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学科网（北京）股份有限公司
2026 年天津市初中学业水平考试
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1 页至第3 页，
第Ⅱ卷为第4 页至第8 页．试卷满分120 分．考试时间100 分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”
上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案
答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12 题，共36 分．
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 计算
的结果等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：
．
2. 下图是一个由
个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
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【解析】
【详解】解：它的主视图是，
．
3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面
个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形 ，根
据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A 选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A
选项符合题意；
B 选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B 选项不符合题意；
C 选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C 选项不符合题意；
D 选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D 选项不符合题意．
4.
年
月
日，
世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达
平方米，创历年之
最．将数据
用科学记数法表示应为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：
．
5. 估计
的值在（ ）
A.
和
之间
B.
和
之间
C.
和
之间
D.
和
之间
【答案】C
【解析】
【分析】先估算出
的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到
的范围．
【详解】解：
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，即
不等式两边同时加1，得
，即
因此
的值在
和
之间．
6. 若点
，
，
都在反比例函数
的图象上，则
，
，
的大小关系是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据k 的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y 随x 的变化规律，即可比较横坐标
的大小．
【详解】∵反比例函数
中，
，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，
随
的增大而减小，
∵点
的纵坐标
，
∴点
在第三象限，可得
，
∵点
、
的纵坐标
都大于
，
∴点
、
都在第一象限，
又∵
，
∴
综上可得
．
7.
的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：
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．
8. 《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，
不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出
钱，少
钱；每人出
钱，少
钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为
，则可以列出的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程．
【详解】解：设人数为
，
∵每人出
钱，还差
钱，
∴羊价可表示为
钱，
∵每人出
钱，还差
钱，
∴羊价可表示为
钱，
∵羊价固定不变，
∴可列方程为
．
9. 计算
的结果等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：原式
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．
10. 如图，在
中，
，
，
是
的角平分线．按以下步骤作图：①
以点
为圆心，适当长为半径作弧，与射线
相交于点
，
；②分别以点
，
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点
；③作直线
，与边
相交于点
．则
的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等边对等角求得
，利用角平分线的定义求得
，利用三角形的外角
性质求得
，由作图知
，据此求解即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
由作图知
，
∴
，
∴
．
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11. 如图，在
中，
，
，将
绕点
顺时针旋转得到
，使点
的对应点
落在边
上，点
的对应点为
，连接
并延长，与
相交于点
，若
，则
的面
积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可知：
，则有
，然后可
得
，则有
，过点
作
，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行
求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
过点
作
，如图所示：
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∴
，
∴
，
∴
．
12. 矩形
中，
，
．动点
从点
出发，以
的速度沿边
、边
向终点
运动；动点
从点
同时出发，以
的速度沿边
、边
向终点
运动．设运动的时
间为
．当
时，点
，
的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当
时，四边形
是平行四边形；
②
的最大面积为
；
③当
的面积为
时，
或
．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次
函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．
【详解】解：①当
时，如图2，
，
，
∴
，
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∴
，
∵矩形
，
∴
，即
，
∴四边形
是平行四边形，①正确；
②当点
在
上，点
在
上，此时
时，如图1，
，
，
∴当
时，
的最大面积为
；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，如图3，
，
，
，
∴当
时，
的最大面积为
；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，如图4，
，
，
，
，
∴
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，
∵
，当
时，
随的增大而减少，
∴不存在最大值，
综上，
的最大面积为
，②正确；
③当点
在
上，点
在
上，此时
时，
又②可知：
，
，
由题意得
，
∴
（负值已舍）；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，
由②可知：
，
由题意得
，
∴
（不符合题意，舍去）；
当点
在
上，点
在
上，此时
时，
，
由题意得
，
∴
（不符合题意，舍去）或
；
综上，当
的面积为
时，
或
，③正确．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B 铅笔）．
2．本卷共13 题，共84 分．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13. 不透明袋子中装有
个球，其中有
个红球、
个黄球、
个白球，这些球除颜色外无其他差
别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解．
【详解】解：所有可能的结果数为
，取出红球的可能结果数为
，则取出红球的概率为
．
14. 计算
的结果为________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
15. 计算
的结果为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即
可．
【详解】
．
故答案为：7．
16. 将直线
（
为常数）向上平移
个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象
限，则
的值可以是________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一，满足
即可）
【解析】
【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到
的取值范
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围，写出一个符合要求的值即可．
【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线
向上平移
个单位长度后，
得到新直线的解析式为
，
∵平移后的直线经过第一、二、四象限，
∴
，
，
解得
，
的值可以取，符合题意（答案不唯一）．
17. 如图，在菱形
中，
，
，连接
．
（Ⅰ）线段
的长为________；
（Ⅱ）点
在边
上，点
在
的延长线上，
与
相交于点
，
为
的中点．若
，则线段
的长为________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以
，又因为
，所以
是等边三角形，由此可
直接得到
的长度．
（Ⅱ）过点
作
，交
于点
， 过
作
于点
，根据等边三角形的性质和判定
先证得
是等边三角形，进而可证得
，可求得
的长度，在
中，
，可求出
的长，最后可利用勾股定理求出
的长．
【详解】解：（Ⅰ）
菱形
，
．
又
，
是等边三角形，
．
（Ⅱ）过点
作
，交
于点
， 过
作
于点
，如图：
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是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
，
，
又
，
，
．
，
．
已知
是
中点，
，
，
由菱形性质得
，即
．
在
中，
，
，
，
．
在
中，由勾股定理：
，
（负值已舍去）．
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18. 如图，在每个小正方形的边长为 的网格中，点
，
均在格点上，点
在网格线上，以
为直径
的半圆经过点B．
（Ⅰ）线段
的长为________；
（Ⅱ）点
在线段
上，点
在线段
上，满足
．请用无刻度
．．．的直
尺，在如图所示的网格中，画出点
，
，并简要说明点
，
的位置是如何找到的（不要求证
明）
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
________．
【答案】 ①.
②. 解法一：如图，取格点
，连接
，与网格线交于点
，连接
，与
交于点
，与半圆相交于点
，连接
，与网格线相交于
，取
与网格线的交点
，连接
并延长，与网格线相交于
，连接
并延长，与
相交于点
，则点
即为所求.
解法二：如图，
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设
分别与格线交于点O，点D，连接
并延长交格线于点E，连接
交
于点M，交格线于
点F，设
交格线于点G，连接
并延长交格线于点
，连接
交半圆于点K，连接
交
于点
N，则点M，点N 即为所求．
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）解法一：连接
，由网格线的特点可得：
为
中点，
为
的中点，可得
，进一步可证明
，可得
，结合
，可
得
，由
为直径可得
，而
，可得
，
，
是中位线，可得
，可得
，
，可
得
，可得
，可得
，结合
，可得
，可得
；
解法二：可证明点O 为
的中点，点D 为
的中点，点D 为
的中点，点G 为
的中点，点G
为
的中点，则可证明四边形
是菱形，得到
；证明四边形
是
平行四边形，进而可证明四边形
是平行四边形，得到
；由圆内接四边形对角互补
可得
，则可证明
，得到
，据此可证明
四点共圆，得到
，则
．
【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得
；
（Ⅱ）解法一：如图，取格点
，连接
，与网格线交于点
，连接
，与
交于点
，与半圆相
交于点
，连接
，与网格线相交于
，取
与网格线的交点
，连接
并延长，与网格线相交
于
，连接
并延长，与
相交于点
，则点
即为所求.
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解法二：如图所示，连接
，取格点P、Q，
可证明
，得到
，则点O 为
的中点，即点O 为半圆的圆心，
同理可得点D 为
的中点，点D 为
的中点，点G 为
的中点，点G 为
的中点，
∴四边形
是平行四边形，
又∵
，
∴四边形
是菱形，
∴
，
，
∴
；
同理可证明四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
；
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∵四边形
是圆内接四边形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
四点共圆，
∴
，
∴
．
三、解答题（本大题共7 小题，共66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）如图：
（4）
【解析】
【分析】（1）利用解一元一次不等式的方法求解即可；
（2）利用解一元一次不等式的方法求解即可；
（3）利用两个不等式的解画图即可；
（4）根据数轴即可写出原不等式组的解集．
【小问1 详解】
解：
，
移项，得
，
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合并，得
；
【小问2 详解】
解：
，
移项，得
，
合并，得
，
系数化为1，得
；
【小问3 详解】
略
【小问4 详解】
解：由数轴可知，不等式组的解集为
．
20. 某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校
名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结
果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：
的值为________，图①中
的值为________，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的
众数和中位数分别为________和________；
（2）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有
名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是
的人数约为多少？
【答案】（1）
，
，
，
．
（2）
（3）
人
【解析】
【分析】（1）根据“部分量
对应占比
总量”可计算
的值；也可将条形图中各组人数相加得到
，因为
扇形统计图各部分占比总和为1，所以用1 减去其余各组的占比得到5 次对应的占比，即
的值，找出出现
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次数最多的出行次数即可求出众数，将所有数据从小到大排序，因为总人数为
，若
为偶数，取中间两个
数的平均数，若
为奇数，取中间位置的数；
（2）使用加权平均数公式，将每次出行次数乘以对应人数后求和，再除以总人数
；
（3）估计总人数中出行6 次的人数：因为样本中出行6 次的人数占比可求，所以用总人数1200 乘以该占
比得到估计值．
【小问1 详解】
解：因为出行3 次共6 人，占比
，
所以
，
因为百分比总和为
，
所以
，
因为出行次数为5 次的人数最多（15 人），因此众数是
．
因为总共有50 个数据，中位数为排序后第25、26 个数据的平均数，排序后第25、26 个数据都是5，因此
中位数是
．
【小问2 详解】
解：根据加权平均数公式：
（人）
答：这组数据的平均数为
．
【小问3 详解】
解：样本中绿色出行次数为6 次的人数占比为
，因此估计全校1200 名学生中：
（人）
答：估计该校周末绿色出行次数为6 次的人数约为
人．
21. 已知点
，
在
上，
，点
在
上，点
在以
，
为端点的优弧上．
（1）如图①，当
为
的中点时，若
，求
和
的大小；
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（2）如图②，当
时，过点
作
的切线
，且
，
与
相交于点
，若
的半径为
，求
和
的长．
【答案】（1）
，
（2）
，
【解析】
【分析】（1）连接
，根据题意可得
，则可得到
，由圆周角定理可得
；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出
的度数，进而可求出
的度数；
（2）连接
，由切线的性质得到
，则由平行线的性质可得
；由勾股定理可求
出
；求出
，则由圆周角定理得到
；可证明
，则
，解直角三角形求出
的长即可．
【小问1 详解】
解：如图①所示，连接
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∵
，
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∴
；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
【小问2 详解】
解：如图②所示，连接
，
∵
与
相切，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
；
∵
的半径为
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
∴
，
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∴
．
22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑
的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点
，
，
，
，
在同一平面内，
，
，
的延长线与水平线
相交于点
．从地面
处沿步道
（看作斜坡）前行，至平台
，
；在平台
处测得纪念碑顶部
的仰角
为
，斜坡
的倾斜角
（
）为
；在平台
处测得纪念碑顶部
的仰角
为
，
．根据该学习小
组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑
的高度（结果取整数）．参考数据：
，
，
．
【答案】引滦入津工程纪念碑
的高度约为
．
【解析】
【分析】分别在
中，得出
，在
中，得出
，再根据
，列式求出
，过点C 作
，垂足为H，在
中，利用
，求出
，再利用四边形
是矩形，结合
，即可求解．
【详解】解：根据题意，有
，
在
中，
，
，
得
，
在
中，
，
，
得
，
∵
，
∴
，
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∴
，
如图，过点C 作
，垂足为H，
在
中，
，
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
即引滦入津工程纪念碑
的高度约为
．
23. 已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家
，体育公园离家
．小杰从家出发，先匀速骑行了
到体育公园，在体育公园停留了
，之后匀速骑行了
到民俗文化馆，在民俗文化馆停留
后，再匀速骑行了
回到家．下面图中
表示时间，
表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）填表：
小杰离开家的时间
小杰离家的距离
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（2）当
时，请直接写出小杰离家的距离
关于时间
的函数解析式；
（3）当小杰离开家
时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了
直接回到家．在
的时段内，对于同一个
的值，小杰离家的距离为
，小杰的爷爷离家的距离为
，当
时，求
的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）填表如下：
小杰离开家的时
间
小杰离家的距离
（2）
（3）
或
或
【解析】
【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家
时离家的距离；再根据图象分别得
到小杰离开家
和
时离家的距离，即可填表；
（2）分三种情况讨论：
、
、
，结合图象，利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意
与
满足一次函数关系，利用待定系数法求出
，再分三种
情况讨论：
、
、
，令
，即可求出
的值．
【小问1 详解】
解：小杰骑行到体育公园的速度为
，
∴当小杰离开家
时，离家的距离为
；
由图象得，当小杰离开家
时，离家的距离为
；
当小杰离开家
时，离家的距离为
；
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填表略；
【小问2 详解】
解：当
时，小杰离家的距离
与时间
的满足一次函数关系，
设
，
代入
和
得，
，
解得
，
∴
；
当
时，由图象得，
，
∴
；
当
时，小杰离家的距离
与时间
的满足一次函数关系，
设
，
代入
和
得，
，
解得
，
∴
；
综上，小杰离家的距离
关于时间
的函数解析式为
；
【小问3 详解】
解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为
，
由题意得，
与
满足一次函数关系，设
，
代入
和
得，
，
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解得
，
∴
；
当
时，
∵
，
∴
，
解得
；
当
时，
∵
，
∴
，
解得
；
当
时，
∵
，
∴
，
解得
；
综上，当
时，
的值为
或
或
．
24. 将一个四边形纸片
放置在平面直角坐标系中，
为原点，点
在
轴的正半轴上，点
，
分别在第一、第四象限，且关于
轴对称，
，
，
．
（1）填空：如图①，点
的坐标为________，点
的坐标为________；
（2）若
为
轴的正半轴上一动点，过点
作直线
轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点
的对应
点
落在
轴的正半轴上．设
．
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①如图②，若直线 分别与边
，
相交于点
，
，当折叠后重叠部分为五边形时，点
，
的对应点分别为
，
，
与
相交于点
，
与
相交于点
．试用含有的式子表示
线段
的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为
，当
时，求
的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
，
（2）①
，
；②
【解析】
【分析】（1）连接
交
轴于点
，然后解
，再根据轴对称的性质即可求解；
（2）①导角得到
，则
，那么
，然后解
，即可求解
，然后找出两个临界位置求
解的取值范围即可；
②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解
的取值范围．
【小问1 详解】
解：连接
交
轴于点
，
∵
，
，
．
∴由对称可得，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵点A，C 关于x 轴对称，
∴
；
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【小问2 详解】
解：①在
中，∵
，
∴
，
由折叠可得，
，
，
，
，
∴
，
∴
∴
∴
，
由
得，
，
在
中，
，得
∴
当点
重合时，如图：
此时由（1）可得，
；
当点
重合时，如图：
此时
，则
，
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∴的取值范围为
；
②当
时，如图，记直线 与
交于点
，重叠部分为
，
此时
，
在
中，
，
∴由对称可得，
，
，
∴
，
∵
，对称轴为直线
∴当
时，
随着的增大而增大
∴
时，
；
时，
，
∴
时，
；
当
，重叠部分为五边形
，延长
交直线于点
，
在
中，
，
∴
∴
，
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∵
∴
∴
，
∴
，
在
中，
∴
∴
∴
，
即
∵
，
，对称轴为直线
，
∴当
时，
取得最大值为
，
当
时，可求
；当
时，可求
，
∴当
时，
；
当
时，重叠部分为
，
此时
，
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在
中，
，
∴
，
∴由对称可得，
，
∴
，
即
，
∵
，对称轴为直线
，
∴当
时，
随着的增大而减小，
∴当
时，可求
；
时，可求
，
∴当
时，
综上：
．
25. 已知抛物线
（
，
，
为常数，
，
）的顶点为
．
（1）当
，
，
时，求点
的坐标；
（2）点
和点
为抛物线与
轴的两个交点，点
为抛物线与
轴的交点．
①当
时，若
，求
的值；
②若点
，
，
为线段
的中点，点
在线段
上（不与点
，
重合），点
在线段
上，且
，当
取得最小值为
时，求
的值．
【答案】（1）点
的坐标为
；
（2）①
的值为6；②
的值为
．
【解析】
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【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解；
（2）①求得顶点
的坐标为
，作
轴于点
，得到
和
都是等腰直角三
角形，推出
，求得
，把
，代入求解即可；
②根据题意求得
，
，作
轴于点
，则
是等腰直角三角形，得到四
边形
是平行四边形，推出
，过点
作
，且
，证明
，得到
，推出
，则当
共线时，
有最
小值，即
有最小值，据此列式计算即可求解．
【小问1 详解】
解：由题意得
，
∴点
的坐标为
；
【小问2 详解】
解：①由题意得
，
对称轴为直线
，
顶点
的坐标为
，
作
轴于点
，
如图，由题意得点
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
解得
（舍去），
，
∵抛物线经过点
，
∴
，
解得
（舍去），
，
∴
的值为6；
②∵点
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为线段
的中点，
，
作
轴于点
，则
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
由题意得
，
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∴四边形
是平行四边形，
∴
，
过点
作
，且
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
共线时，
有最小值，即
有最小值，
∵
，
，
，且
取得最小值为
，
∴
，即
，
解得
，
∴
的值为
．
