
所以实数a 的值可以是
或
，即BC 满足，AD 不满足.
故选：BC
11．（2023 春·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）函数
的值域是实数集
R，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数
的值域是实数集R，则
能取遍
内
所有的数.
，
当
时，
，即
在R 上单调递减．
当
时，
；
当
时，
．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
这表明，
的值域为R，当然可取遍
的所有值．
当
时，令
，则
，
由
解得
；由
解得
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
，
所以
成立，令
，
在
上单调递增且
，故
.
综上：
.
故答案为：
.
12．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数
，若
，则
的
取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为函数
，定义域为
，且
，
则
，
即
，即
为奇函数，
当
时
，
，
均单调递增，所以
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
是奇函数且在
上单调递增，
由
，可得
，则
，解得
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
22
