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1
解高次方程 题集【B】
1. 倒数方程
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
解下列关于的方程．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
，
，
，
．
令
，则原方程可化为
，
解得
，故
．
故答案为：
．
观察知
必为左边代数式的一个因式，
分解得
，
下面解
，
显然
，方程两边同时除以
，得
，
即
，解得
或
，
故原方程的解为
，
，
，
，
．
故答案为：
，
，
，
，
．
【知识点】高次方程
【能力】运算能力
【方法】换元法
2.
【解析】
解方程
．
【答案】
，
．
令
，化简得：
，∴
，代入解得：
，
．
故答案为：
，
．
2
【标注】【能力】运算能力
【知识点】高次方程
【方法】换元法
3.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
．
当
时，左边
；左边
，
方程
，这是一个倒数方程，左右两边同时除以
，
或
，
当
时，
，
当
时，无实根．
综上所述，
．
【知识点】高次方程
【方法】降次法
【能力】运算能力
4.
【解析】
解方程：
．
【答案】
，
，
，
，
．
观察知
为原方程的一个解，
于是
必为左边代数式的一个因式．
于是有
．
得
或
，
下面来解
，
显然
，两边同除以
，
得：
，
即：
，
3
【标注】
令
，则
，
所以方程可化为：
，
即：
．
解得：
，
，
即
，
．
解得：
，
，
，
．
于是原方程的解为
，
，
，
，
．
【知识点】解一元二次方程
【知识点】高次方程
【能力】运算能力
2. 高次换元法
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
解方程：
的解是（ ）．
【答案】B
，
．
设
，则
，
；
，所以
．
当
时，
，解得
．
当
时，
，判别式
，无实数
解．
所以原方程的解是
，
．
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
2.
【解析】
解方程：
．
【答案】
．
4
【标注】
由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，可以使用换元法解题，设为这两个二项式的中间
值即可：
设
，
则原方程变为：
展开得：
解得
（舍）或
，
．
【方法】换元法
【知识点】高次方程
A.
B.
C.
D.
，
3.
【解析】
【标注】
方程的解是（ ）．
【答案】D
原方程变形为：
，
设
，则
，
解得
，
．
当
时，
，
解得
，
，
当
时，
，
方程无实根．
故选
．
【知识点】非二项方程
4.
【解析】
【答案】
，
令
，则
，
代入原方程得：
，
即得到
，
，
，
5
【标注】
将的表达式代入得
，
即
，解得
．
所以
，
．
【知识点】高次方程
5.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
．
【答案】
，
．
令
，则
，
则
，所以
，
得
，
，
将的代数式代入得到
，
．
设
，
，
，则原方程为
，得
，即
，解得
，
．
【知识点】高次方程
3. 因式分解法
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
解方程：
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，
．
，
．
由题意得
，
所以
或
，
当
时，
得
，
此时方程无解．
综上所述，原方程得解为
．
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
令
，则
，
代入原方程得：
，
即得到
，
，
，
将的表达式代入得
，
即
，解得
，
所以
，
．
令
，则
，
则
，
所以
，
得
，
，
将的代数式代入得到
，
．
【知识点】高次方程
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
2.
【解析】
【标注】
关于的方程
的实数根有（ ）．
【答案】A
∵
，
∴
或
（不成立），即
，故原方程只有一个实数根．
【知识点】非二项方程
3.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
，
，
直接对左边进行试根，或者直接因式分解解决问题：
，
，
，
，
【知识点】高次方程
【能力】运算能力
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
解下列方程：
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
移项，得
，提取公因式并应用十字相乘法分解因式，
得：
，
∴原方程的解是
，
，
．
将
作为一个整体分解因式，得：
，即
，
从而原方程的解是
，
，
，
．
，
，
，
，
由题意可得
或
，
得
，
解得
或
，
∴
，
，
，
．
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
解方程：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
；
；
．
，
．
因为各项系数之和为：
，则原方程中可分解出因式
∵
观察方程
，奇偶次项系数相同，即方程中含有因式
，
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（2 ）
【标注】
∴
，对方程
有
，
∴
，即根为
，
；
；
．
第一步：首先列出“常数项”
的所有约数
第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式，根据各项
系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除
根，
，
，所以原方程中含有因式
第三步：用长除法将原方程降次，
所以，
，
因为
的判别式
，则根为
，
．
【知识点】高次方程
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
解方程：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
．
分组分解法：
或试根法也可．
∴
，
．
【知识点】高次方程
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 解下列高次方程．
．
．
．
【答案】（1 ）
，
，
，
．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
，
．
，
，
，
．
，
，
，
所以
，
，
，
．
，
，所以
，
．
，
，
所以
，
，
，
．
【知识点】高次方公式
