2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(7)
（利用导数研究函数的单调性）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知函数
，则函数
( )
f x 的单调递减区间是（ ）
A．
1
(0, )
3 ，(1,
)
B．(0,1)，(3,
)
C．
1
(0, )
3 ，(3,
)
D．
1
(
1)
3，
【答案】D
【解析】函数
f x 的定义域为(0,
)
，
2
3
1
1
3
1
4
ln
3
4
2
x
x
f x
x
x
x
f
x
x
x
x
，
当
0
f
x
时，函数单调递减，即
3
1
1
0
x
x
x
而
0
x
，解不等式得：
1
1
3
x
，故选:D。
2.如图所示为
y
f
x
的图象，则函数
y
f x
的单调递减区间是（ ）
A．
, 1
B．
2,0
C．
2,0 , 2,
D．
, 1 , 1,
【答案】C
【解析】由导函数图象，知2
0
x
或
2
x
时，
( )
0
f
x
，∴
( )
f x
的减区间是( 2,0)
，
(2,
)
．
故选：C．
3.已知函数
，
，设
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，函数
，可得
，
所以
在
上单调递增，又由
，
可得
，所以
. 故选：D.
4.函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
当
时，
则
，所以函数
在
上单调递增，则排除选
项A，C
又
，排除除选项B, 故选：D
5.已知函数
，则
在
上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，若
在
上不单调，
令
，对称轴为
，则函数
与
轴在
上有交
点，当
时，显然不成立；当
时，则
，解得
或
，
易知
在
上不单调的一个充分不必要条件是
，故选:C．
6.已知函数
若
，
，
，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分段函数
，
时
，
在
上递增，值域为
，
时，
，故
在
上递增，值域为
，
由
知，分段函数
在
上单调递增.
又
，
，
∴
，∴根据单调性可知
. 故选:B．
7.函数
的导函数
，对任意
，都有
成立，若
，则满足不
等式
的
的范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意，对任意
，都有
成立，即
，
令
，则
，
所以函数
为单调递增函数，
又因为不等式
，即
，
因为
，所以
，所以不等式的解集为
， 故选：C.
8.已知函数
，对任意的实数
，
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
，且
，
，
令
，
则
对任意的实数
，
，且
都成立，
在
上为增函数，即
恒成立，
整理得
，可知
当
时，不等式成立，
当
时，
恒成立，又
，
. 故选：B.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.已知定义在R 上的函数
满足
，则下列式子成立的是（ ）
A．
B．
C．
是R 上的增函数
D．
，则有
【答案】AD
【解析】由
，得
，即
，
所以函数
为增函数，故
，
所以
，故A 正确，B 不正确；
函数
为增函数时，
不一定为增函数，
如
是增函数，但
是减函数，所以C 不正确；
因为函数
为增函数，所以
时，有
，
故有
成立，所以D 正确.故选：AD.
10.已知函数
3
2
1
1
1
3
2
f x
ax
x
x
（a
R
），下列选项中可能是函数
f x 图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】∵
3
2
1
1
1
3
2
f x
ax
x
x
（a
R
）
∴
2
1
f
x
ax
x
对于选项A,当
0
a
时，
1
f
x
x
，易得
f x 在
, 1
上为减函数，在
1,
上为增
函数，故A 可能；
对于选项B,当
1
4
a
时，
0
，
0
f
x
，
f x 为增函数，故B 可能；
对于选项C,当
0
a
时，
0
，
f
x
有两个不相等且互为异号的实数根，
f x 先递减再递
增然后再递减，故C
可能；
对于选项D,当
1
0
4
a
时，
0
，
f
x
有两个不相等的负实数根，
f x 先递增再递减然
后再递增，故D 错误. 故选:ABC
11.若函数
的定义域为
内的某个区间
上是增函数，且
在
上也是增函数，则称
是
上的“完美函数”，已知
，若函数
是区间
，
上的
“完美函数”，则正整数
的值可能为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】CD
【解析】
，
，
在
单调递增，
，
可以得出：
在
，
上是单调递增．
，
，
，
设
，
，
在
上单调递增，
，
（1）
，
，
在
，
上，有
成立，
函数
在
，
上是单调递增函数，
综合判断：
，与
在
，
上都是单调递增函数，
，与
在
，
上不是都为单调递增函数，
函数
是区间
，
上的“完美函数”，
， 故选：CD．
12.已知函数
ln
f x
x
x
，若
1
2
0
x
x
，则下列结论正确的是（ ）
A．
2
1
1
2
x f x
x f x
B．
1
1
2
2
x
f x
x
f x
C．
1
2
1
2
(
)-
(
)
0
f x
f x
x
x
D．当
1
2
1
x
x
e
时，
1
1
2
2
2
1
2
x f x
x f x
x f x
【答案】AD
【解析】对于选项A,设
ln
f x
g x
x
x
，函数单调递增，所以
2
1
>
g x
g x
，所以
2
1
2
1
>
f x
f x
x
x
，即有
1
2
2
1
>
x f x
x f x
，故A 正确；
对于选项B,设
h x
f x
x
，则
2
h x
lnx
不是恒大于零，所以
1
1
2
2
x
f x
x
f x
不恒成立，故 B 错误；
对于选项C,
f
x
xlnx
，
1
f
x
lnx
不是恒小于零，所以
1
2
1
2
(
)-
(
)
0
f x
f x
x
x
不恒成立，故C
错误；
对于选项D,当
1
x
e
时，
1
lnx ，故
1
0
f
x
lnx
，函数
1
ln ,
f x
x
x x
e
单调递增，
故
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
0
x
x
f x
f x
x f x
x f x
x f x
x f x
，
即
1
1
2
2
2
1
1
2
+
x f x
x f x
x f x
x f x
，又
2
1
2
1
2
1
ln
>
ln
f x
f x
x
x
x
x
，所以
1
2
2
1
>
x f x
x f x
，
所以
2
1
1
2
2
1
+
>2
x f x
x f x
x f x
，所以有
1
1
2
2
2
1
2
x f x
x f x
x f x
，故 D 正确.故选：
AD.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.若函数
ln
f x
kx
x
在区间
1,单调递增，则k 的取值范围是______；若函数
f x 在区
间
1,
内不单调，则k 的取值范围是______.
【答案】
1,
0,1
【解析】若
ln
f x
kx
x
在区间
1,单调递增，所以
1
0
f
x
k
x
在
1,上恒成立，
即
1
k
x
在
1,上恒成立，又
1
x
时，
1
1
x
，所以
1
k
；
若函数
f x 在区间
1,内不单调，则方程
1
0
f
x
k
x
在区间
1,有解，
因为
1
x
时，
1
0
1
x
，因此只需0
1
k
.
故答案为：
1,；
0,1 .
14. 函数
的导函数为
，对任意
，都有
成立，若
，则
满足不等式
的
的范围是___________.
【答案】
【解析】
，都有
成立，
，
令
，则
，
，
则
在
上单调递增，
不等式
，则
，
即
，
. 故答案为：
.
15.已知函数
2
1
( )
ln
2
f x
x
a
x
，若对任意两个不等的正数
1x ，
2x ，都有
1
2
1
2
4
f x
f x
x
x
恒
成立，则a 的取值范围为_______________
【答案】[4,
)
【解析】令
4
g x
f x
x
，因为
1
2
1
2
4
f x
f x
x
x
，所以
1
2
1
2
0
g x
g x
x
x
，
即
g x 在
0,上单调递增，故
4
0
a
g
x
x
x
在
0,上恒成立，
即
2
4x
a
x
，令
2
4
,
0,
h x
x
x
x
.
则
2
4
2
4
h x
x
x
h
，
h x
max
4
，即a 的取值范围为[4,）.
故答案为：[4,
)
.
16.
已知函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围
是_______________
【答案】[4,
)
【解析】解：根据题意，函数
，则
，
设
，则
，
易得在区间
上，
，即
在
上为减函数，
在区间
上，
，即
在
上为增函数，
故
在
有最小值
（1）
，没有最大值，
若
在
上单调递增，则
在
上恒成立；
即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，必有
，
故
的取值范围为
，
；
故答案为：
，
．
