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6.2 等比数列（精讲）
一．等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q 为非零常数).
(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.此
时G2＝ab.
二．等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1，通项公式的推广：an＝amqn－m.
三．等比数列的前n 项和公式
首项为a1，公比为q 的等比数列的前n 项和Sn＝
四．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n 项和.
1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
1
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2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
3.若等比数列前n 项和为Sn，则Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比数列(m 为偶数且q＝－1 除外)．
4.若或则等比数列{an}递增．若或则等比数列{an}递减．
5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．
①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q；②若共有2n＋1 项，则＝q．
一．等比数列基本量的运算
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
二．等比数列的三种常用判定方法
定义法
若＝q(q 为非零常数，n∈N*)或＝q(q 为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0 且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q 均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n 项和公式法
若数列{an}的前n 项和Sn＝k·qn－k(k 为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
考法一 等比数列的基本量的运算
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知
是各项均为正数的等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．21
B．81
C．243
D．729
【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列
的前
项和为
，且公比
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列
满足
，
，若
，
，则
的值为______.
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列
的各项均为正数，前n 项和
，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．15
D．40
2．（2023 春·北京）已知各项均为正数的等比数列
满足
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
3．（2022·河南安阳）已知
为等比数列，
，则
_________．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知
是等比数列
的前
项和，若存在
，满足
，则数列
的公比为
A．
B．2
C．
D．3
考法二 等比数列的判断与证明
【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列
中，
，
，求证：数
列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
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【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，且
，若
．
(1)证明：
为等比数列．
(2)求
的通项公式．
2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数
的首项
，且满足
，求证
为等比数
列，并求
．
3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列
和
满足
，证明：
和
都是等比数列；
4
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考法三 等比数列的中项性质
【例3-1】（2023 春·江西）在等比数列
中，若
，
，则
（ ）
A．
B．9
C．15
D．7
【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列
，
，
是方程
的两根，则
的值是（ ）
A．
或
B．2 或
C．
D．
【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列
中，
与
是方程
的两个根，
则
_________ .
【一隅三反】
1．（2023 春·辽宁鞍山）若五个数
、
、
、、
成等比数列，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，若
，
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，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知
，向量
与向量
垂直，
，
，2 成等比数列，则
与
的等差中项为（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数
，若
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．6
考法四 等比数列的前n 项和
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【例4-3】（2023 广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之和为所有偶数项之和的
倍，
6
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前项之积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 福建福州）已知等比数列
的前
项和
，前
项和
，则前
项和
（ ）
A．64
B．66
C．
D．
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．41
B．45
C．36
D．43
3．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列
的前n 项和为
，则
__________.
4．（2023·江苏宿迁）已知等比数列
的前
项中，所有奇数项的和为
，所有偶数项的和为
，
则
的值为______．
考法五 等比数列的最值
【例5-1】（2023 春·辽宁鞍山）等比数列
的前n 项积为
，且满足
，
，
，
则使得
成立的最大自然数n 的值为（ ）
A．102
B．203
C．204
D．205
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列
的公比为q，其前n 项和为
，前n 项积为
，并
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且满足条件
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并且满足
条件
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列
的公比为q，其前n 项和为
，前n 项积为
，
并满足条件
，
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．若
，则n 最大为4038．
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列
的公比为
，前
项积为
，若
，且
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，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．当且仅当
时，
取得最大值
C．
D．
考法六 等比数列在实际生活中的运用
【例6】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：
“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里
程是前一天的一半，七天一共行走了
里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经
济”.个体户小王2022 年6 月初向银行借了1 年期的免息贷款8000 元，用于进货，因质优价廉，供不应求.
据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800 元，余款作为
资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023 年5 月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷
款）为（ ）元（参考数据：
，
）
A．35200
B．43200
C．30000
D．32000
2．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗
玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五
人得到的玉米总量为（ ）
A．
斗
B．
斗
C．
斗
D．
斗
3．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17 匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的
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路程．已知第i（
）匹马的日行路程是第
匹马日行路程的1.05 倍，且第16 匹马的日行路程
为315 里，则这17 匹马的日行路程之和约为（取
）（ ）
A．7750 里
B．7752 里
C．7754 里
D．7756 里
10
