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2019 年浙江省台州市天台县中考数学模拟试卷（4 月份）
一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）
1．计算﹣6+1 的结果为（ ）
A．﹣5
B．5
C．﹣7
D．7
2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4 次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5 次，那么硬币正
面朝上的概率为（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．已知反比例函数y＝﹣
，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣3，2）
B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3
D．在每一个象限内，y 随x 值的增大而减小
5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10 次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是
S 甲
2＝1.8，S 乙
2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲稳定
B．乙稳定
C．一样稳定
D．无法比较
6．把不等式组：
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2 的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q 的值是（ ）
A．p＝0，q＝0
B．p＝3，q＝1
C．p＝﹣3，q＝﹣9
D．p＝﹣3，q＝1
9．如图，在矩形ABCD 中，AB＝
，AD＝2，以点A 为圆心，AD 的长为半径的圆交BC 边于点E，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚
离家的距离s（m）和放学后的时间t（min）之间的关系如图所示，给出下列结论：
①小刚边走边聊阶段的行走速度是125m/min；②小刚家离学校的距离是1000m；③小刚回到家时
已放学10min；④小刚从学校回到家的平均速度是100m/min
其中正确的个数为是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题（共6 小题，满分30 分，每小题5 分）
11．把多项式3mx﹣6my 分解因式的结果是 ．
12．若P（m+2n，﹣m+6n）和点Q（2，﹣6）关于x 轴对称，则m＝ ，n＝ ．
13．一个不透明的袋中共有5 个小球，分别为2 个红球和3 个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出
两个小球，则摸出两个颜色不同小球的概率是 ．
14．如图，直线PQ 平行于△ABC 的边BC 所在的直线MN，∠ACN 的平分线CE 所在的直线交PQ 于
点D，若∠EDQ＝50°，∠A＝30°，则∠ABC＝ °．
15．如图，点D，C 的坐标分别为（﹣1，﹣4）和（﹣5，﹣4），抛物线的顶点在线段CD 上运动（抛物线随
顶点一起平移），与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左侧），点B 的横坐标最大值为3，则点A 的横坐
标最小值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（20，0），点B 的坐标是（16，0），点C、D 在以OA 为直
径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为 ．
三．解答题（共8 小题，满分80 分）
17．计算：
（1）（﹣0.5）+（﹣
）﹣（+1）
（2）2+（﹣3）2×（﹣
）
（3）
﹣
+|﹣2|﹣（﹣1）2018
18．先化简，再求值：（x﹣2+
）÷
，其中x＝﹣
．
19．如图，已知点E 在△ABC 的边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 相切于点D，且AD 平分∠BAC．
求证：AC⊥BC．
20．在2016 年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若
租用两种车辆合运，10 天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种
车辆完成任务天数的2 倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000 元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多
1500 元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种
租金最少？请说明理由．
21．为了解学生最喜爱的球类运动，某初中在全校2000 名学生中抽取部分学生进行调查，要求学生只
能从“A（篮球）、B（羽毛球）、C（足球）、D（乒乓球）”中选择一种．
（1）小明直接在八年级学生中随机调查了一些同学．他的抽样是否合理？请说明理由．
（2）小王从各年级随机抽取了部分同学进行调查，整理数据，绘制出下列两幅不完整的统计图．请
根据图中所提供的信息，回答下列问题：
①请将条形统计图补充完整；
②估计该初中最喜爱乒乓球的学生人数约为 人．
22．（1）问题发现
在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如
图1 所示，其中DF⊥AB 于点F，EG⊥AC 于点G，M 是BC 的中点，连接MD 和ME．
填空：线段AF，AG，AB 之间的数量关系是 ；
线段MD，ME 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
在任意三角形ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2 所示，
M 是BC 的中点，连接MD 和ME，则MD 与ME 具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；
（3）解决问题
在任意三角形ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3 所示，
M 是BC 的中点，连接MD 和ME，若MD＝2，请直接写出线段DE 的长．
23．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E，F 分别在边AB，AD 上，且∠ECF＝45°，CF 的延长线交BA
的延长线于点G，CE 的延长线交DA 的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH 什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH 的面积S 有变化吗？如果变化．请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH 是等腰三角形的m 值．
24．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m 有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b 与a 的关系式和抛物线的顶点D 坐标（用a 的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN 的面积与a 的关系式；
（3）a＝﹣1 时，直线y＝﹣2x 与抛物线在第二象限交于点G，点G、H 关于原点对称，现将线段GH
沿y 轴向上平移t 个单位（t＞0），若线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求t 的取值范围．
2019 年浙江省台州市天台县中考数学模拟试卷（4 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）
1．【分析】根据有理数的加法法则，|﹣6|＞|1|，所以结果为负号，并把它们的绝对值相减即可．
【解答】解：﹣6+1
＝﹣（6﹣1）
＝﹣5
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的加法，注意区别同号相加与异号相加，把握运算法则是关键．
2．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形．
【解答】解：从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．
3．【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．
4．【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可．
【解答】解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A 正确；
B、图象位于第二、四象限，故B 正确；
C、若x＜﹣2，则y＜3，故C 正确；
D、在每一个象限内，y 随x 值的增大而增大，故D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S 甲
2＝1.8，S 乙
2＝0.7，
∴S 甲
2＞S 乙
2，
∴成绩比较稳定的是乙；
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各
数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤1，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
故选：B．
【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向
右画．＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示．“＜”，“＞”要用空心
圆圈表示．
7．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2 的度数．
【解答】解：如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
8．【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q），
＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q，
＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．
∵乘积中不含x2与x3项，
∴p﹣3＝0，q﹣3p+8＝0，
∴p＝3，q＝1．
故选：B．
【点评】灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
9．
【分析】先利用三角函数求出∠BAE＝45°，则BE＝AB＝
，∠DAE＝45°，然后根据扇形面积公式，
利用图中阴影部分的面积＝S 矩形ABCD﹣S△ABE﹣S 扇形EAD进行计算即可．
【解答】解：∵AE＝AD＝2，
而AB＝
，
∴cos∠BAE＝
＝
，
∴∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝
，∠DAE＝45°，
∴图中阴影部分的面积＝S 矩形ABCD﹣S△ABE﹣S 扇形EAD
＝2×
﹣
×
×
﹣
＝2
﹣1﹣
．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴
影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
10．【分析】由0≤t≤8 所对应的图象表示小刚边走边聊阶段，根据速度＝路程÷时间可判断①；由t＝
0 时s＝1000 的实际意义可判断②；根据t＝10 时s＝0 可判断③；总路程除以所用总时间即可判
断④．
【解答】解：①小刚边走边聊阶段的行走速度是
＝50（m/min），此①错误；
②当t＝0 时，s＝1000，即小刚家离学校的距离是1000m，此②正确；
③当s＝0 时，t＝10，即小刚回到家时已放学10min，此③正确；
④小刚从学校回到家的平均速度是
＝100（m/min），此④正确；
故选：B．
【点评】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表
示的意义是解题的关键．
二．填空题（共6 小题，满分30 分，每小题5 分）
11．【分析】直接提取公因式3m，进而分解因式即可．
【解答】解：3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）．
故答案为：3m（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出关于m，n 的方程组，进而得出答案．
【解答】解：∵P（m+2n，﹣m+6n）和点Q（2，﹣6）关于x 轴对称，
∴
，
解得：
．
故答案为：0，1．
【点评】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆关于x 轴对称点的性质是解题关键．
13．【分析】根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色
不同的情况，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20 种等可能结果，其中取出的小球颜色不同的有12 种结果，
∴两次取出的小球颜色不同的概率为
＝
，
故答案为：
．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表
法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
14．【分析】若要求∠ABC，可以利用三角形内角和定理，也可以利用三角形外角的性质，结合角平分
线的定义和平行线的性质，问题可解决．
【解答】解：方法一：
∵直线PQ 平行于△ABC 的边BC 所在的直线MN，∠EDQ＝50°
∴∠ECN＝∠EDQ＝50°
∵CE 是∠ACN 的平分线
∴∠ACN＝2∠EDQ＝100°
∵∠ACB+∠ACN＝180°
∴∠ACB＝180°﹣∠ACN＝80°
∵在△ABC 中：∠A+∠ACB+∠ABC＝180°（三角形三个内角的和是180°）
∠A＝30°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°
方法二：
∵直线PQ 平行于△ABC 的边BC 所在的直线MN，∠EDQ＝50°
∴∠ECN＝∠EDQ＝50°（两直线平行，同位角相等）
∵CE 是∠ACN 的平分线
∴∠ACN＝2∠EDQ＝100°
又：∠ACN＝∠A+∠ABC（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ABC＝∠ACN﹣∠A°
∵∠A＝30°
∴∠ABC＝100°﹣30°＝70°
【点评】此题重点考查三角形的角的相关计算，能熟练运用三角形的内角和定理、外角性质、角平
分线的定义、平行线的性质是解决问题的基础．
15．【分析】当顶点在D 点时，B 的横坐标最大，此时，DB 两点的水平距离为4，故AB＝8，同样当当顶
点在C 点时，A 点的横坐标最小，即可求解．
【解答】解：当顶点在D 点时，B 的横坐标最大，
此时，DB 两点的水平距离为4，
∴AB＝8，
当顶点在C 点时，A 点的横坐标最小，
∴A 的横坐标最小值为﹣5﹣
•AB═﹣9，
故答案为﹣9．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，涉及到的对称轴位置，求解AB 的长度是本题的关键．
16．【分析】过点M 作MF⊥CD 于点F，则CF＝
CD＝8，过点C 作CE⊥OA 于点E，由勾股定理可求
得MF 的长，从而得出OE 的长，然后写出点C 的坐标．
【解答】解：∵四边形OCDB 是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝16，
过点M 作MF⊥CD 于点F，则CF＝
CD＝8，
过点C 作CE⊥OA 于点E，
∵A（20，0），
∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．
连接MC，则MC＝
OA＝10，
∴在Rt△CMF 中，由勾股定理得MF＝
＝6
∴点C 的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角
形是解题关键．
三．解答题（共8 小题，满分80 分）
17．【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；
（3）直接利用立方根以及绝对值的性质化简各数进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣0.5﹣1.5﹣1
＝﹣3；
（2）原式＝2+9×（﹣
）
＝2﹣
＝
；
（3）原式＝﹣2﹣5+2﹣1
＝﹣6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（
+
）•
＝
•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣
时，
原式＝2×（﹣
）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最
后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．【分析】连接OD，则OA＝OD，∠1＝∠3，OD⊥BC，由AD 平分∠BAC，∠1＝∠2＝∠3，可知
AC∥OD，故∠ACD＝90°．
【解答】证明：连接OD，（1 分）
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3； （3 分）
∵AD 平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，（6 分）
∴OD∥AC； （7 分）
∵BC 是⊙O 的切线，
∴OD⊥BC．
∴AC⊥BC．
【点评】本题考查的是圆切线及角平分线的性质，比较简单．
20．【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意和第（1）问中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设甲车单独完成任务需要x 天，则乙车单独完成任务需要2x 天，
（
）×10＝1
解得，x＝15
∴2x＝30
即甲、乙两车单独完成任务分别需要15 天，30 天；
（2）设甲车的租金每天a 元，则乙车的租金每天（a﹣1500）元，
[a+（a﹣1500）]×10＝65000
解得，a＝4000
∴a﹣1500＝2500
当单独租甲车时，租金为：15×4000＝60000，
当单独租乙车时，租金为：30×2500＝75000，
∵60000＜65000＜75000，
∴单独租甲车租金最少．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．【分析】（1）根据抽样调查的可靠性解答可得；
（2）①先根据A 种类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以C 的百分比求得其人数，
用总人数减去其他种类人数求得D 的人数即可补全图形；
②用总人数乘以样本中D 种类人数所占比例可得．
【解答】解：（1）不合理． 全校每个同学被抽到的机会不相同，抽样缺乏代表性；
（2）①∵被调查的学生人数为24÷15%＝160，
∴C 种类人数为160×30%＝48 人，D 种类人数为160﹣（24+72+48）＝16，
补全图形如下：
②估计该初中最喜爱乒乓球的学生人数约为2000×
＝200 人，
故答案为：200．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质得出结论；
（2）取AB、AC 的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角
形的性质就可以得出四边形AFMG 是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以
得出结论；
（3）取AB、AC 的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF 和MG 相交于H，根据三角形的中位线的
性质K 可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质和勾股定理就可以得出答案．
【解答】解：（1）AF＝AG＝
AB，理由如下：
∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∵在△ADB 和△AEC 中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE，AD＝AE，
∵DF⊥AB 于点F，EG⊥AC 于点G，
∴AF＝BF＝DF＝
AB，AG＝GC＝GE＝
AC．
∵AB＝AC，
∴AF＝AG＝
AB；
MD＝ME，理由如下：
∵M 是BC 的中点，
∴BM＝CM．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，
即∠DBM＝∠ECM．
在△DBM 和△ECM 中，
，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD＝ME；
故答案为：AF＝AG＝
AB；MD＝ME；
（2）MD＝ME，MD⊥ME．
理由如下：
取AB，AC 的中点F，G，连接DF，FM，MG，EG，设AB 与DM 交于点H，如图2，
∵△ADB 和△AEC 都是等腰直角三角形，
∴∠DFA＝∠EGA＝90°，DF＝AF＝
AB，EG＝AG＝
AC．
∵点M 是BC 的中点，
∴FM 和MG 都是△ABC 的中位线，
∴AF∥MG，AF＝DF＝MG，
∴四边形AFMG 是平行四边形，
∴FM＝AG＝GE，∠AFM＝∠AGM，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM 和△MGE 中，
FM＝GE，∠DFM＝∠MGE，DF＝MG，
∴△DFM≌MGE（SAS），
∴MD＝ME，∠FDM＝∠GME．
∴∠BHM＝90°+∠FDM＝90°+∠GME，∠BHM＝∠HMG＝∠DME+∠GME，
∴∠DME＝90°，即MD⊥ME；
（3）线段DE 的长为2
，理由如下：
分别取AB，AC 的中点F，G，连接MF，DF，MG，EG，设DF 和MG 交于点H，如图3，
∵△ADB 和△AEC 都是等腰直角三角形，
∴∠DFA＝∠EGA＝90°，DF＝AF＝
AB，EG＝AG＝
AC．
∵点M 是BC 的中点，
∴FM 和MG 都是△ABC 的中位线，
∴AF∥MG，AF＝DF＝MG，
∴四边形AFMG 是平行四边形，
∴FM＝AG＝GE，∠AFM＝∠AGM，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM 和△MGE 中，
FM＝GE，∠DFM＝∠MGE，DF＝MG，
∴△DFM≌MGE（SAS）．
∴MD＝ME，∠FDM＝∠GME．
∵DF⊥AB 即∠FHM＝90°．
又∵∠FHM＝∠HMD+∠FDM，
∴∠FHM＝∠HMD+∠GME＝∠DME＝90°，
∴△DME 是等腰直角三角形，
在Rt△DME 中，MD＝ME＝2，由勾股定理，得DE＝2
．
【点评】本题考查了三角形综合题，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全
等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性
质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形
是解答本题的关键．
23．【分析】
（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；
（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG 即可解决问题；
（3）①△AGH 的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝
＝4
，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
＝
，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH 的面积不变．
理由：∵S△AGH＝
•AH•AG＝
AC2＝
×（4
）2＝16．
∴△AGH 的面积为16．
②如图1 中，当GC＝GH 时，易证△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴
＝
＝
，
∴AE＝
AB＝
．
如图2 中，当CH＝HG 时，
易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴
＝
＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3 中，当CG＝CH 时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．
在BC 上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝
x，
∴x+
x＝4，
∴m＝4（
﹣1），
∴AE＝4﹣4（
﹣1）＝8﹣4
，
综上所述，满足条件的m 的值为
或2 或8﹣4
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）把M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与a 的关系，可用a 表示出抛物线解析式，化
为顶点式可求得其顶点D 的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关
于x 的一元二次方程，可求得另一交点N 的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N 的位置，画
图1，根据面积和可得△DMN 的面积即可；
（3）先根据a 的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个
公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不
同的公共点时t 的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b 有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+
）2﹣
，
∴抛物线顶点D 的坐标为（﹣
，﹣
）；
（2）∵直线y＝2x+m 经过点M（1，0），
∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，
∴y＝2x﹣2，
则
，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，
∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，
解得x＝1 或x＝
﹣2，
∴N 点坐标为（
﹣2，
﹣6），
∵a＜b，即a＜﹣2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x＝﹣
＝﹣
，
∴E（﹣
，﹣3），
∵M（1，0），N（
﹣2，
﹣6），
设△DMN 的面积为S，
∴S＝S△DEN+S△DEM＝
|（
﹣2）﹣1|•|﹣
﹣（﹣3）|＝
，
（3）当a＝﹣1 时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+
）2+
，
有
，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
∴G（﹣1，2），
∵点G、H 关于原点对称，
∴H（1，﹣2），
设直线GH 平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，
x2﹣x﹣2+t＝0，
△＝1﹣4（t﹣2）＝0，
t＝
，
当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝﹣2x+t，
t＝2，
∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t＜
．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形
的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，
得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分
界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
