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专题 01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 满足的等量关系易于建立，
则可以先表示出点 所满足的几何上的等量关系，再用点 的坐标 表示该等量关系式，即可得到轨
迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲
线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ， ， ， 等关系式，由于
弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、典型题型题型一：定义法求轨迹方程
1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点 的轨迹方程：
(1)点 到点 、 的距离之和为10；
(2)点 到点 、 的距离之和为12；
(3)点 到点 、 的距离之和为8．
2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心 的轨迹方程：
(1)与圆 和圆 都内切；
(2)与圆 内切，且与圆 外切；
(3)在 中， ， ，直线 ， 的斜率之积为 ，求顶点 的轨迹方程.
3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记
动点 的轨迹为 ，求 的方程.
题型二：直接法1．（2024·全国·高三专题练习）已知点 与点 ， 是动点，且直线 与 的斜率之积等于
求动点 的轨迹方程;
2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ， ，点 为
坐标系内一点，若直线 与直线 的斜率的乘积为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)说明点 的轨迹是何种几何图形．
3．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点 ， ，动点 满足直线 与直线
的斜率之积为定值 （ ）.
(1)求动点 的轨迹方程，并说明随 变化时，方程所表示的曲线 的形状；
题型三：代入法（相关点法）
1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点 的坐标为 ， 是以点 为圆心的单位圆上的动点(不与点 重合)， 的角平分线交直线 于点 ，求点 的轨迹方程．
2．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆 的圆心为直线 与直线
的交点，且圆 的半径为 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)若 为圆 上任意一点， ，点 满足 ，求点 的轨迹方程.
3．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ，点P是圆 上的动点，M为线段PA的中点，当
点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆 的位置关系.
题型四：点差法
1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点 为椭圆 （
）的左焦点，点 为椭圆的下顶点，平行于 的直线 交椭圆于 ， 两点，且 的中点为
，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
三、专项训练
一、单选题
1．（【名校面对面】2022-2023学年高二大联考（12月）数学试题）已知圆 ， 是圆
上的动点，点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知定点 为圆 的动点，则线段 的中点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P到两定点 ， 的距离之和为8，
则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·贵州黔南·高二统考期末）若动点 满足方程 ，则
动点P的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
5．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P与两圆 ： 和 ： 都
外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B．
C． （ ） D． （ ）
6．（2023上·全国·高二专题练习）设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 上的
点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）已知点 ， ，动点 满足条件 ，则
动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆 ： 和圆 ：
都外切的圆的圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知 为直线 上的一点，动点 与两个定点 ，
的距离之比为2，则（ ）
A．动点 的轨迹方程为 B．C． 的最小值为 D． 的最大角为
三、解答题
10．（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）在平面内，动点 与定点 的距离
和它到定直线 的距离比是常数3．
(1)求动点M的轨迹方程；
