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【第33 讲：圆的方程】
【知识梳理】
一、圆的定义
平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）叫做圆。
核心要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可。
教材例题关联：常通过定义推导圆的标准方程，如人教版必修2 中“根据两点间距离公式推导圆心为
、半径为
的圆的方程”。
高考真题体现：2023 年全国乙卷文科第6 题，通过圆上点到定点的距离为定长，间接求圆心坐标。
二、圆的三种方程形式
1.标准方程（最常用，优先用于已知圆心和半径的场景）
形式：
（
）
其中，圆心为
，半径为
；若圆心在原点
，方程简化为
。
关键应用：
直接书写：已知圆心
、半径
，方程为
（常考符号细节）。
求圆心/半径：由方程
，得圆心
、半径
（注意圆心坐标符号与方程相
反）。
高考真题示例：2022 年新高考I 卷第14 题，已知圆过两点且圆心在某直线上，先设标准方程，列方
程求解圆心和半径。
2.一般方程（适用于已知圆上三点或方程含二次项的场景）
形式：
（
，此为“圆的条件”，若等于0 为点圆，小于
0 无轨迹）
与标准方程的转化：通过“配方”实现
配方过程：
即
由此得：圆心
，半径
（高频计算点，易漏负号和系数
）。
常考模拟题场景：已知圆过
、
、
三点，代入一般方程列方程组求
，再判断是
否满足圆的条件。
3.参数方程（适用于求圆上点的最值、轨迹问题，高考选填题高频）
形式：若圆的标准方程为
，则参数方程为：
（
为参数，几何意义：圆心到圆上点的连线与x 轴正方向的夹角）
核心应用：求圆上点到定点的距离最值。
例：圆
上的点到点
的距离最大值，用参数方程设圆上点为
，距离公式化简后结合三角函数最值（最大值为“圆心到定点距离+半径”）。
教材例题关联：人教版必修2“用参数方程表示圆上点的坐标，求最值”，高考2021 年浙江卷第10
题曾用此方法求解范围问题。
三、确定圆的方程的方法（解题核心：“两要素法”——求圆心和半径）
1.定义法（已知定点到圆上点的距离为定长）
步骤：①确定圆心（如定点、线段垂直平分线的交点）；②计算半径（圆心到圆上某点的距离）；③
代入标准方程。
示例：已知圆的圆心在x 轴上，且过点
和
，先求两点垂直平分线方程（
），与
x 轴交点（圆心
），再算半径
，方程为
。
2.待定系数法（最通用，分“设标准方程”和“设一般方程”）
设标准方程：已知圆心在某直线上（如y=x）、或已知半径，设
，代入已知条
件列方程求解（a,b,r）。
高考真题：2020 年全国III 卷文科第11 题，已知圆与y 轴相切且过两点，设标准方程后利用“与y 轴
相切则半径等于圆心横坐标绝对值”列方程。
设一般方程：已知圆上三点、或方程中含多个未知系数，设
，代入三点坐
标得三元一次方程组，求解（D,E,F），最后验证
。
四、点与圆的位置关系（基础考点，常结合最值、存在性问题）
设点
，圆
，计算点到圆心的距离
，则：
1.点在圆内：
（等价于
）；
常考场景：若点
在圆
内，代入得
，且满足圆的条
件
，联立求m 范围（模拟题高频）。
2.点在圆上：
（等价于
）；
应用：已知点在圆上，代入方程求参数，如2024 年北京模拟题，点
在圆
上，
代入得
，求k 值。
3.点在圆外：
（等价于
）；
【考点一：圆的方程】
【例题】1．（25-26 高二上·全国·随堂练习）过
且与两坐标轴都相切的圆的方程为 ．
【答案】
或
【分析】先根据已知确定圆心坐标，设圆的标准方程为
，将点代入求解即可
得圆的方程．
【详解】因为圆过
且与两坐标轴都相切，可设圆心为
则圆的标准方程为
，
知识讲解与常考题型
题型分类
则
，
解得
或
，
所以圆的标准方程为
或
．
故答案为：
或
．
2．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知圆
经过
，
两点，圆心在
轴上，则圆
的标准方
程是 ．
【答案】
【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经
过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解.
【详解】方法一：圆心在
轴上，设圆心坐标为
，半径为，
则
，解得
，
所以圆
的标准方程为
．
方法二：弦
的中点为
，且直线
平行于
轴，
则弦
的垂直平分线为直线
，即圆心
．
所以半径
，
则圆
的标准方程为
．
故答案为：
【针对训练】3．（25-26 高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点
，且过点
；
(2)过点
和点
，半径为
；
(3)过三点
.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解；
（2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；
（3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解.
【小题1】所求圆的半径
.
又因为圆心为
，
所以所求圆的方程为
.
【小题2】设圆心坐标为
，则圆的方程为
.
因为
是圆上的点，
所以
解得
或
，
因此，所求圆的方程为
或
.
【小题3】设圆的标准方程为
，
得
，得
，
所以圆的标准方程是
.
4．（2025 高三·全国·专题练习）
到两定点
和
的距离的比等于2（即
），求
动点
的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据题设建立方程求解即可.
【详解】
，
，
代入
，得
，
化简得
，
则动点
的轨迹方程为
．
5．（2025 高三·全国·专题练习）圆心在直线
上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ．
【答案】
或
【分析】设圆心坐标为
，半径为，由题意可得
，求解即可.
【详解】设圆心坐标为
，半径为，则
，解得
或
.
所以圆的标准方程为
或
.
故答案为：
或
.
【解题策略】
一、“已知圆心与半径”类题型解题策略
1.方程形式选择：优先选用圆的标准方程
，直接代入圆心
与半径
即可，无
需额外复杂计算。
2.关键注意点：若圆心坐标含负号，代入方程时需注意符号转换（如圆心
，方程中应为
）；半径需确保为正数，若题目给出“直径”，需先换算为半径（半径=直径/2）。
二、“已知圆上点”类题型解题策略
1.已知圆上三点
方程形式选择：选用一般方程
，避免标准方程中多个未知量（
）的
复杂求解。
核心步骤：将三点坐标分别代入一般方程，得到关于
的三元一次方程组，解方程组求出
；最后必须验证
，确保方程表示圆（非点圆或无轨迹）。
2.已知圆上两点且附加条件（如圆心在某直线上、圆与某轴相切等）
方程形式选择：优先设标准方程
，利用“两点在圆上”列方程（两点代入标准
方程得两个等式），再结合附加条件列第三个方程，联立求解
。
附加条件转化技巧：
若“圆心在直线
”上，直接将
代入方程组；
若“圆与x 轴相切”，则半径
（圆心纵坐标的绝对值）；若“圆与y 轴相切”，则半径
（圆心横坐标的绝对值）。
【考点二：圆的对称性】
【例题】1．（25-26 高二上·全国·课后作业）圆
关于直线
对称，则
．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可．
【详解】由题意得直线
过圆心
，代入直线方程有
，
解得
，
故答案为：3．
2．（24-25 高二上·北京·期中）过点
的直线将
的面积分为相等的两部分，求直
线方程 .
【答案】
【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.
【详解】因为直线将
的面积分为相等的两部分，
所以该直线过圆心
，由两点式知该直线方程为
.
故答案为：
【针对训练】1．（23-24 高二下·上海·期末）若直线
是曲线
的一条对称轴，则
的最小值是 .
【答案】4
【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线
过圆心，则可得
所以
，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由
，得
，
所以曲线
表示的是以
为圆心的圆，
因为直线
是曲线
的一条对称轴，
所以直线
过点
，
所以
，即
所以
（当且仅当
时，等号成立）
故答案为：4
2．（23-24 高二上·宁夏银川·期末）若圆
（
，
）被直线
平分，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值.
【详解】圆
，即
，圆心为
，半径为
，
因为圆
（
，
）被直线
平分，
则直线过圆心，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
故答案为：
.
3．（23-24 高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆
关于直线
对称的圆的方程为
.
【答案】
【分析】先求出圆心
的对称点，然后求解对称圆的方程即可.
【详解】圆
的圆心为
，
则
关于
对称的点设为：
，故
.
与
的中点为：
，
中点在
直线上，所以
.
解得：
，所以对称圆的圆心为：
.
所以圆
关于直线
对称的圆的方程为：
.
故答案为：
.
【解题策略】
一、“利用圆的中心对称（关于圆心对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是中心对称图形，对称中心为圆心；圆上任意一点
关于圆心
的对称点
必在圆上。
2.常见题型适配策略：
求圆上点的对称点：直接套用对称点公式，无需额外计算，只需明确圆心坐标即可；若已知圆的方程，
先通过方程（标准/一般式）求出圆心，再代入公式。
利用中心对称求圆的方程：若已知圆
与圆C'关于某点（非圆心）中心对称，先求已知圆圆心关于该
对称点的对称点（即所求圆圆心），半径与已知圆相等，再代入标准方程；若圆上两点关于圆心对称，可
直接通过两点坐标求圆心（圆心为两点中点）。
3.关键注意点：中心对称问题中，“半径不变”是隐含条件，无需额外推导，只需聚焦“圆心的对称转
化”。
二、“利用圆的轴对称（关于直径所在直线对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴；过圆心的直线必为圆的对称轴，
且圆上任意一点关于对称轴的对称点仍在圆上。
2.常见题型适配策略：
判断直线是否为圆的对称轴：只需验证“直线是否过圆心”，若直线方程满足圆心坐标（代入直线方
程等式成立），则为对称轴；若已知圆的方程，先求圆心，再代入直线方程判断。
已知圆的对称轴求参数（如圆方程中含参数）：根据“对称轴过圆心”，将圆心坐标代入对称轴直线
方程，列方程求解参数；若对称轴为坐标轴（如x 轴、y 轴），则圆心对应坐标为0（x 轴为对称轴时，圆
心纵坐标
；y 轴为对称轴时，圆心横坐标
）。
利用轴对称求圆上点的最值/轨迹：若所求问题与轴对称相关（如“圆上点到两条对称直线的距离之
和”），可利用对称性将其中一条直线上的距离转化为另一条直线上的距离，简化计算；若圆上两点关于
某直线对称，则该直线必过圆心，可通过此条件求圆心或直线参数。
3.关键转化技巧：轴对称问题的核心是“对称轴过圆心”，所有条件均可围绕这一特性转化为“圆心与直
线的位置关系”，避免复杂的点对称计算。
三、“圆与对称图形（如轴对称函数、中心对称图形）结合”类题型解题策略
1.核心思路：先明确对称图形的对称中心/对称轴，再结合圆的对称性，找到“圆的圆心与对称图形的对
称元素”的关联，建立方程求解。
2.常见场景适配策略：
圆与轴对称函数（如二次函数、绝对值函数）结合：先求函数的对称轴，根据“圆与函数图像有对称
关系”（如圆上点关于函数对称轴对称后仍在圆上），得出“函数的对称轴必为圆的对称轴”，进而推导
圆心在函数对称轴上，列方程求圆心参数。
圆与中心对称图形（如反比例函数、奇函数图像）结合：先求图形的对称中心，根据“圆与图形有中
心对称关系”，得出“图形的对称中心必为圆的对称中心（圆心）”，直接确定圆心坐标，再结合其他条
件（如圆过某点）求半径。
3.关键注意点：此类题型需先独立分析非圆图形的对称性，再与圆的对称性建立联系，避免混淆两种图形
的对称特性；若题目未明确对称关系，可通过“圆上任意一点的对称点仍在圆上”反向推导对称元素与圆
心的关系。
【考点三：与圆有关的最值问题】
【例题】1．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知实数x，y 满足方程
，则
的最
大值为 ，
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
可化为
，此方程表示圆心为
，半径为1 的圆，
表
示该圆上的点与原点的连线的斜率，
表示圆上的点
到直线
的距离，从而由
直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】方法一
可化为
，此方程表示圆心为
，半径为1 的圆．
设
，则直线
与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键），
所以
，解得
，所以
的最大值为
．
表示圆上的点
到直线
的距离，
因为圆心
到直线
的距离为
，
所以
，即
．
方法二
可化为
，此方程表示圆心为
，半径为1 的圆，
所以
可以看作是圆
：
上一点
与原点连线的斜率，
如图所示，OA，OB 与圆
分别相切于A，B，所以
，连接MA，OM，
所以
，所以
，
所以圆
上一点与原点连线的斜率的最大值为
．设
所以
且
，
所以
．
故答案为：
，
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知直线
，
，与
的交点为
，
为原
点，当
在实数范围内变化时，
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由交轨法得点
在
上运动，用圆的参数方程设出
的坐标，结合两点间距离
公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由题意，联立两直线方程
，利用消元法，消去
得
，
即点
在
上运动，
设
，
则
，
由辅助角公式可知，存在
使得
，
因为
的取值范围是
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【针对训练】1．（2025 高二·全国·专题练习）已知实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】解法1：求出圆心和半径，
，其中
可看作圆上的点
到直线
的距离，数形结合得到圆上的点
到直线
的距离的最小值为
，得到答案；
解法2：先得到
，所以
，令
，
，得到
，由三角函数有界性得到最值.
【详解】解法1：因为
，所以
，
即圆心为
，半径为
，因为
，
可看作圆上的点
到直线
的距离，如图，
所以圆上的点
到直线
的距离的最小值为
圆心
到直线
的距离
减去半径，即
，
因为
，
所以圆上的点
到直线
的距离的最小值为
，
所以
的最小值为
．
解法2：因为
，所以
，
即圆心为
，半径为
，
其中
，且
到直线
的距离为
，
故
，所以
，
令
，
，
则
，其中
为辅助角，
当
时，
最小值为
．
故答案为：
2．（2025·上海·模拟预测）圆
上的点到直线
的距离最大值为 .
【答案】4
【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线
的距离的最大值.
【详解】因为
，
所以圆心坐标为
，半径
.
所以圆上的点到
的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即
的长度.
所以
.
故答案为：4.
3．（24-25 高一下·广东·期中）在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB 为直径，
，
点
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先由几何图形，结合向量的线性运算，化简
，转化为隐圆问题，求圆上的点
与圆外的点的连线的取值范围.
【详解】如图，取
的中点
，取
的中点
，
，
由条件可知，
，
，所以
，
，
则
，所以点
的轨迹是以原点为圆心，半径为
的圆，
的最大值为
，最小值为
，
的最大值为
，最小值是
.
故答案为：
4．（24-25 高二上·广东广州·期中）已知圆
，圆
，
分
别为圆
和圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求得圆
关于直线
对称的圆为圆
，将原问题转化为
到圆
和圆
上的动点距
离之和最小值问题求解.
【详解】圆
，即
，
圆心为
，半径
圆
，即
，
圆心为
，半径
，
设点
关于直线
对称的点为
，
则
，解得：
，
圆
关于直线
对称的圆为圆
，
其圆心为
，半径
，
则其方程为
，
设圆
上的点
与圆
上点
对称，则有
，
原问题可以转化为
到圆
和圆
上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接
，与直线交于点
，
此时点
是满足
最小的点，
此时
，
即
的最小值为
，
故答案为：
【解题策略】
一、核心原则：几何优先，聚焦“圆心、半径与距离”
圆的最值问题本质是“圆上点的极端位置”问题，优先利用圆的几何性质（圆心到点/直线的距离、两圆
圆心距）求解，避免复杂代数运算；若几何法受限，再用参数方程、函数等代数方法辅助。
二、分类型解题策略
1.点与圆的距离最值（含定点到圆上点、圆上点到圆上点）
（1）定点到圆上点的距离最值
核心依据：圆上点到定点的距离的极端位置，在“定点与圆心的连线与圆的交点”上（近点为连线靠
近定点的交点，远点为远离定点的交点）。
解题策略：
①设圆的圆心为
、半径为
，定点为
；
②计算圆心到定点的距离
；
③距离最大值：
（远点距离），最小值：
（近点距离，若
在圆内，最小值为
）。
关键注意点：无需列函数或参数方程，直接用“
与
的组合”计算，效率最高。
（2）两圆上点的距离最值（跨圆距离）
核心依据：两圆上点的距离极端位置，在“两圆圆心的连线与两圆的交点”上。
解题策略：
①设两圆的圆心为
，半径为
，圆心距为
；
②分情况求最值：
外离/外切/相交/内切：最大值均为
（两圆外侧交点距离）；
外离：最小值为
（两圆内侧交点距离）；
外切/相交/内切：最小值为
（两圆有公共点）；
内含：最小值为
（大圆内侧与小圆外侧交点距离）。
2.直线与圆的距离最值（含圆心到直线、圆上点到直线）
（1）圆心到直线的距离（基础参考量）
核心依据：圆心到直线的距离
是圆与直线位置关系的判断标准，也是后续求圆上点到直线距离最值
的基础。
解题策略：直接用点到直线的距离公式
（直线
，圆心
），无需额外转化。
（2）圆上点到直线的距离最值
核心依据：圆上点到直线的距离的极端位置，在“圆心到直线的垂线段与圆的交点”上（近点为垂线
段靠近直线的交点，远点为远离直线的交点）。
解题策略：
①计算圆心到直线的距离
；
②距离最大值：
（远点距离），最小值：
（近点距离，若直线与圆相交，最小值为
）。
关键注意点：无需联立直线与圆的方程求交点，直接用“
与
的组合”，避免代数运算冗余。
3.圆上点的坐标及表达式最值（横纵坐标、线性/非线性表达式）
（1）圆上点的横/纵坐标最值
核心依据：圆上点的横/纵坐标的极端值，在圆与x 轴/y 轴的交点，或圆心横/纵坐标与半径的组合。
解题策略：
①设圆心为
，半径为
；
②横坐标
：最大值
，最小值
；
③纵坐标
：最大值
，最小值
。
（2）圆上点的线性表达式最值（如
、
等）
方法1：几何法（推荐，更快捷）
核心依据：线性表达式
表示斜率固定的直线，
的最值对应直线与圆有公共点时的“截距
极端值”，此时直线与圆相切（截距最大/最小）。
解题策略：
①设
，整理为直线方程
；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，即
；
③解绝对值方程得
的两个值，即最大值与最小值。
方法2：参数方程法（辅助，适合三角函数熟悉者）
核心依据：圆的参数方程将横纵坐标转化为三角函数，线性表达式可化为“
”的形
式，其值域为
。
解题策略：
①用圆的参数方程
代入线性表达式；
②整理为
的形式（
为常数）；
③利用三角函数值域求最值：最大值
，最小值
。
（3）圆上点的非线性表达式最值（如
、
等）
类型1：斜率型（
，表示圆上点与定点
连线的斜率）
核心依据：斜率最值对应“定点与圆上点的连线为圆的切线”时的斜率。
解题策略：
①设斜率为
，得直线方程
（整理为标准式）；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，列方程求
的最值。
类型2：距离平方型（
，表示圆上点与定点
距离的平方）
核心依据：距离平方的最值与距离的最值同步，无需额外计算。
解题策略：先求圆上点到定点的距离最值（见“点与圆的距离最值”），再平方即得结果。
4.圆的面积最值（本质是半径最值）
核心依据：圆的面积
，面积最值等价于半径
的最值。
解题策略：
①根据题目条件（如圆过定点、圆心在某直线上），将半径
转化为“圆心到定点的距离”（如过定
点
的圆，
）；
②求半径
的最值（即求圆心到定点的距离最值，结合圆心的约束条件，如圆心在某直线上时，距离
最值为“定点到直线的距离”）；
③代入面积公式得最值。
三、通用关键注意点
1.几何优先：所有最值问题先尝试“找圆心、算距离、结合半径”，避免直接用代数法（如联立方程、求
导）增加计算量；
2.极端位置：圆上点的极端位置必在“圆心与关联点（定点、直线垂足）的连线上”，无需遍历所有点；
3.公式记忆：核心公式（点到直线距离、两圆圆心距与半径的组合）需熟练，避免混淆最值的加减关系。
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为
的圆与
轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．
B．
课后针对训练
C．
D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2 的线段AB 的两个端点分别在x 轴及y 轴上运动，则线段AB 的中
点到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
3．（2025·四川眉山·三模）方程
表示圆，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2006·湖南·高考真题）圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的
差是（ ）
A．36
B．18
C．
D．
5．（2022·北京·高考真题）若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．（2017·全国·高考真题）已知点
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·重庆·三模）已知点
动点
满足
则
(
为坐标原点)的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（24-25 高三上·北京·期中）已知定点
，
，若点
在圆
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2025·陕西汉中·二模）设
为坐标原点，
为圆
上的动点，则
的最大值
为 ．
10．（2025·安徽·模拟预测）已知圆
上存在两点关于直线
对称，则圆
的
半径为 .
11．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为 ．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，则
的方
程为 ．
13．（2025·湖北十堰·三模）定义：
表示点
到曲线
上任意一点的距离的最小值．已知
是圆
上的动点，圆
，则
的取值范围为 ．
14．（2023·上海·高考真题）已知圆
的面积为
，则
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
D
A
B
B
A
1．B
【分析】圆的圆心为
，半径为
，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为
，半径为
，故圆方程为：
.
故选：B.
2．D
【分析】确定
的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设
，
由题意可得：
，
设
的中点坐标为
，则
，
所以
，即线段
的中点的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
圆心
到
的距离为：
，
所以线段
的中点到直线
距离的最大值为
，
故选：D
3．D
【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】若方程
表示圆，则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
4．D
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：因为圆
，即
，
所以圆心坐标为
，半径
，
因为圆心到直线
的距离
，
所以直线
与圆
相离，
所以圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的差为
，
故选：D.
5．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选：A．
6．B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设
中点为O，则
，即
，
设圆半径为r，则
，
则以
为直径的圆的方程为
.
故选：B.
7．B
【分析】由
得到点
的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为
所以点
在以
为直径的圆上，
圆的方程为
，
所以
的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即
.
故选：B.
8．A
【分析】设点
，且
，由此可求得
，利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定
当
三点共线时取得最小值.
【详解】设点
，则
，
设点
，且
，
，
解得：
，
存在点
，使得
，
（当且仅当
三点共线时取等号），
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼
斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解.
9．
【分析】求出
的值，即可得出
的最大值.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
因为
，所以
的最大值为
．
故答案为：
.
10．
【分析】依题意，得直线
过圆心
，即可求解．
【详解】因为圆上存在两点关于直线
对称，
所以直线
过圆心
，
从而
，解得
，
则圆
的方程为
，
故圆
的半径为
．
故答案为：
11．
或
或
或
．
【分析】方法一：设圆的方程为
，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立
得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
12．
【分析】设出点M 的坐标，利用
和
均在
上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M 在直线
上，
∴设点M 为
，又因为点
和
均在
上，
∴点M 到两点的距离相等且为半径R，
∴
，
，解得
，
∴
，
，
的方程为
.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线
的交点(1,-1).
,
的方程为
.
故答案为：
13．
【分析】记
为坐标原点，作出图形，求出
的取值范围，即可得出
的取值范围.
【详解】记
为坐标原点，圆
的圆心为原点，圆
的半径为，
由圆的几何性质可知，
，
且
，即
，即
，
当且仅当点
时，
取最小值，当且仅当点
时，
取最大值，
故
.
故答案为：
.
14．
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【详解】圆
化为标准方程为：
，
圆的面积为
，
圆的半径为
，
，解得
．
故答案为：
