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平行四边形【章节复习】压轴题--正方形与全等综
合【C17】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
操作与证明：如图，把一个含
直角三角板
和一个正方形
摆放在一起，使三角板的
直角顶点正方形的顶点
重合，点
，
分别在正方形的边
，
上，连接
，取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
图
连接
，求证：
是等腰三角形．
猜想与发现：在（）的条件下，请判断
，
的数量关系和位置关系，得出结
论 ．
拓展与探究：如图，将图中的直角三角板
绕点
顺时针旋转
，其他条件不变，则
（）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
，
成立．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
又∵
是一个含有
的直角三角板，
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，（
）
∴
，即
是等腰三角形．
，
．
连接
，交
于点
，
∵
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
，
∵点
，
分别是
，
的中点，
∴
，
，
又∵在
中，点
是
的中点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，即
．
【知识点】中点类综合计算与证明
3
（1 ）
1
2
（2 ）
2. 阅读下面材料：
小刚遇到这样一个问题：如图，在正方形
中，点
是
延长线上一点，连接
，交
于点
，过
作
于
，连接
，若
，
，求
长．
图
小刚的思考是：在
上截取
，连接
，通过证明
是等腰直角三角形，
就使问题得到解决（如图）．
请回答：
长为 ．
图
参考小刚思考问题的方法，解决问题：在菱形
中，
．
如图，
是
延长线上一点，连接
，交
于点
，
是
上一点且
，连接
，
，
，求
的长．
图
如图，
是
上一点，连接
，
是
延长线上一点，且
，
，连接
，交
于点
，线段
、
、
之间有怎样的等量关
系？请直接写出你的结论．
图
【答案】（1 ）
1
（2 ）
．
4
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
2
．
长为
．
由题意可得，
．
如图，在线段
上截取
，连接
．
∵四边形
是菱形，
∴
．
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
∴
，
易得
，
∴
．
．
如图，延长
至
，使得
，连接
．
∵四边形
是菱形，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
易得
，
∴
．
5
【标注】【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
解答题：
如图，正方形
中，
是
边上的中点，过点
作
与
交于点
，与
交
于点
．
①则线段
与
的数量关系为 ．
②连接
，延长
与
的延长线交于点
，求证：
．
图
如图，正方形
中，
、
分别是
、
边上的点，连接
，过点
作
交
于点
，交
于点
，连接
，求证：
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
①相等；②证明过程见解析．
证明过程见解析．
①相等；
②在正方形
中，
，
∵
是
边上的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴点
为
的中点，
6
（2 ）
【标注】
∵
于点
，
∴
中，
，
∴
．
延长
到点
，使
，连接
、
，
在正方形
中，
，
，
图
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
是等腰直角三角形，
∴
，
又∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
在
中，由勾股定理知：
，
∴在
中，由三边关系知
，
∴
；
当
、
、
三点共线时
；
∴综上所述：
．
【知识点】正方形与全等综合
