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专题07 三角函数的图象与性质综合
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
1
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2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
知识点2 函数Asin(ωx＋φ)
1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
0
－A
0
知识点3 三角函数图象变换
由函数y＝sin x 的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
一、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z 不可以忽略．
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【典例1】（2022·全国·高三专题练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
且
C．
D．
或
【答案】C
【解析】由
，得
，
∴
且
．
∴函数
的定义域为
．故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】
，
，解得
，
对于
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
∴不等式组的解为：
或
∴
的定义域为
故答案为：
【典例3】（2022·全国·高三专题练习）函数
定义域为（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
【答案】B
【解析】由函数式知：
，
∴
，即
.故选：B.
二、三角函数值域或最值的3 种求法
1、直接法：形如y＝asin x＋k 或y＝acos x＋k 的三角函数，直接利用sin x，cos x 的值域求出；
2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k 的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，确定ωx＋φ 的范围，
根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
3、换元法：
（1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k 的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
（2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数
求值域(最值)
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）
的最小值为 .
【答案】
【解析】
，
所以当
，
时，
取得最小值
.故答案为：
．
【典例2】（2022 秋·江西·高三校联考阶段练习）函数
在区间
上的最小值是
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以当
时，函数
.
4
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【典例3】（2022 秋·重庆·高三重庆一中校考）函数
的最小值是
．
【答案】
【解析】
，
令
，则
，且
，
，
∴
，
，
∴当
时，
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
【典例4】（2022·全国·高三专题练习）函数
，
的值域为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
，
则当
时，
，
当
时，
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
三、求三角函数单调区间的2 种方法
1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单
调性列不等式求解；
2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
5
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【典例1】（2023·全国·模拟预测）将函数
的图象上各点向右平移
个单位长度得函
数
的图象，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将
的图象向右平移
个单位长度后，
得到
，即
的图象，
令
，
，
解得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
.故选：C.
【典例2】（2023·吉林·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数
单
调递减的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
对于A，当
时，
，
单调递增，A 错误；
对于B，当
时，
，
没有单调性，B 错误；
对于C，当
时，
，
单调递减，C 正确；
对于D，当
时，
，
没有单调性，D 错误.故选：C
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【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】根据正切函数的单调性可得，欲求
的单调增区间，
令
，
，解得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
，故选：A.
四、已知单调区间求参数范围的3 种方法
1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。
【典例1】（2023 秋·重庆·高三统考开学考试）已知函数
在区间
上是单
调的，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
令
，可得对称轴方程
，
函数
在区间
上是单调的，
,且
，
，
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即
，
函数
在区间
上是单调的，
所以
，即
，
又
，可得
或
，故选：C.
【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，所以
，
又
，所以
， 且函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，即
的取值范围为
.故选：D
【典例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
在
内是减函数， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
内是单调函数，
所以最小正周期
，即
，所以
.
又函数
在
内是减函数，则根据复合函数单调性判定知
.
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综上，
.故选：B.
五、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b 的形式．常见的结论有：
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【典例1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数
为奇函数，则
的最小值
为 .
【答案】
【解析】因为函数
为R 上的奇函数，
所以
，所以
，所以
，
又
，所以
的最小值为
.
【典例2】（2022 秋·重庆·高三重庆实验中学校考期中）已知函数
是偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．1 或-1 D．
【答案】B
【解析】由函数
得，
，
，其中
，
.故选：B.
【典例3】（2022 秋·河南·高三郑州外国语学校校考）已知
，则“函数
的图象关于
轴对称”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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【答案】B
【解析】
关于
轴对称，则
关于原点对称，
故
，
，故
是可以推出
，
，
但
，
推不出
，
故函数
的图象关于
轴对称是
的必要不充分条件故选：B
六、三角函数对称性问题的2 种求解方法
1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x
轴的交点，即函数的零点；
2、公式法：
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；
（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；
（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
【典例1】（2023 秋·重庆·高三万州第二高级中学校考）函数
图象的对称轴是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
由
，得
，
所以函数
图象的对称轴是
.故选：A
【典例2】（2023·陕西安康·统考一模）设函数
的图象的一个对称中心为
，
则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】根据题意得
，
，则
，
又
，则
，
，
对于A，若
是
的最小正周期，则
，得
，与
矛盾，故A 错误；
对于B，由
得
，满足条件，故B 正确；
对于C，由
得
，与
矛盾，故C 错误；
对于D，由
得
，与
矛盾，故D 错误.故选：B.
【典例3】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，那么
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
的图象关于点
对称，
，即
，
令
，可得
的最小值为
．
七、三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：
（1）A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
（2）ω 的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
（3）φ 的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．
图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值；
（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
【典例1】（2023·四川南充·统考三模）已知点
是函数
的一个对称中心，
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则为了得到函数
的图像，可以将
图像（ ）
A．向右平移
个单位，再向上移动1 个单位 B．向左平移
个单位，再向上移动1 个单位
C．向右平移
个单位，再向下移动1 个单位 D．向右平移
个单位，再向下移动1 个单位
【答案】A
【解析】因为点
是函数
的一个对称中心，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
所以要得到函数
的图像则只需将
图像：
向右平移
个单位，再向上移动1 个单位，故选：A.
【典例2】（2023·西藏林芝·校考模拟预测）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
故为了得到
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.故选:B.
易错点1 忽视正、余弦函数的有界性
点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
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【典例1】（2022·全国·高三专题练习）函数y＝cos2x－sin x 的值域是
【答案】
【解析】
，
，当
时取最大值
，
当
时，取最小值
；
故答案为：
.
【典例2】（2023 春·河丘·高三临颍县第一高级中学校联考）函数
的最小值为（
）
A．
B．0 C．2 D．6
【答案】B
【解析】因为
，
设
，
，则
，
，
由二次函数性质可知当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得最小值0，
故
的最小值为0．故选：B.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设
，则
的最小值为
.
【答案】
【解析】设
，由
，得
，
又由
，得
，
所以
，
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令
，
，
当
时，
时，即当
时，
原函数取到最小值
.
故答案为：
.
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）求函数
的值域．
【答案】
【解析】由题知，
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以函数
的值域为
.
易错点2 三角函数单调性判断错误
点拨：对于函数y=A sin(ωx+ϕ)来说，当
时，由于内层函数
是单调递增的，所以函数
y=A sin(ωx+ϕ)的单调性与函数y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x 的单调性来解决；
但当
时，内层函数
是单调递减的，所以函数y=A sin(ωx+ϕ)的单调性与函数
y=sin x 的单调性正好相反，就不能按照函数y=sin x 的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将
的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】函数
，
故求函数
的单调递增区间即可，
令
，解得
故选：A
【典例2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
，
，则
的单调递
增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】
可化为
，
故单调增区间：
，
，
解得
，
.
令
，
，令
，
.
，所以
的单调递增区间是
.故选：D
易错点3 图象变换的方向把握不准
点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，
平
移的量为
，
平移的量为
。
【典例1】（2023 春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考）函数
的图象经过下列哪个变换可以得到
的图象，这个变换是（ ）
A．先将函数
的图象向左平移
个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2 倍
B．先将函数
的图象向左平移
个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的
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C．先把函数
的图象上每个点的横坐标缩小为原来的
，再将图象向左平移
个单位
D．先把函数
的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2 倍，再将图象向左平移
个单位
【答案】B
【解析】先将函数
的图象向左平移
个单位得到
，
再把
图象上每个点的横坐标缩小为原来的
，
得到
，即
.故选：B
【典例2】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）为了得到函数
的图象，只需把余弦曲线
上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
B．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
C．向右平移
，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
D．向右平移
，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
【答案】BC
【解析】函数
的图象向右平移
个长度单位，得
，
再将横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变)，得
；
函数
图象将横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变)，得
，
再向右平移
个长度单位，得
，即
.故选：BC
【典例3】（2023 春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考）已知函数
的部
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分图象如下所示，其中
，为了得到
的图象，需将（ ）
A．函数
的图象的横坐标伸长为原来的
倍后，再向左平移
个单位长度
B．函数
的图象的横坐标缩短为原来的
后，再向右平移
个单位长度
C．函数
的图象向左平移
个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的
倍
D．函数
的图象向右平移
个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的
倍
【答案】D
【解析】依题意，
，解得
，故
，则
，
而
2，故
，
而
，故
.
将函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到
，
再将横坐标伸长为原来的
倍，得到
.故选：D.
易错点4 用零点确定
的
,忽略图象的升降
点拨：确定φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时
与x 轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x 轴
的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【典例1】（2023 秋·广东深圳·高三开学校联考）已知函数
的图象大致如图，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】由题意得
，解得
，
当
时，
，解得
，故
，
将
代入可得，
，
故
，解得
，
则
，
所以
；
当
时，
，解得
，
故
，将
代入可得，
，
故
，解得
，
则
，
，
综上：
.故选：C
【典例2】（2023 春·陕西安康·高三安康中学校考）已知函数
的
部分图象如图所示，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象可知
.因为
，所以
，
又
及结合图象可知
.
因为
，
所以由五点法作图可知
，解得
.
因为
，所以
，且
.
又
，所以
，从而
，
因此.故选：C.
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