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6.4 数列的递推与通项公式
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................3
02 落实主干知识..................................................................................................................................4
一、数列通项公式的常用方法............................................................................................................4
03 探究核心题型..................................................................................................................................6
题型一：直接观察法............................................................................................................................6
题型二：累加法....................................................................................................................................7
题型三：累乘法....................................................................................................................................8
题型四：利用
与
的关系之消
.................................................................................................9
题型五：利用
与
的关系之消
................................................................................................10
题型六：一阶线性递推型
............................................................................................11
题型七：一阶线性递推型
...............................................................12
题型八：含指数幂型递推关系式
............................................................................12
题型九：分式型递推关系式
......................................................................................13
题型十：平方式递推型
......................................................................................................14
题型十一：二阶线性递推关系an+1=pa n+qa n−1（n≥2）...............................................................14
题型十二： 隔项等差型....................................................................................................................15
题型十三：隔项等比型......................................................................................................................16
题型十四：
型.................................................................................................................17
题型十五：利用递推关系求通项......................................................................................................17
题型十六：双数列问题......................................................................................................................19
题型十七：斐波那契数列问题..........................................................................................................20
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................22
05 数学思想方法................................................................................................................................23
①数形结合..........................................................................................................................................23
1
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②转化与化归......................................................................................................................................23
③分类讨论..........................................................................................................................................23
06 （真题、模拟题）......................................................................................................................25
基础过关篇..........................................................................................................................................25
能力拓展篇..........................................................................................................................................25
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1、熟记常见的递推数列类型
2、理解每种递推类型对应的推导逻辑
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一、数列通项公式的常用方法
1、累加法
累加法适用于邻项差结构
利用
，将问题转化为基本数列求和，
从而得到所求数列的通项．以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型：
①若
是关于n 的分式函数，
；
②若
是关于n 的对数函数，
；
③若
是关于n 的无理式函数，
.
④若
是关于n 的一次函数，
，累加后可转化为等差数列求和；
⑤若
是关于n 的二次函数，
，累加后可分组求和；
⑥若
是关于n 的指数函数，
，累加后可转化为等比数列求和；
2、累乘法
累乘法适用于邻项商结构
，
利用
，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
3、构造法
（一）形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数（待定系
数法）得
，即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
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（二）形如
型的递推式：
（1）当
为一次函数类型（即等差数列）时：
设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整
理可得
（2）当
为指数函数类型（即等比数列）时：
设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可
得
类型Ⅵ 对数变换法：
形如
型的递推式：
在原递推式
两边取对数得
，令
得：
，化归为
型，求出
之后得
（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
还有形如
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
形式，化归为
型求出
的表达式，再求
．
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题型一：直接观察法
【例题1】已知无穷数列
的前5 项分别为
，3，
，
，11，则此数列的通项公式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列
，则其前4n 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察
法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有
或者
部分．②考虑各项的
变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方
、
与
有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
【变式1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列
的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，
，
称为三角形数，第二行的，
，，
称为正方
形数，第三行的，，
，
称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
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【变式2】将正整数如图排列，第
行有
个数，从1 开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为
，再从
开始从右往下碰到5，记为
，接着从
开始，从左往下碰到8，记为
.依此类推，按左右左右往
下，碰到的数分别记为
，构成数列
.则
（ ）
A．59
B．60
C．61
D．62
【变式3】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从
第三行起，每一行的第三个数，
，
，
，
，构成数列
，其前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：累加法
【例题3】（湖北省重点高中智学联盟2024-2025 学年高三10 月联考数学试卷）若对任意正实数
，都有
，
，且有
，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题4】已知数列
首项
，
，则使得
成立的最大正整数n 是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【解题总结】
数列有形如
的递推公式，且
的和可求，则变形为
，
利用叠加法求和.
【变式4】记
为数列
的前
项积，且
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式5】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】数列
满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：累乘法
【例题5】（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第
项与前几项或者后几项的关系，计算出数
列的任一项．若数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题6】在数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．2025
D．5050
【解题总结】
数列有形如
的递推公式，且
的积可求，则将递推公式变形为
，利用叠乘法求出通项公式
.
【变式7】数列
满足
，
，数列
的前n 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8】若数列
满足
，则
（ ）
A．2
B．6
C．12
D．20
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【变式9】在数列
中，若
，且对任意
有
，则数列
的前30 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：利用
与
的关系之消
【例题7】已知正项数列
的前n 项和为
，
，
，则
．
【例题8】设数列
的前n 项和为
，若
，则
【解题总结】
消
：容易直接求
的情况，可利用
，消去
，转化为等差或等比数列直接求出
【变式10】已知数列
的前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【变式11】记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【变式12】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
，
为数列
的前
项和，且满足
，
．
(1)求
的通项公式：
(2)证明：
．
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【变式13】设
为数列
的前n 项和，且
.
(1)求
；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式14】已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前n 项和为
，求
.
题型五：利用
与
的关系之消
【例题9】记数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)令
，证明：
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
【例题10】已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)证明
是等差数列，并求
的通项公式；
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(3)若
，记数列
的前
项和为
，求
.
【解题总结】
消
：难以直接求
的情况，可利用
，消去
，得出
与
的递推关系式，
先求出
后，从而间接求出
【变式15】已知在数列
中，
，其前
项和
与
满足
．
(1)求证：
为等差数列；
(2)求
的通项公式．
【变式16】已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，求
及
.
【变式17】若数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求证：
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式
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题型六：一阶线性递推型
【例题11】数列
中，
，
，则通项
．
【例题12】已知数列中，
，
，则
．
【解题总结】
①待定系数法，令
，化简整理后与原来的递推式比较系数可知
，于是
，故数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
②由
得，
（n≥2）两式相减，得
，当
时，
数列
是公比为
的等比数列．
【变式18】已知数列
中，
，当
时，
，则
的通项公式为
．
【变式19】设数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
.
【变式20】若数列
的首项
，且满足
，则数列
的通项公式为 .
【变式21】已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
【变式22】在数列
中，
，则
．
题型七：一阶线性递推型
【例题13】已知
，当
时，
，则
的通项公式为
【例题14】已知数列
满足
，则
．
【解题总结】
待定系数法，令
，化简整理后与已知递推式比较系数得
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，解得
,从而转化为
是公比为p 的等比数列.
【变式23】已知数列
中，
，
，
，
为数列
的前项和，则数列
的通项公式
；
.
【变式24】已知在数列
中，
，
，则通项
．
【变式25】已知数列
满足
，且
，
，则数列
的通项公式为
.
题型八：含指数幂型递推关系式
【例题15】已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为 ．
【例题16】数列
满足
，则数列
的通项公式为
．
【解题总结】
待定系数法，令
，化简整理得
，与原递推关系式比较
系数可得
，解得
.对于
，同理可得
．
【变式26】（2025·高三·广东广州·期末）已知数列
满足
，
，
，则数列
的通项公式为 ．
【变式27】（2025·云南·二模）记数列
的前
项和为
，若
，则
.
【变式28】已知数列
的首项为
，且满足
，则
．
题型九：分式型递推关系式
.
【例题17】（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 ．
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【例题18】已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
．
【解题总结】
取倒数+待定系数，两边取倒数可得：
，当
时，可转化为题型一中结构，再待定系
数构造等比数列即可.
【变式29】已知数列
满足
，则数列
的前8 项和
．
【变式30】已知数列
满足
，则
的通项公式为 .
【变式31】已知数列
，则数列
的通项公式
．
【变式32】已知数列
满足
，
，
，则
.
题型十：平方式递推型
【例题19】（2024·高三·河北·开学考试）已知数列
满足
，且
，则
；
令
，若
的前n 项和为
，则
．
【例题20】已知数列
满足
，
.
证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
【解题总结】
取对数法，当数列
和
的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变形（同加减、
同乘除）整理成类似
形式，将等式两边分别取对数降次得到
，数列
即为等比数列.
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题型十一：二阶线性递推关系an+1=pa n+qa n−1（n≥2）
【例题21】（2025·云南昆明·模拟预测）设
为数列
的前n 项和，当
时，
，
已知
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
【例题22】已知数列
中，
，求
．
【解题总结】
找到中间项，通过中间项与前一项和后一项的特征，寻求合理的构造方式解决问题．
【变式33】设
为数列
的前n 项和，
．
(1)求
；
(2)证明：
（i）
；
（ii）
；
(3)求
的通项公式．
【变式34】在数列
中，
，且对任意的
，都有
，求数列
的通项公
式；
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【变式35】已知数列
满足
，且
，
.求数列
的通项公式；
题型十二： 隔项等差型
【例题23】已知
为数列
的前n 项和，
，且
，
，其中
为常数.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)是否存在
，使得
是等差数列？并说明理由.
【例题24】已知数列
的前
项和为
，
，其中
为常数．
（1）证明：
；
（2）是否存在
，使得
为等差数列？并说明理由．
【解题总结】
分奇偶讨论法
【变式36】已知数列
的前n 项和为
，
，
，
，其中
为常数．
(1)证明：
；
(2)是否存在
，使得
为等差数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【变式37】已知数列
的前
项和为
，其中
为常数．
（1）证明：
；
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（2）是否存在
，使得
为等差数列？并说明理由．
题型十三：隔项等比型
【例题25】已知数列
满足
，
，求此数列的通项公式．
【解题总结】
分奇偶讨论法
题型十四：
型
【例题26】已知数列
中，
，求
．
【变式38】（2025·湖南益阳·一模）已知数列
中，
，
，若
，则数列
的
前
项和
.
【解题总结】
用待定系数法．
【变式39】已知数列
满足
，
，则
．
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题型十五：利用递推关系求通项
【例题27】一楼梯有10 级台阶，一个人每步可以走1 级或2 级台阶，则走完这10 级台阶共有多少种不同
的走法？
【例题28】（2025·河南信阳·模拟预测）3 位同学做某种游戏，通过猜拳决定胜利者.3 人每次猜拳都可以
出“石头”“剪刀”“布”中的任意一种，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石
头”.例如，当1 人出“剪刀”，另外2 人出“布”时，出“剪刀”的人即为胜利者；而当1 人出“剪刀”，
另外2 人分别出“布”和“石头”时，无法决定胜利者，猜拳继续进行；当1 人出“剪刀”，另外2 人出
“石头”时，淘汰掉出“剪刀”的人，剩余2 人继续猜拳，赢的人为胜利者.
(1)记第一回猜拳时出“石头”的人数为
，求
的分布列与数学期望；
(2)求在第
回猜拳决出胜利者的概率.
【解题总结】
通过相邻两项的关系递推．
【变式40】将一个圆环分成
个区域，用
种颜色对这些区域进行涂色，要求相邻区域颜
色不同，求不同的涂色方法数
【变式41】某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A 和B 两种方案.方案A 是在每年校庆日这天
向基金账户存入100 万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40 万元，剩余资金用于投
资，预计可实现10%的年收益.方案B 是今年校庆日一次性给基金账户存入1000 万元，校庆日奖励为第一
年奖40 万，每年增加10 万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设
表示第
年校庆后基金账户上的
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资金数（万元）.
(1)对于A、B 两种方案，分别写出
，
及
与
的递推关系；
(2)按两种方案基金连续运作10 年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：
，
）
【变式42】（2025·高三·黑龙江·期中）某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式
分给在座的小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第
条切痕看作直线
，设切
下，最多能切出的块数为
（不考虑大小），如图易知
，
．
(1)试写出
，
，作出对应简图；
(2)这是一个平面几何问题，利用“降维”思想，联想到一条线段被切
下最多能分成
段，由此求出数
列
的通项公式；
(3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和
侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面．若切
下，最多能切出的块数为
，求出
的通项公式，
并指出这时最少需要切几下能分成15 块（不考虑大小）．（已知
）
题型十六：双数列问题
【例题29】已知数列
，
满足：
，
，
，
，
.
（1）证明：数列
为等差数列，数列
为等比数列；
（2）记数列
的前n 项和为
，求
及使得
的n 的取值范围.
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【例题30】已知数列
、
满足
，
，
，
，且
，
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)若
是递增数列，求实数的取值范围.
【解题总结】
消元法．
题型十七：斐波那契数列问题
【例题31】（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：
，
，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．
人们把这样的一列数组成的数列
称为斐波那契数列．并将数列
中的各项除以4 所得余数按原顺序
构成的数列记为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
C．
D．
【例题32】（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数
的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为
，有
，
，前n 项和为
，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ）
A．
B．该数列的前2025 项中能被3 整除的有506 项
C．
D．
【解题总结】
定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列
．
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递推公式：
；
通项公式：
．（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）．
【变式43】（多选题）（2025·高三·江苏镇江·开学考试）1202 年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波
那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，
，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前
面两项的和.记
为该数列的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
为奇数
C．
D．
【变式44】（多选题）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋
称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，
2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为
，则
（
），记
是数列
的前
项和，
是数列
的前
项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【变式45】（多选题）斐波那契数列
，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那
契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以
的递推方法定义，已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式46】（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，
1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前
面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列
称为斐波那契数列，现将
中的各项除以2 所得的余
数按原来的顺序排列，构成的数列记为
，数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，下列
说法正确的是（ ）
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A．
B．若
，则
C．
D．
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1．已知整数数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在数列
中，
，b258e31db5b6e69586cf5c8b93f1e164
N
，则该
数列通项公式为
A．
B．
C．
D．
3．在数列
中，
，
，则
A．
B．
C．
D．
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①数形结合
1．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术
——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线．如图，“举”是屋架BC 的高度
h，点
是屋宽AB 的五等分点，连接AC，在
处下“折”
安置第一榑
，连接
，在
处下“折”
安置第一榑
，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑
的高度
为
A．
B．
C．
D．
2
．
已
知
数
列
满
足
d7c0ad5437415017ec59c35c3fefca08
，
若
，则
A．3
B．8
C．6
D．10
3．记
为数列
的前n 项和，若
，且
的值为1，2，3 的可能性相同，则
是奇数的概
率为
A．
B．
C．
D．
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②转化与化归
4 ．已知函数
，数列
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知数列
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
所有项恒大于等于
B．若
，则
是单调递增数列
C．若
是常数列，则
D．若
，则
是单调递增数列
③分类讨论
6．数列
的前n 项和为
，
的前n 项和为
，
，则数列
（ ）
A．有最大项也有最小项
B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项
D．有最大项但无最小项
7．数列
的前n 项和为
，满足
，
，则
可能的不同取值的个数为
（ ）
A．45
B．46
C．90
D．91
8
．
在
数
列
中
，
，
且
d4bb861e6778f342633af81bd1e529cb
，若
，则
的值可能为
A．8
B．2
C．2 或8
D．1 或8
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基础过关篇
1．（多选题）数列
的通项公式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
.
3．已知数列
的前
项和
，则
的通项公式
.
4．若数列
满足
，则数列
的通项公式
.
5．已知数列
的前n 项和
，则
.
6．已知数列
满足
，
，则
．
7．如图数表满足：（1）第
行首尾两数均为
；（2）表中递推关系类似杨辉三角，下一行除首尾两数外，
每一个数都是肩上两数之和．记第
行第2 个数为
，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递
推关系
，并可解得通项
．
8．记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
9．设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
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(2)求数列
的前n 项和
．
10．记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
11．记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
12．已知数列
的前
项和为
，解决下列问题.
(1)若通项公式为
，求其前
项和
；
(2)若前
项和
，求其通项公式
；
13．已知
，
，求数列
的通项．
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14．在数列
中，
，
，求数列
的通项公式.
15．记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
16．记
为数列
的前
项和．已知
．证明：
是等比数列．
17．已知在数列
中，
且
，求通项公式
．
18．已知
，
，求数列
的通项．
19．已知在数列
中，
，前
项和为
，若
，求数列
的通项
．
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20．在下列条件下，求数列
的通项公式
：
(1)若
，
，求
；
(2)若
，
，求
；
(3)若
，
，求
；
(4)若
，
，求
；
(5)若
，
，求
；
(6)若
，
，求
；
(7)若
，
，求
；
(8)若
，
，求
；
(9)若
，
，求
；
(10)若
，
，求
；
(11)若
，
，求
；
(12)若
，
，求
；
(13)若
，
，求
；
(14)若
，
，求
；
(15)若
，
，求
．
能力拓展篇
1．（2025·上海金山·三模）对于数列
，若存在常数
，对任意的
，都有不等式
成立，则称数列
具有性质
．给出下列两个结论：
①若数列
和
均具有性质
，则数列
也具有性质
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②若数列
和
均具有性质
，则数列
也具有性质
．
则下列判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①为假命题，②为假命题
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列
的前n 项和为
，则“
”是“
既无
最大值也无最小值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025·江西新余·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知
，则
且
B．命题
“
”是真命题
C．
是
的充分条件，则
D．若等比数列
的通项公式为
，则其前
项和
5．（2025·全国·模拟预测）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1 所示．通过观
察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的
角度为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半，
于是该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2 所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心
开始，沿直
线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，其中
，且
与
关于
所在
直线对称，
．若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培
养皿的半径（
，单位：cm）至少为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
6．（多选题）（25-26 高三上·湖南·开学考试）已知
是递增的等比数列，其前
项和为
，若
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
是等比数列
7．（多选题）（2025·广东·模拟预测）记
为数列
的前
项和，若
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．存在数列
，使得
D．存在数列
，使得
8．（多选题）（25-26 高三上·云南保山·开学考试）已知等比数列
中，
，
，
为数列
的前
项和．下列说法正确的是（ ）
A．
或
B．
或
C．若
，则
D．若
，则
9．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．数列
是等差数列
C．
D．
10．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，则（ ）
A．
为等差数列
B．
C．数列
为递增数列
D．数列
的前
项和为
11．（多选题）（2025·全国·模拟预测）甲、乙两人拿两颗质地均匀的正方体骰子做抛掷游戏．规则如下：
由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数（即为10，11，
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12），则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数（即为2，3，4，5，6，7，8，9），就由
对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第
次由甲掷的概率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
13．（2025·云南昆明·一模）已知数列
满足
，
．
(1)若
，
，
成等差数列，求k；
(2)求
．
14．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
，
为
的前
项之积，求证：
．
15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，若数列
满足
，则称数
列
是“方特数列”.
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(1)证明：数列
是“方特数列”；
(2)若数列
是“方特数列”，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，数列
是“方特数列”.
16．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列
满足
，
且
.
(1)若
，且
，求
的通项及前
项和
；
(2)若
，
，则
能否为等比数列?若能，求
；若不能，说明理由.
17．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列
的前
项和为
，若
成等差数列.
(1)求等比数列
的公比
；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
18．（25-26 高三上·江西南昌·开学考试）已知正项数列
满足
．
(1)若
是等比数列，求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前2n 项的和．
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