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第03 讲 等比数列及其前n 项和
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 等比数列
知识点2 等比数列的前n 项和公式
知识点3 等比数列及其前n 项和的性质
题型破译 (含超链接）
题型
1
等比数列基本量的计算
【方法技巧】知三求二方程法
题型
2
等比数列的判定与证明
题型
3
等比数列项的性质
题型
4
等比数列中的单调性与最值问题
【方法技巧】符号公比分类法
题型
5
等比数列前
n 项和的性质
题型
6
等比数列的简单应用
题型
7
等差数列与等比数列的综合
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
本
等比数列基
量
的计算
全国一卷T14（5 分）
全国二卷T10（6 分）
全国二卷T9（6 分）
全国甲卷（文）T17（12
分）
等比数列的证明
________
________
全国甲卷（理科）T18
（1）（5 分）
等比数列的求和
全国二卷T10（6 分）
全国一卷T13（5 分）
全国二卷T9（6 分）
全国甲卷（文）T17（12
分）
考情分析
近三年考情显示，等比数列的考查频次、题型与分值整体稳定，难度波动不大。以选
择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查基本量运算、通项公式、前n 项和公式
及核心性质，常与等差数列综合命题，核心是“知三求二”的方程思想应用，整体属
于数列模块的基础中档必考内容。
复习目标
1.理解等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n 项和公式，能精准完成基本量运
算，灵活运用数列核心性质简化求解过程。
2.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，运用等比数列相关知识解决对应问题，
夯实常规题型解法，确保该模块基础与中档题目稳定得分。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
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知识点1 等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个________
，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的________．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为________；
（2）公比是每一项与其________的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与
无关的常数.
2．等比中项
如果在
与
中间插入一个数
，使
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的________，此时
．
3．等比数列的通项公式及其变形首项为
，公比为
的等比数列的通项公式是
________
．
等比数列通项公式的变形：
________．
4．等比数列与单调性
当________或________时，
是递增数列；
当________或________时，
是递减数列；
当
________时，
为常数列
；
当
时，
为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）________，奇数项与偶数项异号．
自主检测
1．在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．已知数列
满足
，
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求
的通项公式．
知识点2 等比数列的前n 项和公式
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首项为
，公比为
的等比数列
的前
项和的公式为
自主检测
3．已知各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，且
，
，则数列
的公比为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
4．设
为等比数列
的前n 项和，且
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．15
知识点3 等比数列及其前n 项和的性质
若数列
是公比为
的等比数列，前n 项和为
，则有如下性质：
（1）若
，则
________；若
，则
________
．
推广：若
，则
________．
（2）若
成等差数列，则
成等比数列．
（3）若项数为
，则
________，若项数为
，则
________
．
（4）当
时，连续
项的和（如
）仍组成________（公比为________，
）．注意：这里连续m 项的和均非零．
自主检测
5．记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．9
B．15
C．21
D．27
6．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（
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）
A．8
B．
C．4
D．2
题●型●破●译
题型1 等比数列基本量的计算
例1-1（2025·甘肃平凉·二模）已知数列
是等比数列且
是其前
项和，
，若
，
则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
例1-2（2026·黑龙江黑河·一模）设等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
方法技巧 知三求二方程法
将所有已知条件统一转化为关于首项a1和公比q的方程（组），结合通项公式与前n项和公式列方程求
解；计算中优先用整体代换简化运算，务必单独验证q =1的特殊情况，避免漏解；涉及Sn与an混合条件
时，利用n=1和n≥2拆分求解。
【变式1-1】（2025·吉林吉林·三模）已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．－129 或53
B．－127 或55
C．－129 或55
D．－127 或53
【变式1-2】（2025·四川内江·二模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则正整数
的值为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）记
为等比数列
的前
项和．已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)判断
，
，
是否成等差数列？请说明理由．
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题型2 等比数列的判定与证明
例2-1（2025·湖北孝感·二模）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)证明：数列
是等比数列；
例2-2（2026·河北衡水·一模）已知数列
满足
，
，
．
(1)求证：
是等比数列；
【变式2-1】（2025·四川广安·三模）已知数列
满足
，
．
(1)证明
是等比数列，并求
的通项公式；
【变式2-2】（2025·海南三沙·三模）已知数列
的首项为
，点
在函数
的图象上．
(1)证明：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
【变式2-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列
满足
，且
，
．
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(1)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
题型3 等比数列项的性质
例3-1（2026·湖北武汉·二模）若等比数列
中的
，
是方程
的两个根，则
（ ）
A．
B．1015
C．
D．1014
例3-2（2025·宁夏固原·二模）已知数列
为正项等比数列，
，
是方程
的两个实数根，
则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【变式3-1】（2025·广西贺州·模拟预测）已知等比数列
，公比
，且
，则
______．
【变式3-2】（2025·广东肇庆·一模）等比数列
的各项均为正数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3·变考法】（2026·黑龙江伊春·二模）已知公比
且
的等比数列
，前
项积为
，若
，且
，则
（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
题型4 等比数列中的单调性与最值问题
例4-1（2025·辽宁丹东·二模）设
是各项均不为0 的无穷等差数列，公差为
．记
，则“
”是“
有最小值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例4-2（2025·广东中山·二模）设
为等比数列， 则“
为递增数列”是“存在
，使得
”的（ ）
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A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧 符号公比分类法
单调性由首项a1的符号与公比q的范围共同决定：a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时数列递增，反之递减；
q<0时数列为摆动数列，无单调性。
最值问题结合项的正负分界点与增减性判断，也可借助对应函数的单调性分析，注意n为正整数的约束。
【变式4-1】（2025·安徽黄山·模拟预测）设
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
的最小值为________．
【变式4-2】（2026·山西阳泉·二模）（多选）已知数列
，
满足
，且
为递增数列，
下列说法正确的有（ ）
A．若
为等比数列，则公比可能大于1
B．若
为等比数列，则公比可能小于-1
C．若
为等差数列且
，则公差可能小于0
D．若
为等差数列且
，则公差一定大于0
【变式4-3】（2026·陕西榆林·二模）已知等比数列
的前
项和为
，前
项积为
，若首项为
，则（ ）
A．
和
既有最大值，又有最小值
B．
有最小值，
无最大值
C．
无最大值，
无最小值
D．
无最小值，
有最小值
题型5 等比数列前n 项和的性质
例5-1（2025·湖南郴州·一模）设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．27
B．3
C．24
D．48
例5-2（2025·江苏镇江·二模）在等比数列
中，
为其前n 项和，若
，
，
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．20
D．30
【变式5-1】（2025·甘肃陇南·一模）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之和为所有偶数项之和
的
倍，前项之积为
，则
_____.
【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知等比数列
的公比
，且
，则
___________.
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题型6 等比数列的简单应用
例6-1（2025·黑龙江七台河·一模）某公司计划用10 年时间（从2026 年初到2036 年初）完成产能升级，
若初始产能为
，每年产能的增长率为定值，2030 年初产能为
，则2036 年初的产能是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2（2025·广西南宁·三模）某AI 语言模型计费规则：前1000 分钟免费使用，超出1000 分钟的部分每
分钟收费0.001 元（不足1 分钟的按1 分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI 模型，若第一天使用
300 分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的
还多50 分钟．若该用户多天使用该AI 模型后的
总费用不超过1 元，则最大使用天数为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【变式6-1】（2025·福建宁德·一模）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊
食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几
何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5 斗粟、羊主人说：“我羊所
吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应
偿还多少？该问题中，1 斗为10 升，则马主人应偿还（ ）升粟.
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2025·江苏扬州·模拟预测）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基
础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生16 只，且雌雄各
半.1 个月后，有一对老鼠生了16 只小老鼠，一共有18 只；2 个月后，每对老鼠各生了16 只小老鼠，一共
有162 只．以此类推，假设
个月后共有老鼠
只，则
_________．
【变式6-3】（2026·山东聊城·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某
人给一个人布施，初日施2 子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，
以一个月31 天计算，记此人第
日布施了
子安贝（其中
，
），数列
的前
项和为
．
若关于
的不等式
恒成立，则实数的最大整数为（ ）
A．28
B．29
C．30
D．32
题型7 等差数列与等比数列的综合
例7-1（2025·河北承德·二模）已知数列
（非常数列）前
项和为
，
为等差数列，
，
，且
，
，
成等比数列，则
的值为（ ）
A．
B．80
C．81
D．90
例7-2（2025·广东东莞·一模）记
为等比数列
的前
项和，已知
，
，且
．
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(1)求
的通项公式；
(2)若
的各项呈现正负相间的变化规律，求
，判断
，
，
是否成等差数列，并说明理由．
【变式7-1】（2026·辽宁锦州·模拟预测）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分
为240 份，记数列
为第
天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中
且
）组成的数列，
第1 天月球被太阳照亮部分占满月的
，即
；第15 天为满月，即
.若在数列
中，前5 项
构成公比为
的等比数列，第5 项到第15 项构成公差为
的等差数列，且q，d 均为正整数，则第12 天月
球被太阳照亮部分占满月的（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2·变考法】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知等比数列
与等差数列
的各项均为正整数，
其公比与公差分别为
，
，
的前
项和为
．若对任意正整数
，
，则
_____．
【变式7-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）已知数列
的前
项和
，数列
是公比为2 的
等比数列，且
．
(1)求出数列
的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求集合
中元素的个数，并求所有元素的和．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列
的公比
，
，
，记其前
项和为
，则（ ）
A．
B．
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C．
D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记
为等比数列
的前n 项和，
为
的公比，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·上海·高考真题）已知
为等比数列，
，
，则
__________．
4．（2024·北京·高考真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
若
①
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
若
②
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
若
③
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
若
④
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是______.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列
是等比数列．
（1）若
，
，求q 与
；
（2）若
，
，求
．
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2．设等比数列
的前n 项和为
.已知
求
和
.
3．已知数列
的前n 项和为
，若
，求
．
4．如果一个等比数列前5 项的和等于10，前10 项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
5．放射性元素在t=0 时的原子核总数为
，经过一年原子核总数衰变为
，常数
称为年衰变率．
考古学中常利用死亡的生物体中碳14 元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14 的半衰期为
5730 年．
（1）碳14 的年衰变率为多少（精确到
）
（2）某动物标本中碳14 含量为正常大气中碳14 含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距
今多少年？
6．已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列.
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(2)求数列
的前
项和
.
7．已知数列
的首项
，
，
，
，
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，若
，求最大正整数
．
