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【第27 讲：平面向量基本定理以及坐标表示】
【新高考课程标准要求】
1.了解平面向量基本定理及其意义：理解如果
，
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任意向量
，有且只有一对实数
，
，使
。明确不共线的向量
，
叫做表示这
一平面内所有向量的一组基底。
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示：理解把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分
解。在平面直角坐标系中，能根据平面向量基本定理，将向量用与
轴、
轴正半轴方向相同的单位向量
，
为基底进行表示，并得出向量的坐标。
3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算：设
，
，要熟练掌握
，
，
等运算规则，同时能根据向量起点
和终点坐标求向量坐标。
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件：设
，
，其中
，能理解并运用
，
共线⇔
这一条件解决相关问题，如已知两向量共线求参数值，或判断向量是否共线等。
【知识梳理】
一、平面向量基本定理
（一）定理内容
若
，
是同一平面内不共线向量，则对该平面内任意向量
，存在唯一一对实数
，使
。
（二）核心概念与结论
1. 基底：不共线的
称为基底；基底不唯一，但需满足“不共线、非零”，且选定后向量表示形式唯
一。
2. 分解唯一性：若
，则
且
。
（三）定理作用
1. 是平面向量坐标表示的理论基础，实现向量“几何表示→代数表示”的转化。
2. 选合适基底可将几何问题转化为代数问题，简化求解。
二、平面向量的坐标表示
（一）坐标定义
以与
轴、
轴正方向一致的单位向量
，
为基底，对任意向量
，若
，则
的坐标为
，记作
。
（二）特殊向量坐标
1. 零向量：
2. 单位向量：
，
（三）向量与点坐标关系
若
，
，则
（终点坐标 - 起点坐标）。
三、平面向量的坐标运算
（一）加减与数乘运算
设
，
，
为实数：
1. 加法：
2. 减法：
3. 数乘：
（二）核心应用结论
1. 向量共线：
（
）
2. 向量垂直：
3. 三点共线：若
三点，
即可判定（用共线条件验证）。
【课前自测】【真题体验】
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：（m/s）），则真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
5．（2002·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点
，若点C 满足
，其中
，
，且
，则点C 的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
8．（2022·天津·高考真题）在
中，点D 为AC 的中点，点E 满足
.记
，用
表示
，若
，则
的最大值为
【考点一：平面向量基本定理的应用】
【例题】1．（2025 高二·全国·专题练习）若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面
向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识讲解与常考题型
题型分类
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在
中，设
的中点为
的中点为
的中点为
，若
，则
，
．
【针对训练】3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，
．
设
，则
．
4．（24-25 高一下·重庆·期末）已知点P 是
所在平面内一点，且
,
，则下
列说法正确的是（ ）
A．若
，则点P 是边BC 的中点
B．若点P 是边BC 上靠近B 点的三等分点，则
C．若
，则
D．若点P 在BC 边的中线上，且
，则点P 是
的重心
5．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在
中，
，
，
和
交于点
，试
用
和
表示向量
．
【解题策略】
一、平面向量基本定理的实质
平面向量基本定理是平面向量线性运算的核心定理，其本质可概括为“平面内任意向量的唯一线性表示”，
具体从以下两个维度剖析：
（一）几何本质：向量的“分解与重构”
平面内任意向量均可由一组不共线向量（基底）线性表示，即通过基底的“数乘+加法”运算，重构出目
标向量。这一过程如同平面直角坐标系中，任意点的坐标由横、纵轴单位向量确定，本质是建立“向量”
与“有序实数对（
）”的一一对应关系，为向量的几何属性（如方向、长度）提供量化依据。
（二）代数本质：几何问题代数化的桥梁
通过基底将向量转化为含参数（
）的线性表达式（如
），可将向量的平行、垂直、
数量积等几何关系，转化为关于参数的方程或不等式，实现“几何问题→代数问题→求解参数”的转化，
是解决向量综合题的关键思想。
考点提示：定理的核心是“基底不共线”与“表示唯一性”，高考中常以此为隐含条件考查参数求解（如
已知向量共线求系数）。
二、平面向量基本定理的核心应用思想
（一）基底优先思想
1. 核心逻辑
解决向量问题时，优先选取合适基底，将所有涉及向量统一用基底表示，再利用向量运算规则推导关系，
避免复杂几何分析。
2. 基底选择原则（高频考点）
选择依据
示例场景
目的
已知长度、夹角的向量
矩形邻边（垂直，夹角90°）、菱形的边（长
度相等）
减少未知量，简化数量积
计算
与目标向量关联紧密的
向量
三角形的两边、共点向量（如
）
缩短向量表示的推导过程
3. 典型示例
在
中，
为
中点，若选
，
为基底，则：
，即
。
结论：三角形中线向量的基底表示可直接作为二级结论使用，简化选择题、填空题求解。
（二）唯一性转化思想
1. 核心逻辑
利用“同一组基底表示向量的唯一性”：若
（
不共线），则系数对应相等，
即
。由此可将向量等式转化为参数方程组，求解未知系数或参数。
2. 适用场景
求向量线性表示中的系数（如用基底表示某向量）；
证明向量共线、垂直（转化为参数关系）；
解决与向量分解相关的参数问题（如已知向量关系求参数值）。
3. 典型示例
已知
为不共线向量，
，
，且
，求
的值。
解：由
，存在实数
，使
，即：
由唯一性得
，解得
。
三、平面向量基本定理的解题策略（高频题型）
（一）基底法解题四步曲（高考核心方法）
1. 定基底
根据题干条件，选取不共线、已知条件多的两个向量作为基底（如三角形两边、平行四边形邻边），标注
为
或
。
2. 表向量
将题干中所有向量（已知向量、目标向量）用基底线性表示，注意利用向量加减法的三角形法则、平行四
边形法则（如
）。
3. 列关系
根据题干条件（如向量共线、垂直、数量积为定值、长度关系），结合向量运算规则（数乘、数量积），
列出关于基底系数的等式或不等式。
4. 求结果
利用基底不共线性（系数唯一性），解方程组或不等式，得到参数值、目标向量表达式等结果。
典型例题（高考真题改编）
题目：在平行四边形
中，
为
中点，
与
交于点
，求
的值。
解题步骤：
1. 定基底：选
，
为基底（不共线，平行四边形边向量，已知条件明确）；
2. 表向量：
；
（
为
中点，
）；
设
（
为
待
求
比
值
，
）
，
且
（
为参数）；
3. 列关系：由系数唯一性得
；
4. 求结果：解方程组得
，故
。
（二）坐标法与基底法的衔接策略（方法选择技巧）
方
法
适用场景
优势
注意事项
坐
标法
存在直角坐标系、易建系（矩
形、直角三角形）
运算直观，公式固定（如共线条件
）
需准确计算点坐标，
避免计算错误
基
底法
无坐标系、几何图形不规则（如
一般三角形、梯形）
灵活，无需建系，直接关联几何关
系
需选对基底，否则会
增加推导难度
衔接逻辑：
基底法受阻（如系数关系复杂）：可建立直角坐标系，将基底转化为
，
，用坐标运
算简化；
坐标法复杂（如点坐标含多个参数）：回归基底法，选特殊向量（如中点向量、角平分线向量）为基
底，减少参数。
（三）易错点规避（高考常见失分点）
1. 基底条件遗漏：基底必须满足“不共线、非零”，若基底共线，定理不成立（如选
与
为基底），
会导致系数唯一性失效；
2. 系数唯一性误用：仅在“同一组基底”下系数唯一，不同基底的系数不可直接比较（如用
表示的
与用
表示的
，系数无关联）；
3. 数量积运算错误：基底非正交时（如夹角为
），
，不可默认
（仅正交
基底满足此式）。
四、方法总结与高考预测
1. 核心方法：基底法是解决向量综合题的“通法”，尤其适用于无坐标系的几何图形问题，需熟练掌握
“定基底→表向量→列关系→求结果”四步流程；
2. 高考趋势：常与三角形、平行四边形、梯形等几何图形结合，考查向量线性表示、参数求解、数量积
计算，题型以选择题（5 分）、填空题（5 分）或解答题第（1）问（4-6 分）为主；
3. 备考建议：熟记三角形中线、角平分线、高线的向量基底表示（二级结论），提高解题速度；通过典
型例题练习基底法与坐标法的灵活切换，应对不同题型。
【考点二：平面向量的坐标运算】
【例题】1．（2025 高三·全国·专题练习）设向量
绕点
逆时针旋转
得向量
，且
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）如图，扇形的半径为，圆心角
，点
在弧
上运动，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】1．（21-22 高一下·全国·单元测试）向量
，
，在正方形网格中的位置如图所示，若
，则
．
2．（24-25 高一下·江苏南京·阶段练习）若
，
，则
的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·贵州六盘水·期末）已知边长为1 的正方形
，动点P 在以点A 为圆心且与
相切
的圆上.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【解题策略】
一、核心基础：向量坐标的求解策略
（一）两类核心场景与解题步骤
1. 已知点坐标求向量坐标
适用场景：已知向量起点、终点的直角坐标，求向量坐标（高考高频基础题型）。
解题依据：若
，
，则
（终点坐标 - 起点坐标）。
解题步骤：
① 明确向量的起点
和终点
，标注两点坐标
，
；
② 代入公式计算：
；
③ 验证符号（如
与
互为相反向量，坐标符号相反）。
2. 已知向量坐标求点坐标
适用场景：已知向量坐标及其中一个端点坐标，求另一个端点坐标（常与几何图形结合）。
解题依据：设
，
，则
；若已知
，则
。
解题步骤：
① 设未知点坐标为
（如已知
求
，设
）；
② 根据向量坐标公式列方程：
；
③ 解方程组得
，即未知点坐标。
二、高频题型：向量线性运算的坐标解题策略
（一）核心运算公式（必须熟记）
设
，
，
为实数，则：
1. 加法：
；
2. 减法：
；
3. 数乘：
。
（二）解题步骤
1. 直接运算型（基础题）
解题步骤：
① 明确已知向量的坐标（若未直接给出，先按“点坐标求向量坐标”步骤计算）；
② 代入对应运算公式，分别计算
分量和
分量；
③ 整理结果，写出目标向量的坐标。
2. 含参数运算型（中档题，常考）
解题步骤：
① 设含参数的向量坐标（如
，为参数）；
② 按运算规则列出含参数的目标向量坐标表达式；
③ 根据题干条件（如向量长度、与其他向量的关系）列方程，求解参数。
三、重难点题型：向量共线与垂直的坐标解题策略
（一）向量共线的坐标判定与应用
1. 核心定理
设
，
（
），则
（交叉相乘差为0）。
2. 解题步骤（常考参数求解、三点共线问题）
① 写出两向量的坐标（若为三点共线，先求两点构成的向量坐标，如
和
）；
② 代入共线条件
，列方程；
③ 解方程得参数值（或验证共线）。
（二）向量垂直的坐标判定与应用
1. 核心定理
设
，
，则
（对应坐标乘积和为0）。
2. 解题步骤（常考参数求解、垂直关系证明）
① 写出两向量的坐标（若为几何图形中的垂直，先求相关向量坐标，如三角形的两边向量）；
② 代入垂直条件
，列方程；
③ 解方程得参数值（或验证垂直）。
四、综合题型：向量坐标运算与几何图形结合的解题策略
（一）核心场景：三角形、平行四边形中的坐标运算
解题步骤（通用）
① 建系：若题干无坐标系，根据图形特征建立直角坐标系（优先以顶点为原点，或让边与坐标轴重合，
简化点坐标）；
② 求坐标：确定图形各顶点的坐标，进而求出相关向量的坐标；
③ 用公式：根据题干要求（如求向量和、证明共线/垂直、求数量积），代入坐标运算公式；
④ 得结论：整理计算结果，回答题干问题。
五、易错点规避与解题技巧
（一）常见易错点提醒
1. 向量与点坐标混淆：向量坐标是“终点-起点”，点坐标是位置坐标，如
是点坐标，
是向量坐标（
为原点），不可直接等同；
2. 共线条件遗漏“
”：若
，则
恒成立，但此时
与
共线（零向量与任意向
量共线），需结合题干判断是否需排除
；
3. 数量积与模的运算混淆：模的平方是“坐标平方和”（如
），数量积是“对应坐标乘积
和”（如
），不可记错公式。
（二）实用解题技巧
1. “原点化”技巧：若向量以任意点为起点，可转化为以原点为起点的向量（如
），简
化运算；
2. 参数设元技巧：涉及动点或未知向量时，设参数坐标（如动点
，向量
），用参数
表示关系，再列方程求解；
3. 几何意义辅助：坐标运算可结合几何意义验证（如
的坐标对应平行四边形法则，
的坐标对应
向量的伸缩），避免纯代数计算错误。
六、题型总结与高考适配
题型分类
高考占分
解题关键
典型例题来源
向量坐标求解
3-5 分
牢记“终点-起点”公式
选择题/填空题前半段
线性运算与参数求解
5 分
准确代入加减、数乘公式
选择题/填空题
共线与垂直判定
5 分
掌握“交叉差为0”“乘积和为
0”
选择题/填空题中档
几何图形与坐标结合
4-6 分
合理建系，转化向量坐标
解答题第（1）问
备考建议：针对高考高频的“共线/垂直求参数”“几何图形建系运算”，每天练习1-2 道典型题，熟练公
式与步骤；整理错题时标注易错点（如坐标计算错误、公式记错），避免重复失分。
【考点三：平面向量共线的坐标表示】
【例题】1．（24-25 高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量
．
(1)若
与
平行，求
的值；
(2)若
与
垂直，求
的值．
【针对训练】1．（24-25 高一下·天津·期末）已知向量
.若
与共线，则
实数k 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，
，若
，则
．
【解题策略】平面向量共线的坐标表示解题策略
一、核心定理：共线向量的坐标判定依据（必须熟记）
设平面向量
，
，其中
（关键前提：零向量与任意向量共线，若
，则
与
必共线，需单独验证），则：
（本质：两向量坐标“交叉相乘，差值为0”）。
二、三大高频题型与解题步骤
（一）题型1：已知两向量共线求参数（高考基础题，占3-5 分）
适用场景
已知两向量坐标含参数（如
，
），且两向量共线，求参数值（如
）。
解题步骤
1. 定向量坐标：明确两向量的坐标形式，标注参数（如
含参数
，
为已知坐标）；
2. 验非零前提：判断含参数向量是否可能为零向量（如
，若
，则
，
与
必共线，需结合题干判断是否保留此情况）；
3. 代共线公式：将坐标代入
，列关于参数的一元方程；
4. 解方程验证：求解方程得参数值，若题干有额外条件（如向量非零），需代入验证排除不符合的解。
（二）题型2：三点共线的坐标判定（高考中档题，占5 分）
适用场景
已知三点坐标（或含参数的坐标），判断三点是否共线（如
，
，
），或已知
三点共线求参数。
解题步骤
1. 构向量：取三点中任意两点构造两个共起点的向量（优先选公共点为起点，如以
为公共点，构造
和
）；
2. 求向量坐标：根据“向量坐标=终点坐标-起点坐标”，计算两向量的坐标（如
，
）；
3. 代共线条件：将两向量坐标代入
（此处
为
坐标，
为
坐标）；
4. 判共线：若等式成立，且两向量有公共点，则三点共线；若含参数，解方程得参数值。
（三）题型3：共线向量与几何图形结合（高考综合题，常为解答题第1 问，占4-6 分）
适用场景
在三角形、平行四边形、梯形等几何图形中，已知某组向量共线（如线段中点、三等分点关联向量），求
点坐标或参数（如
为
上一点，且
，求
的坐标）。
解题步骤
1. 建系（若需）：无坐标系时，根据图形特征建直角坐标系（优先让顶点在坐标轴或原点，简化点坐标，
如设
，
）；
2. 定已知点坐标：标注图形中已知顶点的坐标，设未知点坐标（如
）；
3. 表共线向量：用点坐标表示出共线的两个向量（如
，
）；
4. 列方程求解：代入共线条件
，结合图形隐含关系（如
在
上，满足
与
共
线），列方程组求解未知点坐标或参数。
三、四大易错点规避（高考失分重灾区）
1. 遗漏“
”前提：若直接用
，需先确认
；若
可能为零向量（如
），需单独讨论
的情况（此时
，
与
必共线）；
2. 向量坐标计算错误：求向量坐标时，混淆“起点-终点”与“终点-起点”（如
是
，而非
），导致后续代入公式结果错误；
3. 三点共线未验证公共点：仅满足
不能判定
共线，需两向量有公共点（如
与
共点
）；
4. 忽略题干限制条件：如“向量非零”“点在线段上（而非直线上）”，需在求得参数后，代入验证是
否符合限制（如
为
中点，参数需满足
，为分点比）。
四、实用解题技巧（提速提分关键）
1. “参数统一”技巧：若向量含多个参数（如
，
），代入共线条件后，可整理
为关于参数的一元一次/二次方程，优先用因式分解法求解（避免求根公式耗时）；
2. “共线分点”结论复用：若涉及线段分点（如
分
为
），可直接用分点坐标公式（
，
），结合共线条件快速计算（本质是
与
共线的推导结果）；
3. “几何意义辅助验证”：共线向量坐标满足“横纵坐标成比例”（如
，
，则
，
），可用于快速验证计算结果（如
，
，
，必共线）；
4. “排除法”解选择题：已知两向量共线求参数的选择题，可将选项代入
，快速排除不符
合的选项（比解方程更高效）。
五、高考适配与备考建议
1. 考情分析：该考点单独考查时，多为选择题/填空题（5 分），结合几何图形时，常作为解答题第（1）
问（4-6 分），难度中等，是“保分题”；
2. 高频考法：①已知两向量共线求参数；②已知三点共线求参数；③几何图形中利用共线求点坐标；
3. 备考策略：①每天练1-2 道专项题，熟练“代公式→解方程→验证”流程；②整理错题时，标注易错点
（如参数验证、向量坐标计算）；③熟记“共线分点坐标公式”“三点共线向量判定法”等二级结论，缩
短解题时间。
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量
，
，
，若
A，B，C 三点共线，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·模拟预测）在
中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D
的三等分点，则
（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在
中，D 是边AB 上一点，且
，点E 是CD 的中点．
设
，
，则
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知
为坐标原点，
，若
、
，则与
共线的
单位向量为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
6．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．6
7．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，四边形
是正方形，
分别
，
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·北京·模拟预测）如图，
，点P 在由射线
、线段
及
的延长线围成的阴影区
域内（不含边界）运动，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
中，
为线段
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（21-22 高三下·湖南常德·阶段练习）在
中，
，
，
，
是
的外接
圆上的一点，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2025·辽宁·模拟预测）已知等边三角形
的边长为
，
，
，
交
于点
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
为
的中点
12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量
，
为平面
内两个单位向量，且
，则下
列说法正确的有（ ）
A．
在
上的投影向量为
B．
C．
与
可以构成平面
内所有向量的一组基底
D．
三、填空题
13．（2023·广东广州·一模）已知向量
，
，
与
共线，则
.
14．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形
中，
，
，
，
，动
点
在以点
为圆心，且与直线
相切的圆上移动，设
，则
最大值是
.
四、解答题
15．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量
，
，
．
(1)求
的坐标，
的值；
(2)若
，求实数k 的值；
(3)若
，求实数k 的值．
