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专题01 数列（40题难题）（10单选10多选10填空10大题）
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知 是等比数列，则甲：数列 为递增数列，乙： ，
恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，数列 与数列 的公共项按从
大到小的顺序排列组成一个新数列 ，则数列 的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若数列 ，对于 ，都有 （ 为常数）成立，则称
数列 具有性质 ．已知数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑
换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，
则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20
日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
5．（2024·山东菏泽·一模）若数列 的通项公式为 ，记在数列 的前 项中任
取两数都是正数的概率为 ，则（ ）A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， 且 ，若
，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河南·模拟预测）对于数列 ，定义 为数列 的“加权和”．设数
列 的“加权和” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东·模拟预测）令 ．则 的最大值在如下哪个区
间中（ ）
A． B．
C． D．二、多选题
11．（2024·全国·一模）已知数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中第 项为 ，接下
来的 项为 ， ，接下来的 项为 ， ， ，再接下来的 项为 ， ， ， ，依此类推，则（ ）
A．
B．
C．存在正整数 ，使得 ， ， 成等比数列
D．有且仅有 个不同的正整数 ，使得
12．（2024·安徽安庆·二模）满足 ， ， 的数列 称为卢卡斯数列，则
（ ）
A．存在非零实数t，使得 为等差数列
B．存在非零实数t，使得 为等比数列
C．
D．
13．（2024·广东·模拟预测）设有正数列 ，其前 项和为 ．则下列哪一个 能使对任意的
都有 成立（ ）
A． B．
C． D．14．（2024·山东潍坊·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，且
， ，则（ ）
A． B． 的图象关于点 对称
C． D． （ ）
15．（2024·辽宁·一模）已知数列 的首项为 ，且 ，则（ ）
A．存在 使数列 为常数列
B．存在 使数列 为递增数列
C．存在 使数列 为递减数列
D．存在 使得 恒成立
16．（2024·山东烟台·一模）给定数列 ，定义差分运算： .若数
列 满足 ，数列 的首项为1，且 ，则（ ）
A．存在 ，使得 恒成立
B．存在 ，使得 恒成立
C．对任意 ，总存在 ，使得
D．对任意 ，总存在 ，使得
17．（2024·河北·模拟预测）已知数列 ， ，满足 ， ，当时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024·重庆·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若存在 ，使得 恒成立，则必存在 ，使得 恒成立
B．若存在 ，使得 恒成立，则必存在 ，使得 恒成立
C．若对任意 ， 恒成立，则对任意 ， 恒成立
D．若对任意 ， 恒成立，则对任意 ， 恒成立
19．（2024·湖北·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．当 时， B．
C．数列 单调递增， 单调递减D．当 时，恒有
20．（2024·吉林延边·一模）与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白
银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，
12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白
银分割率．记该数列为 ，其前n项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． （ ） B．C． D．
三、填空题
21．（2024·云南大理·模拟预测）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万
世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为 的线段 ，取 的中
点 ，以 为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为 ，再取 的中点 ，以
为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为 ，以此类推，则 ，
.
22．（2024·山西吕梁·一模）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若
，则 ．
23．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 和等比数列 满足 ，
，则数列 在 时取到最小值．
24．（2024·浙江·模拟预测）用 表示不超过 的最大整数，已知数列 满足： ，， .若 ， ，则 ；若 ，则 .
25．（2024·辽宁·一模）设 ，用 表示不超过 的最大整数，例如： ，则
．
26．（2024·河北·模拟预测）已知 表示不超过 的最大整数， ，设 ，且
，则 的最小值为 ；当 时，满足条件的所有 值的和 .
27．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列 中， ，且 ，若存在正
整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 .
28．（2024·湖南·模拟预测）已知数列 为公差不为0的等差数列， ，且 成等比数列，设
表示不超过 的最大整数，如 ，记 为数列 的前 项和，则
．
29．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ， ，若存在非零常数 ，使得
对任意的正整数 均成立，则 ， 的最小值为 .
30．（2024·河北·一模）已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且 ， ，
，则 ；若数列 和 的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列 ，数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为 ．
四、解答题
31．（2024·吉林·二模）已知数列 ,
(1)求 .
(2)求 的通项公式；
(3)设 的前 项和为 ,若 ,求 .
32．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的最小值．
33．（2024·全国·模拟预测）数列 的前 项和 满足 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 ，证明：数列 的前 项和 满足 ．
34．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知数列 满足 ， ．
(1)已知 ，
①若 ，求 ；
②若关于m的不等式 的解集为M，集合M中的最小元素为8，求 的取值范围；(2)若 ，是否存在正整数 ，使得 ，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
35．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ，
， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2) 表示不超过x的最大整数， 表示数列 的前 项和，集合
共有4个元素，求 范围；
(3) ，求数列 的前 项和．
36．（2024·重庆·模拟预测）已知恒等式 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项积为 求数列 的前 项和.
37．（2024·贵州毕节·二模）若数列 每相邻三项满足 （ ，且 ），则称其为
调和数列.
(1)若 为调和数列，证明数列 是等差数列；
(2)调和数列 中， ， ，前 项和为 ，求证： .
38．（2024·广东佛山·二模）已知数列 满足 ， ，且 ．
(1)证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．
39．（2024·江苏南通·二模）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（ ），使得 ， ， 成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明
理由.
40．（2024·湖南·一模）已知 为非零常数， ，若对 ，则称数列 为 数列．
(1)证明： 数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设 ，若 为 数列，证明： ；
(3)若 为 数列，证明： ，使得 ．
