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【巩固练习】
一.选择题
1.（2015 春•龙岗区期末）如图，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：
（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．
以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ）
A．（1）（5）（2）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（4）（6）（1）
2. （2016•深圳二模）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个
筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；
②AC⊥BD；③四边形ABCD 的面积=
AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个
D．3 个
3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD 与BC 交于O, AE⊥BC 于E, DF⊥BC 于F, 那么图中全等的
三角形有( )
A. 5 对
B. 6 对
C. 7 对
D. 8 对
4．如图，AB⊥BC 于B，BE⊥AC 于E，∠1＝∠2，D 为AC 上一点，AD＝AB，则（ ）．
A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC
5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B 等于（ ）
A.20° B.30° C.40° D.150°
6. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC 的是（ ）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8 B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D.∠C＝90°，AB＝AC＝6
7. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E 在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；
②AD⊥BC；③EA 平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（ ）
A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个
8. 如图，AE⊥AB 且AE=AB，BC⊥CD 且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围
成的图形的面积S 是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
二.填空题
9. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE 和△ACB 全
等，写出所有满足条件的E 点的坐标 ．
10. 如图，△ABC 中，H 是高AD、BE 的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.
11. 在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E.若AB＝20cm，则△DBE 的周
长为_________.
12. 如图，△ABC 中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm ，则点D 到AB 边的距离是
_______.
13. 如图，Rt△ABC 中，∠B＝90°，若点O 到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.
14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.
15. （2015•黄冈中学自主招生）如图所示，已知P 是正方形ABCD 外一点，且PA=3，PB=4，则
PC 的最大值是
．
16. （2016•抚顺）如图，点B 的坐标为（4，4），作BA⊥x 轴，BC⊥y 轴，垂足分别为A，C，点
D 为线段OA 的中点，点P 从点A 出发，在线段AB、BC 上沿A→B→C 运动，当OP=CD 时，
点P 的坐标为
．
三.解答题
17．如图所示，已知在△ABC 中，∠B＝60°，△ABC 的角平分线AD、CE 相交于点O，
求证：AE＋CD＝AC．
18. 在四边形ABCP 中，BP 平分∠ABC，PD⊥BC 于D，且AB＋BC＝2BD.
求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.
19. 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.
20．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD，
以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF、BD 所在直线的位置关系为
，线段CF、BD 的数量关系为
；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F
不重合），并说明理由．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】解：A、（1）（5）（2）符合“SAS”，能判断△ABC 与△DEF 全等，故本选项错误；
B、（1）（2）（3）符合“SSS”，能判断△ABC 与△DEF 全等，故本选项错误；
C、（2）（3）（4），是边边角，不能判断△ABC 与△DEF 全等，故本选项正确；
D、（4）（6）（1）符合“AAS”，能判断△ABC 与△DEF 全等，故本选项错误．
故选C．
2. 【答案】D；
【解析】△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD 的面积=
=
AC•BD，
故③正确；故选D．
3. 【答案】C；
4. 【答案】B ；
【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC.
5. 【答案】B；
【解析】∠C＝∠E，∠B＝∠FDE＝180°－110°－40°＝30°.
6. 【答案】C；
【解析】A 项构不成三角形，B 项是SSA，D 项斜边和直角边一样长，是不可能的.
7. 【答案】D；
8. 【答案】A；
【解析】易证∴△EFA≌△ABG 得AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC 得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，故S= 1
2 （6+4）×16-3×4-6×3=50．
二.填空题
9. 【答案】（1，5）或（1，－1）或（5，－1） ；
10.【答案】45°；
【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.
11.【答案】20cm ；
【解析】BC＝AC＝AE，△DBE 的周长等于AB.
12.【答案】1.3cm ；
【解析】AD 是∠BAC 的平分线，点D 到AB 的距离等于DC.
13.【答案】135°；
【解析】点O 为角平分线的交点，∠AOC＝180°－1
2 （∠BAC＋∠BCA）＝135°.
14.【答案】4；
【解析】证△ABC≌△CED.
15.【答案】3+4
；
【解析】解：如图，过点B 作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，
则PE=
PB=4
，
∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE 和△CBP 中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴AE=PC，
由两点之间线段最短可知，点A、P、E 三点共线时AE 最大，
此时AE=AP+PE=3+4
，
所以，PC 的最大值是3+4
．
故答案为：3+4
．
16.【答案】（2，4）或（4，2）；
【解析】①当点P 在正方形的边AB 上时，Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D 是OA
中点，∴OD=AD=
OA，∴AP=
AB=2，∴P（4，2），②当点P 在正方形的边BC 上时，同①的
方法，得出CP=
BC=2，∴P（2，4）.
三.解答题
17.【解析】
证明：如图所示，在AC 上取点F，使AF＝AE，连接OF，
在△AEO 和△AFO 中，
,
1
2
,
AE
AF
AO
AO
∴ △AEO≌△AFO（SAS）．
∴ ∠EOA＝∠FOA．
∵ ∠B＝60°，
∴ ∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)
＝180°－1
2 (∠BAC＋∠BCA)
＝180°－1
2 (180°－60°)
＝120°．
∴ ∠AOE＝∠AOF＝∠COF＝∠DOC＝60°．
在△COD 和△COF 中，
,
,
,
COD
COF
OC
OC
OCD
OCF
∴ △COD≌△COF（ASA）．
∴ CD＝CF．
∴ AE＋CD＝AF＋CF＝AC．
18.【解析】
证明：过点P 作PE⊥AB，交BA 的延长线于E，
∵ BP 平分∠ABC，PD⊥BC ，PE⊥AB，
∴PE＝PD
在Rt△PBE 与Rt△PBD 中，BP＝BP，PE＝PD
∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）
∴BE＝BD
又∵AB＋BC＝2BD.
∴AB＋BD＋DC＝2BD，即AB＋DC＝BD
∴AE＝DC
由（SAS）可证Rt△PEA≌Rt△PDC，
∴∠PAE＝∠PCD
∵∠BAP＋∠PAE＝180°
∴∠BAP＋∠BCP＝180°.
19.【解析】
证明：在DA 上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，
在△DBE 和△DNE 中：
∴△DBE≌△DNE （SAS）
∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF＝NF
在△EFN 中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF.
20．【解析】
证明：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
故答案为：CF⊥BD，CF=BD.
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF 得AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A 作AG⊥AC 交CB 的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，
∴∠AGC=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
