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第四章 整式的加减
知识点一 单项式及相关概念
1.
单项式定义
由______或______的______组成的代数式叫做单项式；单独一个数字、单独一个字母也都是单项式。
❌ 注意：含有加减运算（如 𝑥+ 1）、分母中含字母的式子（如
2
𝑥）不是单项式。
2.
单项式的系数
单项式中的数字因数叫作单项式的______。
系数包含前面______号；
𝜋 是______数，算作数字系数，不是字母；
只含字母的单项式，系数为 1 或 ― 1（1 省略不写）。
3.
单项式的次数
单项式中所有字母的指数之______叫做单项式的次数；常数单项式（纯数字）次数为 ______。
知识点二 多项式及整式相关概念
1.
多项式定义
几个单项式的和叫做______。
2.
多项式的项
多项式中的每个单项式都叫做多项式的______；每一项必须自带前面______；不含字母的项叫作
____________。
3.
多项式的次数
多项式里，次数最______项的次数，就是这个多项式的次数。
4.
整式概念
单项式和多项式统称为______。
核心判定：分母不能含有______，分母带字母属于分式，不属于整式。
知识点三 同类项及合并同类项
1.
同类项定义
所含字母完全______，并且相同字母的______也分别相等的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。
✅ 判定要点：与系数大小无关、与字母排列顺序无关。
2.
合并同类项法则
同类项的系数______，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。
口诀：系数相加减，字母指数永不变
3.
合并步骤
① 标记找出所有______；
② 逆用乘法分配律，系数相加；
③ 写出化简结果，不同类项不能合并。
知识点四 去括号法则
依据：乘法分配律
1.
括号前面是正号 ( + )：去掉括号和正号，括号内各项符号都____________；
2.
括号前面是负号 ― ：去掉括号和负号，括号内每一项全都____________（正变负，负变正）；
3.
拓展：括号前有数字因数，要把数字乘进括号内每一项。
知识点五 整式的加减
1.
整式加减运算本质：去括号与合并同类项
2.
通用解题步骤：
① 根据题意列出______；
② 按照去括号法则去掉所有括号；
③ 找出同类项，逐项合并______；
④ 结果化为最简整式（不含同类项）。
3.
求值题型固定流程：先化简，再代入数值计算
优势：简化式子，大幅降低计算出错概率。
4.
常见应用：求两个整式的和、差；化简求值。
易错点1 多项式系数、指数中字母求值
易错提醒
易错点总结
1. 看错题干条件：题目说明“几次几项式、不含某项、最高次项”，抓不住关键条件，乱列式。
2. 系数含参数时，忽略系数整体为0 的情况，漏解、错解。
3. 分不清“项的次数”和“多项式次数”，误把普通项当成最高次项。
4. 忽略隐藏条件：单项式、多项式中字母指数为非负整数，求出负数、分数不会舍去。
注意事项总结
1. 不含某一项 ⇒ 该项系数等于0（核心万能公式）。
2. 多项式次数 = 最高次项的次数，做题先锁定最高次项。
3. 求出参数后必须检验：字母指数必须是非负整数，不符合直接舍去。
4. 含参多项式求值，优先找：次数条件、缺项条件、常数条件列式。
【对点训练】1．已知多项式
2
3
2
3
4
m
x y
xy
x
+
-
+
的次数是5，n 是该多项式二次项的系数，求代数式
3
2m
n
-
的值．
易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
易错提醒
易错点总结
1. 同类项概念记不牢：只看字母相同，忽略相同字母指数必须完全相等。
2. 多个字母同类项，只列一个方程，漏列方程导致少解。
3. 解出字母值后，直接作答，忘记题目要求的是代数式整体的值（如 a+b、a-b）。
4. 混淆 π：把 π 当成字母，误参与同类项指数对比。
注意事项总结
1. 同类项铁律：字母全同、同字母指数全同，系数无关、顺序无关。
2. 几个不同字母就列几个方程，一一对应，不遗漏。
3. 做题步骤：先求字母值 → 再代入所求代数式计算，不要直接写字母答案。
4. π是常数，永远不算字母，不参与同类项对比。
【对点训练】2．已知：
2
2
2
2
4
3
,
3
2
M
x y
xy
N
x y
xy
=
-
=
-
．
(1)计算
2
M
N
-
的值；
(2)若单项式
1 2
6
2
x
a
b
+
-
与
5
2 4
5
y
a b -
是同类项，求
2
M
N
-
的值．
易错点3 整式加减中的无关型问题
易错提醒
易错点总结
1. 看不懂题意：不知道“与某字母取值无关”的含义，无从下手。
2. 化简不彻底，残留同类项未合并，导致系数找错。
3. 只令一次项系数为0，忘记二次项、高次项也要系数为0。
4. 符号错误，合并系数正负搞反，整题答案错误。
注意事项总结
1. 万能结论：与某个字母取值无关 ⇒ 该字母所有项的系数全部为0。
2. 解题固定步骤：先去括号 → 彻底合并同类项 → 令对应系数 =0 → 解方程。
3. 看清题目：与 x 无关、与 y 无关、不含二次项、不含一次项，精准对应系数。
4. 化简必须最简，残留任何一项都会导致题目出错。
【对点训练】3．已知代数式
2
2
3
5
7
3,
2
A
x
xy
y
B
x
xy
=
+
-
-
=
-
+
．
(1)化简：
3
2
3
A
A
B
-
+
；
(2)若
2
|
1|
3
0
x
y
+
+
+
=
，求
3
2
3
A
A
B
-
+
的值；
(3)若
3
2
3
A
A
B
-
+
的值与y 的取值无关，求x 的值．
易错点4 与单项式有关的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会分开找规律：系数符号、系数绝对值、字母指数三项混在一起，找不到通项。
2. 符号规律最容易错：正负交替数列不会用( 1)n
-
或
+1
( 1)n
-
表示。
3. 指数规律数错，第 n 项指数和项数对应关系混乱。
4. 求第 n 项写成具体项，不会写通用通项公式。
注意事项总结
1. 单项式规律三步拆分法：符号、数字系数、字母指数分别找规律。
2. 符号规律：奇数项负、偶数项正用( 1)n
-
；奇数项正、偶数项负用
+1
( 1)n
-
。
3. 指数大多与项数 n 成等差关系，逐次对比列出。
4. 最后必须写出第 n 项通用公式，不能写具体数字式子。
【对点训练】4．有一串代数式：
x
- ，
2
2x ，
3
3x
-
，
4
4x ，…，
19
19x
-
，
20
20x
，…．
(1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律；
(2)写出第2011 个代数式；
(3)写出第n 个，第
1
n +
个代数式．
易错点5 与图形有关的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 只会数前几项，不会提炼通用公式，求第 n 项只能瞎猜。
2. 看错图形变化规律：增加数量、变化节奏判断错误。
3. 图形规律和代数式对应不上，列式结构错误。
4. 不验证，写出公式不代回前3 项检验，隐藏错误无法发现。
注意事项总结
1. 图形规律万能法：数第1、2、3、4 项数量 → 找等差/倍数规律 → 写通项。
2. 优先观察：每次增加几个、是否固定增量。
3. 公式写完必须检验：代入 n=1、n=2 验证是否和原图数量一致。
4. 图形规律最终全部转化为整式表达式作答。
【对点训练】5．如图，四边形ABCD 、四边形CFED 和四边形HGJI 都是正方形，点B、C、F 在同一直线
上，CD为正方形ABCD 与正方形CFED 的公共边，点G 是边CF 上的动点（不与点C、F 重合）．若
BH
HG
=
，
1
HC = ，记阴影部分①的面积为
1S ，阴影部分②的面积为
2
S ，阴影部分③的面积为
3
S ，则
1S ，
2
S ，
3
S 的数量关系为（ ）
A．
1
2
3
S
S
S
+
=
B．
1
2
3
2
S
S
S
+
=
C．
1
2
3
2S
S
S
-
=
D．
1
2
3
2
2
S
S
S
+
=
易错点6 与数字有关的规律探究问题
易错提醒
易错点总结
1. 只会肉眼观察，不会用差值法找数列规律。
2. 正负交替数列符号规律总结错误。
3. 分数规律分子、分母不分开看，整体混乱。
4. 找规律只求具体数值，不会写通用规律式，大题直接扣分。
注意事项总结
1. 数字规律拆分技巧：整数、分数、符号、奇偶分开找规律。
2. 等差规律：后项减前项差固定，通项为一次整式 an+b。
3. 分数规律：分子单独数列、分母单独数列分别求解。
4. 所有规律题最终要求：写出第 n 项代数式，并代入检验。
【对点训练】6．【问题背景】在课本106
P
页的活动2 中，探究了“自然数被3 整除的规律”．以三位数为例，
假设一个三位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c，则可记为abc ，若a
b
c
+
+
能被3 整除，则这个
数能被3 整除．论证过程如下：
100
10
99
9
=
+
+
=
+
+
+
+
abc
a
b
c
a
b
a
b
c ．显然99
9
a
b
+
能被3 整除，因
此，若a
b
c
+
+
能被3 整除，则abc 就能被3 整除．
【拓展探究】同学们继续探究此类问题，在查阅资料后发现了自然数被7 整除的规律：
割尾法：一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2 倍，这样，一次次减下去，如果最
后的结果是7 的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7 整除．
举例1：判断812 是否为7 的倍数的过程如下：81
2
2
77
-
´
=
，因为77 可以被7 整除，所以812 是7 的倍
数；
举例2：判断5994 是否为7 的倍数的过程如下：599
2
4
59159
2 1
57
-
´
=
-
´ =
，
，因为57 不可以被7 整除，
所以5994 不是7 的倍数，其余类似的进行推理．
(1)请使用“割尾法”解决以下两个问题：
①仿照举例2，判断2026 是否可以被7 整除（写出判断过程）；
②若五位自然数m 能被7 整除，m 的后四位数为2026，求m 的所有可能取值．
(2)以三位数为例验证割尾法的正确性，请你试说明：若3
2
+
-
a
b
c 能被7 整除，则三位数abc 能被7 整除．
一、单选题
1．有理数a，b，c 满足
0
a
b
c
+
+
=
，且c
b
a
<
<
，则下列结论正确的是（ ）
A．b
c
>
B．
0
a =
C．
0
abc >
D．c
b
a
+
=
2．有下列说法：①m
-
一定是负数；②若a
a
= - ，则a 是负数；③
2
πm n
-
的系数是1
- ；④多项式
3
2
4
1
x y
xy
y
-
-
- 是四次四项式，其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，长为x 、宽为y 的长方形被分割为7 块，包括5块完全相同的空白长方形和2 块阴影长方形Ⅰ，
Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4 ，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（ ）
A．4
8
y +
B．4
8
x +
C．2
4
y +
D．2
4
x +
4．“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n 按如下规律进行操作：第1 次操作后得到整式串
, ,
m n n
m
-
；第2 次操作后得到整式串
, ,
,
m n n
m
m
-
-
；第3 次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，
都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026 次操作后得到的整式串各项
之和是（ ）
A．n
m
-
B．6
C．2n
m
-
D．0
5．观察下列关于x 的单项式，探究其规律：
3
5
7
9
11
13
3 ,6
9
12
15
18
21
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
，
，
，
，
，
，…，按照上述规律，
第1013 个单项式是（ ）
A．
2025
3039x
B．
2024
2026x
-
C．
2025
3039x
-
D．
2024
2026x
二、填空题
6．下列四个结论中：
①若单项式
2
5
n
m
b a
-
与
4
2
8a b 是同类项，则
2
m
n
=
=
；
②若关于x 的多项式
2
2
2
3
1
6
5
ax
x
x
x
a
-
+
-
+
+
的运算结果中不含
2
x 项，则常数项为1
- ；
③若
0
c
b
a
<
<
<
，则
0
a
b
c
a
c
b
-
-
-
+
-
=
；
④若
0
a
b
c
+
+
=
，且
0
abc ¹
，则
b
abc
b
c
c
a
a
c
c
abc
- -
-
+
+
+
的运算结果只有一种．
其中正确的是_________．（填序号）
7．已知a，b，c 为有理数，且
0
abc >
，
0
a
b
c
+
+
=
，
a
b
c
x
b
c
a
c
a
b
=
+
+
+
+
+
，
a
b
c
abc
y
a
b
c
abc
=
+
+
+
，则
x
y
+
= ______．
8．正整数,a b 都是两位数，将数a 放在数b 的左边组成一个四位数，交换两数,a b 的位置，又得到一个四位
数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数a ，b 是“理想数对”．例如：
46,
35
a
b
=
=
，则
2
4635
3546
33
-
=
，所以46 和35 是“理想数对”．请判断21 和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理
想数对”一共有__________对．
9．如图，将六个长为a，宽为
3
b a
b
¹
的小长方形不重叠地放置在一个大长方形ABCD 中，未被覆盖的部
分（阴影部分）是两个长方形①②，其周长分别为
1
C 和
2
C ，面积分别为
1S 和
2
S ，且
2
1
C
C
-
与
2
1
S
S
-
的数值
相等．边BC 的长为______，
1
2
C
C
+
的值为______．
10．一个三位正整数M，如果满足各数位上的数字各不相同且均不为0，个位上的数字是十位数字减1 之差，
那么称这个数是“三差数”．用这个“三差数”减去各数位数字之和的差，再除以9 的商记为
F M ．例如：
254
M =
，
254
2
5
4
254
27
9
F
-
+ +
=
=
．则
476
F
= ______；如果将一个“三差数”M 的各数位数字放在
任意数位上后可以得到6 个不同的三位数（包含M 本身），把这6 个三位数的和记为
F M ¢ ，且
37
F M
F M
¢ -
为整数，则满足条件的M 的最大值是______．
三、解答题
11．已知两个多项式A 和B，其中
2
1
B
a
ab
= -
+
+ ，小勤在计算
2
A
B
-
时，误看成了“
2
A
B
+
”，求得的结果
为6
2
1
ab
a
-
+ ．
(1)求多项式A ；
(2)若
4
3
2
A
A
B
-
-
的值与a 无关，求b 的值．
12．（1）已知
2
1
1
0
2
a
b
-
+
+
=
，求
2
2
2
2
2
1
2
7
5
2
3
4
4
7
4
7
a
a
ab
b
a
ab
b
æ
ö
-
+
-
+
+
+
ç
÷
è
ø
的值．
（2）已知多项式
4
5
3
2
4
5
6
m
m
A
mx
x
mx
mx
x
+
-
=
-
+
-
-
+ ，
4
4
3
2
4
2
3
4
2
1
m
B
x
x
mx
x
mx
+
=
+
-
+
+
- ，若A
B
+
为五次六项
式，求m 的值．
13．已知：
2
2
2
3
A
a
ab
b
=
-
-
，
2
2
4
6
B
a
ab
b
=
+
-
．
(1)计算2
3
A
B
-
的表达式；
(2)若代数式
2
2
2
6
2
3
5
1
x
ax
y
bx
x
y
+
-
+
-
-
+
-
值与字母x 的取值无关，求代数式2
3
A
B
-
的值．
14．【主题】研究幻方
【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是
一个三阶幻方（图1），将9 个数填在3 3
´ （三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对
角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．
【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9 个数，每个横行，每个
竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3 倍．
小嵊给出了数学证明：
如图2，设这9 个数依次为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，
因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都
记为S ，
则第二行：d
e
f
S
+ +
=
①，
第二列：b
e
h
S
+ +
=
②，
对角线分别：a
e
i
S
+ + =
③，c
e
g
S
+ +
=
④，
将①＋②＋③＋④，得：
4
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
S
+
+ +
+
+
+
+
+ =
M
所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3 倍．
(1)请完成“M ”中小嵊未显示的推理过程．
(2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中a ，b ，c 之间的关
系．
15．阅读下列材料．
我们知道
(
0)
0
0
(
0)
x x
x
x
x x
>
ì
ï
=
=
í
ï-
<
î
，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式
1
2
x
x
+
=
-
时，可令
1
0
x + = 和
2
0
x -
=
，分别求得
1
x = - 和
2
x =
（称1
- ，2 分别为
1
x + 与
2
x -
的零点
值）．在有理数范围内，零点值
1
x = - 和
2
x =
可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
1
x
-
<
；
1
2
x
- £
<
；
2
x ³
，从而在化简
1
2
x
x
+
+
-
时，可分以下三种情况：
①当
1
x
-
<
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
= -
+
-
-
= -
+ ；②当1
2
x
- £
<
时，原式
1
2
3
x
x
=
+
-
-
=
；
③当
2
x ³
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
=
+
+
-
=
- ；
2
1(
1)
1
2
3( 1
2)
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
ì-
+
< -
ï
\
+
+
+
=
- £
<
í
ï
-
³
î
，通过以上阅读，解决问题：
(1)直接写出
3
x -
的零点值是x =；
(2)化简
1
5
x
x
- -
+
；
(3)直接写出代数式
3
2
1
x
x
x
-
+
+
+
+
的化简结果
