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第26 讲等差数列与等比数列的概念与性质
（知识清单+10 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
等差数列基本量运算、等比数列定义证明、前n 项和求解
单选/解答题
5 分/12 分
等比数列性质化简、等差数列通项与最值、数列综合计算
填空/解答题
5 分/12 分
等差、等比数列混合性质求值
单选题
5 分
等差数列定义证明、通项与前n 项和公式应用
单选/解答题
5 分/12 分
等比数列基本量运算、等差数列定义判定、数列求和
单选/解答题
5 分/12 分
等差数列片段和性质、等比数列通项与最值
单选/解答题
5 分/12 分
等比数列定义证明、前n 项和公式分类讨论
解答题
12 分
等差、等比数列中项性质综合求值
单选题
5 分
等差数列定义证明、通项与前n 项和综合计算
解答题
12 分
等比数列性质化简、等差数列定义判定、数列求和
单选/解答题
5 分/12 分
等差数列基本量运算、等比数列通项公式
单选/解答题
5 分/12 分
等比数列定义证明、前n 项和公式应用
解答题
12 分
【知识点01】等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*).
(2)等差中项
由三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A＝a＋b.
【例1】已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+2，证明该数列为等差数列，并求3, x ,9成等差数列时x的值。
【知识点02】等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋
( n －
1)
d .
(2)前n 项和公式：Sn＝na1＋n(n−1)
2
d 或Sn＝n(a1＋an)
2
.
【例2】已知等差数列{an}中，a3=5，a7=13，求数列通项公式及第10 项、前10 项和S10。
【知识点03】等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).
(2)等差数列{an}的单调性
当d>0 时，{an}是递增数列；
当d<0 时，{an}是递减数列；
当d＝0 时，{an}是常数列.
【例3】在等差数列{an}中，已知a4+a12=30，求a8的值。
【知识点04】等差数列前n 项和的常用性质
(1)当d≠0 时，等差数列{an}的前n 项和Sn＝d
2 n2＋(a1−d
2)n 是关于n 的二次函数.
(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
【例4】等差数列{an}中，已知S5=25，S10=75，求S15。
【知识点05】等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，
G2=ab.
【例5】若正数2、m、8成等比数列，求m的值。
【知识点06】等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1q n -1 .
(2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m.
(3)等比数列的前n 项和公式：当q=1 时，Sn=na1；当q≠1 时，Sn=a1(1−q
n)
1−q
=a1−anq
1−q
.
【例6】已知等比数列{an}中，a1=2，q =3，求数列第4 项a4及前4 项和S4。
【知识点07】等比数列的常用性质
(1)若m+n=p+q，则aman= a paq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=aw
2 ，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为q m (k，m∈N*).
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和{
pan
q bn}也是等比数列(b，p，q≠0).
(4)若{
a1>0,
q>1 或{
a1<0,
0<q<1,则等比数列{an}递增.
若{
a1>0,
0<q<1或{
a1<0,
q>1, 则等比数列{an}递减.
【例7】在等比数列{an}中，a3⋅a7=64，求a5的值。
【知识点08】等比数列前n 项和的常用性质
若等比数列{an}的 前n 项和为Sn，则Sn，S2n- S n，S3n- S 2n 仍成等比数列(公比q=-1 且n 为偶数除外)，其公比为qn.
【例8】已知等比数列{an}中，S4= 4，S8=20，求S12。
【题型一】等差数列及其通项公式
【例1】（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·山东日照·三模）已知数列
，则“
为等差数列”是“
，
（m 为常
数）”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2026·湖北·模拟预测）已知
是公差为1 的等差数列，且
，则
__________.
【变式3】（2024·河北衡水·模拟预测）在数列
中，
，
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前n 项和
．
【题型二】等差中项
【例2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列
为等差数列，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．10
【变式1】（2026·江苏泰州·模拟预测）“
”是“数列
为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2】（2025·四川绵阳·一模）
与4 的等差中项为__________.
【变式3】（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的最
小值为______．
【题型三】等差数列的性质
【例3】（2026·湖南邵阳·三模）已知
是等差数列
的前
项和，
．若
，则正整数
的最
大值为（ ）
A．2026
B．2027
C．4052
D．4053
【变式1】（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和
为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ）
A．29，19
B．31，18
C．29，20
D．27，19
【变式2】（2025·山东青岛·一模）已知等差数列
中，
，则
___________．
【变式3】（2026·湖南怀化·二模）已知数列
，
均为等差数列，若
，
，则
________．
【题型四】等差数列的前n 项和
【例4】（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）
A．27
B．36
C．45
D．72
【变式1】（多选）（2026·四川遂宁·二模）已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．当且仅当
时
取最小值
【变式2】（2026·湖南常德·一模）记等差数列
的前
项和为
，若
，则
_____.
【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列
的前
项积为
，且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
的前
项和为
，求使
成立的最小正整数
.
【题型五】等差数列前n 项和的性质
【例5】（2026·陕西西安·三模）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，则
（ ）
A．-24
B．-12
C．12
D．24
【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列
的前
项和分别为
，若
，则
______．
【变式3】（2024·四川乐山·三模）已知
是等差数列
的前
项和.
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
为数列
的前
项和，若
，求
.
【题型六】等差数列前n 项和的函数特性
【例6】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则当
取最小值时
的
值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．25
【变式1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知首项为正数的等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
取最大值
D．当
时，
的最小值为27
【变式2】（2026·河南郑州·二模）已知
为等差数列，记公差为
，前
项和为
，当且仅当
时
取得最大值，则
的取值范围为______．
【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）在等差数列
中，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
的最大值.
【题型七】等比中项
【例7】（2026·安徽合肥·二模）若
是
，的等差中项，
是
，
的等比中项，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·河北沧州·二模）已知三个正数
，
，成等比数列，且
，
，则
（ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
【变式2】（2025·广东·模拟预测）设正数
满足
为
与
的等差中项，
为
与
的等比中项，若
，
则
（ ）
A．4.5
B．3
C．3.5
D．4
【变式3】（2026·重庆江津·三模）已知
是公差不为零的等差数列，
，且
，
，
成等比数列，则
__________.
【题型八】等比数列的通项公式
【例8】（2026·河北·三模）已知数列
是各项为正数的等比数列.若
则公比
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1】（2026·河南安阳·模拟预测）已知等比数列
满足
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式2】（2026·山西·模拟预测）在等比数列
中，
，
，则
________．
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列
与等差数列
，满足
，
，则
_______．
【题型九】等比数列的性质
【例9】（2026·广东茂名·二模）已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列
的前
项积为
， 且
，
， 则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式2】（多选）（2026·浙江·二模）已知等比数列
的公比为q，
．若
，
，
则下列说法正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·山东聊城·三模）等比数列
中，
，
，则
________．
【题型十】等比数列的前n 项和
【例10】（2026·辽宁朝阳·三模）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知
为等比数列
的前n 项和，
，
，则
（ ）
A．152
B．162
C．165
D．172
【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，
，求
__________.
【变式3】（2026·湖南张家界·三模）已知等比数列
满足
.
(1)求
的公比；
(2)求
的前
项和.
【解题大招01】基本量“知三求二”万能法
技巧原理：等差数列所有问题均可回归首项a1、公差d两个核心基本量，利用通项与前n 项和公式列方程组求解，
适用于所有基础题型。
核心公式：an=a1+(n−1)d ,Sn=na1+ n(n−1)
2
d
五个量：a1,d ,n,an,Sn，已知任意三个可求剩余两个。
【例1】已知等差数列{an}中，a5=11，S5=35，求数列通项公式。
【解题大招02】下标和性质秒杀法
技巧原理：规避复杂方程组计算，利用下标和等量关系直接求值，是高考小题秒杀核心技巧。
核心结论：若m+n= p+q，则am+an=ap+aq；若m+n=2 p，则am+an=2ap。
【例2】在等差数列{an}中，a2+a9+a12+a19=80，求a10+a11的值。
【解题大招03】片段和性质速算技巧
技巧原理：等差数列连续等长片段和仍成等差数列，无需逐个计算项值，快速求解多段和问题。
核心结论：Sk ,S2k−Sk ,S3k−S2k ,…成等差数列，公差为k
2d。
【例3】等差数列{an}中，S4=12，S8= 40，求S12。
【解题大招04】等差数列最值求解技巧
技巧原理：利用数列单调性与项的正负分界，快速求前n 项和最值，规避二次函数复杂计算。
核心结论：
1. a1>0,d <0，求Sn最大值：找最大n使得an≥0,an+1≤0
2. a1<0,d >0，求Sn最小值：找最大n使得an≤0,an+1≥0
【例4】等差数列{an}中，a1=20，d =−2，求Sn的最大值。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知等比数列
的第二项为9，公比
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列{
}的各项均为正数，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．9
3．（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和.若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·全国二卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，
为
的公比，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
________.
6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项的和等于4，前8 项的和等于68，则这个
数列的公比等于_________.
四、解答题
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式：
(2)求
．
8．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列
满足
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知首项为负数的等比数列
的前4 项和为5，且
，则
（ ）
A．8
B．
C．4
D．
2．（2026·重庆·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和.已知
，
，若长为
的线段
能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ ）
A．24
B．25
C．26
D．27
二、多选题
3．（2026·江苏扬州·三模）设正项数列
的前n 项和是
，且
，
，下列选项中正确的有（ ）．
A．若
是等差数列，则
B．若
是等比数列，则
C．若
是等差数列，则
D．若
是等比数列，则
三、填空题
4．（2026·重庆永川·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，则函数
的最大值为
______
5．（2026·甘肃张掖·二模）设
为数列
的前
项和，已知
，对任意
，
，都有
，若
，则
的值为__________．
四、解答题
6.（2026·四川遂宁·模拟预测）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·一模）已知正项等比数列{an}的公比不为1，
为其前n 项积，若
，则集合
中的元素个数为（ ）
A．13
B．17
C．18
D．20
2．（2026·河北唐山·二模）在等差数列
中，
，记
为数列
的前
项和，当
取得最大值时，
的值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
二、多选题
3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列
满足
，其前
项和记为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
是等差数列
B．若
，则
为等比数列
C．若
，则
，
，
成等差数列D．若
，则
为等比数列
三、填空题
4．（2026·福建南平·二模）已知等差数列
的公差为
，若对任意，
，总存在
，使得
，则
的最小值为________.
四、解答题
5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列
是首项为1，公比为
的等比数列，设集合
，对
的任意子集
，记
的所有元素和为
，规定空集的元素和为
．
(1)若
，求
；
(2)若
，
，证明：
；
(3)若
，
，
，从下面两个结论中选择一个证明：
①
的充要条件是
；②不存在
，使得
．
注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分．
