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3.4 对数运算及对数函数（精讲）
一．对数的概念
（1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对
数的底数，N 叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
常用对数
将以10 为底的对数叫做常用对数
把log10N 记为lg N
1
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自然对数
将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数
把logeN 记为lnN
二．对数的性质与运算性质
(1)对数的运算法则
如果a>0 且a≠1，M >0，N >0，那么
log
①
a(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n R)
∈
；④logamMn＝logaM．
(2)对数的性质：①aloga
N＝N；②logaaN＝N(a>0 且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b 均大于零且不等于1)；
log
②
ab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad．
三．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
当x>1 时，y>0；当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
四.反函数
指数函数y＝ax(a>0 且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．
一．对数运算
1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
2.将同底对数的和、差、倍合并．
3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
二．对数函数的图象
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
2
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故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
三．比较对数值大小的方法
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
四．简单对数不等式
1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化
为一般不等式求解．
2.对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1 和a>1 进行分类讨论．
3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
五．盘点易错易混
1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；
2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．
考法一 对数的运算
【例1-1】（2023·广东潮州）求值：
(1)
；
(2)
(3)
；
(4)
.
3
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【答案】(1)
(2)6 (3)2 (4)4
【解析】（1）
.
（2）
，
因为
，所以
.
（3）
.
（4）
.
【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，则log 32的值为________．
【答案】
【解析】由题意3b＝7，所以log37＝b．
所以log32＝log＝＝＝＝．
【一隅三反】
1．（2023 广东湛江）计算：
(1)
；
(2)
(3)
(4)
4
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(5)
．
(6)已知
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2) (3)3 (4)
(5)
(6)
【解析】（1）
；
（2）
．
（3）原式
（4）原式=
（5）
5
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；
（6）
..
考法二 对数函数的三要素及定点
【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·全国·高三对口高考）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）函数
有意义，则有
，即
解得
，所以函数
的定义域是
.故选：D
（2）
有意义满足
，即
，
，
解得
，故选：D
【例2-2】（1）（2023 春·云南保山）函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
6
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（2）（2023·全国·高三专题练习）设
，则
值域是_______
（3）（2023·山东）已知函数
若
存在最小值，则实数a 的取值范围是
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）因为函数
的值域为
，
所以，
为函数
的值域的子集，所以，
，解得
.
（2）设
，则
，于是
.
设
，根据二次函数性质，
时，
关于
单调递减；
根据对数函数性质，
在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，
在
上单调递减，
而
，于是
值域是：
.
故答案为：
（3）∵函数
∴当
时，
的范围是
；当
时，
，
，
由题意
存在最小值，则
，解得
.故选：D．
【例2-3】（2023·山东德州）函数
的图象恒过点P，若角
的终边经过点P，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】令
，则
，即
，所以
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数
恒过定点
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由题意可知
，则
，
当且仅当
，
时，
的最小值为
，故选:A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则函数
的定义域是
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使
有意义，则
，
即
，解得
，所以函数
的定义域为
，
要使
有意义，则
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：B
8
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3．（2023·湖北）已知函数
（
，且
）在
上的值域为
，则实数a 的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，则
在
上单调递减，则
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递增，则
，
又因为
的值域为
，所以
，解得
．
故选：A．
4．（2023·浙江）已知函数
且
，若函数
的值域是
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，函数在
上单调递增，
在
上单调递减，所以
，即
；
若函数
的值域是
，则需当
时，
．
当
时，
在
上单调递增，
此时
，不合题意；
当
时，
在
上单调递减，
此时
，即
，则
，
9
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所以
，显然
，解得
，又
，所以
．
综上所述，实数
的取值范围是
．
故选：B
考法三 对数函数的单调性及应用
【例3-1】（2023·安徽）函数
的单调递减区间为_________
【答案】
【解析】函数分为内外层函数，设
，
，
令
，得
，内层函数
，在区间
单调递增，在区间
单调递减，
外层函数
单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，
函数在区间
单调递减.故答案为：
【例3-2】（1）（2023 春·云南）已知函数
在
上为减函数，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·山西）函数
在
上是单调递增的，则此函数在
上是（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．先增后减
D．先减后增
（3）（2023·北京）若函数
对任意
都有
，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
10
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C．
D．
【答案】（1）C （2）B （3）D
【解析】（1）令
，对称轴为
，
因为函数
是正实数集上的减函数，
所以要想函数
在
上为减函数，
只需函数
在
上为增函数，且
在
上恒成立，
所以
，且
，解得
.故选：C
（2）当
时，
，设
，则
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上是单调递增的，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
当
时，
，
设
，则
，
，
因为
在
上单调递增，
函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，故选：B.
（3）由
得，
在R 上是减函数，则有
，解得
.故选：D.
【例3-3】（1）（2023·广东汕头·统考三模）已知
，
，
，则a，b，c 大小为
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
（2）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）
可以看成
与
图象的交点的横坐标为
，
可以看成
与
图象的交点的横坐标为
，
可以看成
与
图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知，
.故选：D.
（2）因为
，
所以
.因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
.故选：A.
【例3-4】（2023 春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知
，则实数a 的取值范围
是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，即
，即
，
又
，即
，故
，即
，
当
时，由
，无解，综上，实数a 的取值范围是
．故选:A．
【一隅三反】
1．（2023 春·河南·）已知函数
，则
的单调增区间为_______.
【答案】
【解析】令
，即
，
由
，则
在
上递增，在
上递减，
综上，
在
上递增，在
上递减，而
在定义域上递增，
所以
的单调增区间为
.
故答案为：
2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数
在区间
上单调递
增，则
的取值范围为______．
【答案】
【解析】令
，则
在
为减函数，
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所以由复合函数的单调性可知
在
上为减函数，则
，解得
，
即
的取值范围为
．故答案为：
3．（2023·河北）已知
在
上单调递减，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若函数
在
上是单调减函数，则
，解得
，
即
，故答案为：
．
4．（2023·北京·高三专题练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
又
，
，所以
，
且
，所以
，所以
.故选：A
5．（2023 春·山西·高三校联考阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
，
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由
，所以
，
由
，而
，则
，所以
，
综上：
，故选：A.
6．（2023·河南）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
,所以
，
故
由
，可得
，
故
，故选：B
考法四 对数函数的奇偶性及应用
【例4】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
因为
为奇函数，所以
，
即
，所以
，
经检验，
满足题意,
所以
，所以
.
故选：B.
【一隅三反】
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1．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）“
”是“函数
是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当函数
为奇函数，
则
，解得
.
所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.
2（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）若
为奇函数，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
为奇函数，所以
的定义域关于原点对称，
显然当
时，
没意义，所以当
时，
也没意义，但
是有意义的，所以
必定是
，即
，
，
，
即
，
则
，是奇函数，
；故选：C.
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3．（2023·甘肃）已知函数
，则
______．
【答案】2
【解析】因为
（
），
所以
，
所以
，
故答案为：2
考法五 对数函数的图像问题
【例5】8（2023·全国·模拟预测）函数
在区间
上的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，且
，所以函数
为奇函数，
故排除A，B．
当
时，
，
，
，所以
；
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当
时，
，
，
，所以
．故排除D．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023·四川自贡·统考三模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，有
，解得
，故函数
的定义域为
，排除AB 选项，
令
可得
，解得
，即函数
只有两个零点，排除C 选项.
故选：D.
2（2023·广东广州·统考三模）函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【解析】易知函数
的定义域为
，
因为
，
所以函数
为非奇非偶函数，排除A；
易知当
时，
，故排除C；
因为
，
，所以
，所以排除D．
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
得
即
，此有方程有两根，故
有两个零点，排除A
选项；
函数
有意义满足
解得
或
，
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当
时函数无意义，排除B、C 选项；
对D 选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当
与及
时，函数
单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数
单调递增，故单调性也符合，所以
的图象可能是
D；
故选：D
考法六 对数函数的综合运用
【例6-1】（2023·四川凉山）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程
度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认
识与了解．例如：地震时释放出的能量
（单位：
）与地震里氏震级
之间的关系为
，
年
月
日，我州会理市发生里氏
级地震，它所释放出来的能量是
年年初云南省丽江市宁蒗
县发生的里氏
级地震所释放能量的约多少倍（ ）
A．
倍
B．0.56 倍
C．
倍
D．0.83 倍
【答案】A
【解析】设里氏
级、
级地震所释放的能量分别为
、
，则
，
上述两个等式作差可得
，则
，故
.故选：A.
【例6-2】（2023 春·湖北）（多选）已知函数
,下列说法正确的是( )
A．若
定义域为R,则
B．若
值域为R,则
C．若
最小值为0,则
D．若
最大值为2,则
【答案】BCD
【解析】对于A，若函数
定义域为R,则
恒成立,
20
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当
时,
恒成立,满足题意,
当
时,则有
,解得
,
所以实数
的取值范围为
,故选项A 错误；
对于B，若函数
值域为R,则
能取尽大于零的所有实数，
当
时,
,不满足题意，
当
时,则有
,解得
，
所以若
值域为R,则
,故选项B 正确；
对于C，若函数
最小值为0,则
有最小值1，
由二次函数的图象和性质得
,解得
,故选项C 正确;
对于D，若函数
最大值为2,则
有最大值4,
由二次函数的图象和性质得
,解得
,故选项D 正确.
故选:BCD.
【一隅三反】
1．（2023 春·四川宜宾）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．
例如，地震时释放出的能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为：
．
年
月
日，我国汶川发生了里氏
级大地震，它所释放出来的能量约是
年月日我国泸定发生的里
氏
级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据：
，
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设里氏
级、里氏
级地震释放的能量分别为
、
，
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则
，即
，
所以，
.
故选：B.
2．（2023·广东清远）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的单调递减区间为
C．
是增函数
D．
的值域为
【答案】ACD
【解析】对于A，由
且
，得
，故
的定义域为
，A 对；
对于B，区间
不在定义域内，B 错；
对于C，
函数
在
为增函数，
函数
在
为增函数
故函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间，C 对；
对于D，
在
为增函数,
真数能取遍所有大于0 的数，故值域为R，D 对.
故选：ACD.
3．（2023·高一课时练习）关于函数
，有以下四个命题：①函数
在区间
上是
单调增函数；②函数
的图象关于直线
对称；③函数
的定义域为
；④函数
的值
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域为
.其中所有正确命题的序号是________.
【答案】①②④
【解析】函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，所以①正确；
函数
，函数的图象关于直线
对称，所以②正确；
函数
的定义域是
，所以③不正确；
函数
，函数的值域是实数集，所以④正确.
故答案为：①②④.
4（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆
与直线
相切，函数
过定点
，过点
作圆
的两条互相垂直的弦
，则四边形
面积的最
大值为__________.
【答案】5
【解析】由题意圆
与直线
相切，
圆心为
，半径为
，
函数
过定点
如图连接OA、OD 作
垂足分别为E、F，
，
四边形OEMF 为矩形，
已知
，
，
设圆心O 到AC、BD 的距离分别为
、
，
则
四边形ABCD 的面积为：
，
23
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从而：
，
当且仅当
时即
取等号，
故四边形ABCD 的面积最大值是5，
故答案为：5.
24
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25
