文档文本内容
第29 讲空间几何体的结构、表面积与体积
（知识清单+6 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
空间几何体结构辨析，棱柱、棱台定义与性质
单选/多选/填空题
5 分/6 分
球的表面积与体积公式，外接球基础计算
单选/填空题
5 分
斜二测直观图面积换算，平面图形与直观图转化
单选/填空题
5 分
组合体表面积与体积计算，圆柱+半球拼接
单选/填空题/解答题
5 分/12 分
【知识点01】空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不
一定相等
延长线交于一点
侧面
形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且
相等，垂直
于底面
相交于一点
延长线交于
一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展
开图
矩形
扇形
扇环
【例1】下列命题正确的是（）
① 棱台的上下底面一定相似；② 正棱柱一定是直棱柱；③ 圆锥的母线长等于底面圆直径。
【知识点02】直观图
(1)画法：常用斜二测画法.
(2)规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长
度不变，平行于y 轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半.
【例2】已知一个水平放置的平面图形直观图是边长为2 的正方形，求原平面图形的面积。
【知识点03】圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S 圆柱侧=2π
rl
S 圆锥侧=π rl
S 圆台侧=π(
r 1+ r 2) l
【例3】已知圆锥底面半径r =2，母线长l =6，求圆锥侧面积与侧面展开图圆心角。
【知识点04】柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S 表=S 侧+2S 底
V=Sh
锥体
S 表=S 侧+S 底
V=1
3Sh
台体
S 表=S 侧+S 上+S 下
V=1
3( S 上+ S 下 +❑√S上S下) h
球
S 表=4π
R 2
V=4
3 π R 3
【例4】圆锥底面半径r =3，高h= 4，求表面积与体积。
【题型一】空间几何体的结构
【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台
的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2 倍，体积为
，则该圆台的母线长为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．在正方体的所有顶点中取4 个点，则由这4 个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面
体
【变式2】（多选）（2026·四川广安·二模）下列几何体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器
（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m 的球体
B．底面直径为0.01m，高为1.8m 的圆柱体
C．底面直径为0.8m，高为1.1m 的圆锥体
D．所有棱长均为1.4m 的四面体
【变式3】（2025·河北·模拟预测）半球形容器内放有三个半径均为1 的玻璃球，三球两两相切且均与容器内壁和容
器沿口所在平面相切，则半球形容器的半径为________.
【题型二】空间几何体的三视图和直观图
【例2】（2025·河南·三模）某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状的孔
洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的
的直观图如图所示，其中
是
的中
点，且
轴，
轴，
，那么
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____________.
【变式3】（2026·山东·一模）水平放置的
，用斜二测画法得到直观图
，如图所示，若
，
则
的面积等于___________．
【题型三】柱、锥、台的表面积
【例3】（2026·河南濮阳·模拟预测）若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（2026·广东·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，高为5，一个圆柱内接于该圆锥，其下底面位于圆锥的底
面上，上底面圆周落在圆锥的侧面上，则该圆柱表面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】正四棱锥P-ABCD 的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________．
【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱
中，
为
上一点，
，
，平面
将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．8
D．9
【变式2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个
正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为
和
的“升”，侧棱长为
，要做成一个该“升”的几何体，
其侧面所需板材的最小面积为_________
．
【变式3】（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形
，若
，则该圆台
的侧面积为______．
【题型四】柱、锥、台的体积
【例6】（2026·江苏·三模）在直三棱柱
中，点
满足
，若经过
，
，
三点的平面
将棱柱分为
，
两部分
的体积较小，则
与
的体积之比为（ ）
A．4 5∶
B．5 7∶
C．10 17
∶
D．8 19
∶
【例7】（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥
的底面
是边长为2 的正方形，侧棱长均为
.若圆
柱的一个底面的圆周与正方形
的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥
的四条侧棱都相交，则该圆
柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在正四棱台
中，
，该正四棱台的侧面积为
，则该正四棱台的体积为____________．
【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体
积与所截出棱锥的体积的比值是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【变式2】（2026·福建漳州·三模）已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为
，则该圆台的体积
为___________．
【变式3】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆锥的底面半径为
，侧面积为
，则此圆锥的体积为___
．
【题型五】球的体积和表面积
【例9】（2026·重庆江北·模拟预测）已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积
之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）若球
与球
的体积之比为
，表面积之比为
，且棱长为1 的正方体的
所有顶点都在球
的表面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·河北张家口·一模）已知球O 的表面积为
，点P，A，B，C 均在球面上，且
，
，
，则（ ）
A．球O 的半径为2
B．平面
截球面所得小圆的面积为
C．点
到平面
的距离为
D．球体挖去四面体
后余下部分的体积为
【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是
，则该圆锥的
底面半径与球的半径的比值为______．
【题型六】组合体的表面积和体积
【例10】已知某简单组合体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维
复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈
半径的8 倍，若球外圈半径为4m，内部容积为
，则它使用材料的体积（
近似为3）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，正四棱锥
底面边长和高均为
，
分别是其所在棱的中点，则几何体
的体积为______.
【变式3】（2025·宁夏银川·三模）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的
四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的
底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是__________.
【解题大招01】几何体结构辨析秒杀法
核心解题技巧
1. 棱柱判定：两底平行全等+侧棱平行相等，仅有“两面平行、其余为平行四边形”不能判定棱柱；
2. 棱台判定：必须满足上下底相似平行+侧棱延长线交于一点，不交于一点为伪棱台，不能用台体公式；
3. 旋转体判定：严格区分旋转轴，直角三角形绕直角边旋转为圆锥，绕斜边旋转为双圆锥组合体。
【例1】下列命题正确的是（）
① 所有侧棱相等的棱柱是直棱柱；② 棱台的上下底面一定相似；③ 矩形绕任意一边旋转均可得到圆柱
【解题大招02】斜二测直观图面积换算公式法
核心技巧与微软公式
无需画图、无需找点换算，直接套用固定倍数关系，高考必考秒杀结论：
S原图=2❑√2⋅S直观图,S直观图=
❑√2
4 ⋅S原图
口诀：原图更大，直观缩小，倍数根二倍根号二
【例2】水平放置的平面图形直观图为等腰直角三角形，直角边长为2，求原图形面积。
【解题大招03】旋转体侧面展开图转化法（空间转平面）
核心解题原理
所有旋转体展开图问题，核心等量关系：几何体底面周长 = 展开图形弧长
核心秒杀公式
圆锥侧面展开圆心角：θ = r
l ×360
∘
其中：r为底面半径，l为圆锥母线长
【例3】已知圆锥底面半径r = 4，高h=3，求侧面展开图圆心角和侧面积。
解析：1. 求母线长：l =
❑√r
2+h
2=
❑√4
2+3
2=5
2. 侧面积计算：S侧= πrl =20 π
3. 圆心角计算：θ = 4
5 ×360
∘=288
∘
答案：侧面积20 π，圆心角288
∘
【解题大招04】单一几何体表面积快速计算法
核心解题技巧
1. 区分母线与高：圆锥、圆台公式只用母线，绝对不能代入高；
2. 看清题意：有无底面、有无顶盖，题目求“侧面积”不加大底，求“表面积”全加；
3. 公式速记：柱体双面、锥体单面、球体无底面。
核心公式（微软标准）
圆柱：S表=2πr(l+r )
圆锥：S表= πr(l+r )
球：S = 4 π R
2
【例4】已知圆锥底面半径r =5，母线l =13，求圆锥全面积。
【解题大招05】几何体体积通用速算法
核心技巧口诀
柱体直接底乘高，锥体三分底乘高，台体三分之一和积开方，球体四三派R 方
标准体积公式
柱体：V = Sh
锥体：V = 1
3 Sh
台体：V = 1
3 h(S上+ S下+ ❑√S上S下)
球体：V = 4
3 π R
3
【例5】正四棱锥底面边长为4，高为3，求体积。
【解题大招06】组合体拆分法
核心解题思路
1. 体积计算：整体拆分、直接相加，无损耗、无扣除；
2. 表面积计算：总表面积 = 各几何体表面积之和− 2 倍重叠贴合面积（贴合两面均被遮挡）；
3. 解题步骤：先拆分、再算单个体积/面积、最后合并修正。
【例6】组合体由半球+同底圆柱拼接而成，底面半径R =2，圆柱高h=3，求组合体表面积与体积。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·浙江金华·二模）如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六
棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山西晋城·模拟预测）某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半
径的2 倍，体积为
，则该圆台的母线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·云南红河·模拟预测）如图，该几何体由高均为1 的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若
该几何体底面半径为1，则（ ）
A．圆锥的母线长为
B．圆锥与圆柱的体积比为1：3
C．该几何体的表面积为
D．圆锥侧面展开图的圆心角为
三、填空题
5．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________．
6．（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3 倍，底面半径缩小为原来的
，得
到的新圆柱的体积是_________．
四、解答题
7．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.
(1)求“浮球”的体积；
(2)求“浮球”的表面积.
8.（2024·全国·模拟预测）已知在正四面体
中，棱
的中点分别为
．
(1)若
，求
的面积；
(2)平面
将正四面体
划分成两部分，求这两部分的体积之比．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2024·山东·一模）某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥
中，底面
是边长为2 的等边三角形，
，且二面
角
的大小为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2 的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．
则（ ）
A．该几何体的体积为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的外接球半径为
D．该几何体有7 个面
三、填空题
4．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在几何体
中，侧棱
，
，
均垂直于底面
，已知
，
，
，则该几何体的体积是______．
四、解答题
5．如图，正三棱柱
内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱
的体积与表面积.
6.如图，在边长为4 的正三角形ABC 中，E，F 分别是边AB，AC 上的中点，
，
垂足分别是D，H，G，将
绕AD 所在直线旋转
．
(1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V；
(2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧
棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如
），另外两条相对的侧棱交于一
点（如
）.已知正四棱柱底面边长为
，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏扬州·三模）一个棱长为6 的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容
器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个
水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（ ）．
（参考数据：
，
）
A．0.1
B．0.2
C．0.5
D．0.6
二、多选题
3．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，AC 为圆锥SO 底面圆
的直径，点
是圆
上异于
、
的动点，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO 的侧面积为
B．三棱锥
体积的最大值为4
C．圆锥SO 外接球的表面积为
D．若
，
为线段AB 上的动点，则
的最小值为
三、填空题
4．（2024·陕西·模拟预测）已知某四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥外接球的表面积为
，则该四棱锥的体积
为______．
四、解答题
5．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2 米．
(1)求该漏斗的表面积和体积；
(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点
爬到点
，求它爬过的最短路径的长．
