第33 讲空间角的求解与立体几何综合
（知识清单+9 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
线线垂直证明、二面角求解
解答题
12 分
圆锥内动点距离最值
单选/解答题
5 分/12 分
距离与体积最值
填空题
5 分
面面垂直证明、线面角求解
解答题
12 分
点到面距离、线面平行存在性探索
解答题
12 分
动点轨迹判定
多选题
6 分
截面形状、面积分析
单选/多选题
5 分/6 分
【知识点01】异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|=|u·v |
|u||v | .
【例1】
在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，棱长为2，求异面直线A B1与BC1所成角的余弦值。
【知识点02】直线与平面所成的角
如图，直线AB 与平面α 相交于点B，设直线AB 与平面α 所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u，平面α 的法向
量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|=|
u·n
|u||n||=|u·n|
|u||n| .
【例2】正方体棱长为2，求直线A C1与底面ABCD所成角的正弦值。
【知识点03】平面与平面的夹角
如图，平面α 与平面β 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α 与平面β 的
夹角.
若平面α，β 的法向量分别是n1和n2，则平面α 与平面β 的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α 与平面β
的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|= |n1·n2|
|n1||n2|.
【例3】正方体棱长为2，求平面ABC1与平面ABC的夹角余弦值。
【知识点04】点到直线的距离
如图，已知直线l 的单位方向向量为u，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设⃗AP=a，则向量⃗AP在直线l 上
的投影向量⃗AQ=(a·u)u，在Rt△APQ 中，由勾股定理，PQ=❑√|⃗AP|
2−|⃗AQ|
2=❑√a
2−(a·u)
2.
【例4】已知点P(2,0,0)，直线过A(0,0,0)，方向向量s=(0,2,2)，求点P到直线的距离。
【知识点05】点到平面的距离
如图，已知平面α 的法向量为n，A 是平面α 内的定点，P 是平面α 外一点.过点P 作平面α 的垂线l，交平面α 于
点Q，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面α 的距离就是⃗AP在直线l 上的投影向量⃗QP的长度，因此PQ=
|⃗AP·
n
|n||=|⃗
AP·n
|n| |=|⃗AP·n|
|n|
.
【例5】求点P(2,2,2)到平面xOy的距离。
【知识点06】立体几何中的截面、交线问题
核心原理：平面基本性质，两点确定一条直线；三面共点，延长线必交于一点
作图口诀：找共面两点，连线延长，找公共交点，依次连接形成封闭截面
考法：判断截面形状、求截面周长/面积、找面面交线
【例6】正方体ABCD−A1B1C1 D1，点E为A A1中点，点F为C C1中点，过D1, E , F三点作正方体截面，判断
截面形状。
【知识点07】立体几何中的动态、轨迹问题
解题方法：①几何法：定点定距判定圆、线段、球面轨迹；②向量坐标法：设动点坐标，列等式化简轨迹方程
常见轨迹：圆、线段、圆弧、球面
【例7】在正方体中，动点P在棱BC上运动，求证点P到直线A D1的距离为定值，并判断动点轨迹。
【题型一】异面直线夹角的向量求法
【例1】（2026·重庆·一模）正三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = A A1，则异面直线A B1与BC1所成角的余弦值为
（ ）
A．−
❑√15
4
B．−1
4
C．
❑√15
4
D．1
4
【变式1】（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体ABCD中，M ，N分别为AB，AD的中点，连接CM ，BN，
若正四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为（ ）
A．
❑√3
6
B．1
12
C．
❑√6
6
D．1
6
【变式2】（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱ABC −A1B1C1中，已知AB = AC =3，BC = B B1=2，则异面直线
AB与B1C所成角的余弦值为________．
【变式3】（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥S−ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB =2CD =3，
AD = AS = 4，SB =5，SD = 4 ❑√2．
(1)求证：AB⊥平面SAD；
(2)若⃗SB = 4⃗SM，求直线BD 与直线MC 所成角的余弦值．
【题型二】线面角的向量求法
【例2】（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥AC，AB = AC = 3
2 A A1，D为线段BC
的中点，点E在线段B1C1上，且B1 E = 1
3 B1C1，则直线DE与平面AC C1 A1所成角的正弦值为（ ）
A．1
6
B．
❑√2
6
C．
❑√3
6
D．1
3
【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1，过点A且与A1C垂直的平面为α，则A C1与
平面α所成角的余弦值为（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．
❑√6
3
D．2❑√2
3
【变式2】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A(1,1,0)，B(0,3,2)，C(2,0,3)，若平面α // y轴，且BC ⊂α，则
直线AC与平面α所成的角的正弦值为___________.
【变式3】（2026·福建龙岩·三模）已知三棱锥P−ABC，△ABC与△PAB都是边长为2的等边三角形．
(1)若PC = ❑√6，证明：平面ABP⊥平面ABC；
(2)若二面角P−AB−C的大小为π
3 ，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．
【题型三】面面角的向量求法
【例3】（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M是D D1的中点，则平面MA B1与平面
ABCD的夹角余弦值是（ ）
A．2❑√2
3
B．
❑√6
3
C．
❑√5
3
D．2
3
【变式1】在矩形ABCD中，AD =a，AB =b，b>a．将▵ACD沿着AC翻折，使D点在平面ABC上的投影E恰好
在直线AB上，则此时二面角B−AC −D的余弦值为（ ）
A．a
2
b
2
B．a
b
C．
❑√ab
b
D．a+b
2b
【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设A (−❑√2,❑√2),B(3 ❑√2,0)，若沿直线l: y = x
把平面直角坐标系折成大小为θ的二面角后，|AB|=3 ❑√2，则θ的余弦值为______．
【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥AC，A A1=2 AB =2 AC，⃗
BP = λ⃗B B1．
(1)当λ= 1
2时，证明：平面PAC ⊥平面P A1C．
(2)当λ∈(0,1)，记平面PAC与平面BC C1B1的夹角为θ，求cosθ的取值范围．
【题型四】点到平面距离的向量求法
【例4】（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0, y0, z0)且一个法向量为⃗
n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b( y −y0)+c(z−z0)=0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程
为2 x + y + z =2，点Q(2,1,−1)，则点Q 到平面α距离为（ ）
A．
❑√6
6
B．
❑√6
3
C．
❑√6
2
D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出平面α的法向量及所过的点，再利用点到平面距离公式求解
【详解】依题意，平面α :2 x + y + z =2过点P(1,0,0)，其法向量n
→
=(2,1,1)，
则PQ
→
=(1,1,−1)，所以点Q 到平面α距离h=| PQ
→
· n
→
|
|n
→
|
= 2
❑√6 =
❑√6
3 .
【变式1】（多选）（2025·河南·模拟预测）正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2, E , F , M分别是棱
AD , A1B1,B B1的中点，则（ ）
A．EF // BC1
B．EF ⊥A1C1
C．EF //平面B B1 D1 D
D．点E到平面F C1 M的距离为7
4
【变式2】（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，△ABC 是正三角形，D 为AC 的中点，点E 在
棱C C1上，且CE =2 EC1，若AB =2，A A1=3，则点A1到平面BDE 的距离为__________.
【变式3】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥PO的底面半径为2，高为2❑√3，AB是⊙O的直径，点C在⊙O
上，且∠AOC =120°，点M为PB的中点．
(1)求AC与平面POC所成角的正弦值；
(2)求A到平面MOC的距离．
【题型五】点到直线距离的向量求法
【例5】（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为A1B1的中点，则点D到直线
C1 E的距离为（ ）
A．
❑√10
10
B．3 ❑√10
10
C．2❑√5
5
D．6 ❑√5
5
【变式1】（多选）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz，则
（ ）
A．点A 到直线B1 D的距离为
❑√2
2
B．点B 到平面B1C D1的距离为
❑√3
3
C．若点P(x , y , z)在直线B1 D上，则x =1−y = z
D．若点P(x , y , z)在平面B1C D1内，则x + y + z =2
【变式2】已知直线l过点A (1,2,0)，且直线l的一个方向向量为⃗m=(0,−1,1)，则坐标原点O到直线l的距离为
__________.
【变式3】（2026·河南·模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=2 AB =2，⃗C1 E =2⃗EC．
(1)求点A1到直线AE的距离；
(2)求二面角A −DE−A1的正弦值．
【题型六】立体几何中截面的问题
【例6】如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，则过线段BD且垂直于平面
A1 EF的截面图形为（ ）
A．等腰梯形
B．三角形
C．正方形
D．矩形
【变式1】（多选）已知直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的底面为正方形，A A1=2，AB =1，P为C C1的中点，点Q
满足⃗AQ = λ⃗A A1，λ∈[0,1]，过B , P ,Q的截面α与该直四棱柱表面相交，得到截面多边形，则（ ）
A．截面多边形可能为六边形
B．无论λ如何变化，总有平面A1B1 P⊥截面α
C．当λ =0时，该四棱柱的外接球被平面α截得的截面周长为
❑√22π
2
D．当直线A1 D1与平面α所成的角为30°时，AQ = ❑√2
【变式2】在棱长为4 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E是棱A A1上一点，且AE =1.过三点E、B1、C1的平面
截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为______.
【变式3】在棱长为4 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E是棱A A1上一点，且AE =1.过三点E、B1、C1的平面
截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为______.
【题型七】平行、垂直中的动态轨迹问题
【例7】（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2 的正三棱锥P−ABC中，点M 是AC的中点，点N 是侧面PBC上
的一个动点，当MN //平面PAB时，线段MN的长度的最小值是（ ）
A．
❑√3
2
B．❑√3
C．1
2
D．1
【变式1】正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为4，点M为C C1的中点，点P为底面A1B1C1 D1上的动点，满足
BP⊥AM的点P的轨迹长度为（ ）
A．2❑√2π
B．2❑√2
C．2❑√3
D．2❑√3 π
【变式2】（2025·山东滨州·二模）在三棱锥P−ABC中，PA ⊥平面ABC , PA = AB = AC =2,BC =2❑√2，点D为
△PAB内（包含边界）一点，且BD⊥CD，则点D的轨迹的长度为_____．
【变式3】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，M ，G，N分别是棱
AB，BC ，CD的中点，O，E，F分别为面BCD，面ABC，面ACD的重心.
(1)求证：面OEF //面ABD；
(2)求平面OEF与平面ABN的夹角的余弦值；
(3)保持点E，F位置不变，在△BCD内（包括边界）拖动点O，使直线MN与平面OEF平行，求点O轨迹长度；
【题型八】距离、角度有关的动态轨迹问题
【例8】如图，斜线段AB与平面α所成的角为π
4 ，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB =π
6 ，则点P的轨迹为
（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【变式1】已知正方体ABCD−A1B1C1 D1，P 是平面A1BC D1上的动点，M 是线段B1C1的中点，满足PM 与C C1
所成的角为π
6 ，则动点P 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【变式2】（2026·江西赣州·一模）在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =2, AD = A A1=1，点M在四边形
A1B1CD内（含边界）移动，且满足∠M D1 D =∠A D1 D，则点M到直线A1C距离的最小值为（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．2❑√3
5
D．
❑√3
4
【变式3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为 2，P为正方体表面上一点，且点
P到直线A A1的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W ，则曲线W 的周长是_____.
【题型九】翻折有关的动态轨迹问题
【例9】（2025·辽宁本溪·模拟预测）将边长为2的正方形ABCD沿着对角线BD折起，使点A到达点P的位置，得到
三棱锥P−BCD，点M ∈平面BCD，且PM = ❑√3,若PC = ❑√5,则点M的轨迹长度为（ ）
A．3 ❑√2π
4
B．3π
2
C．3 ❑√2π
2
D．3 ❑√2π
【变式1】（多选）（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，
CD = DE = ❑√2，F 为AB 中点，现将△ABE沿BE折起到面A1BE位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是
（ ）
A．平面BCDE⊥平面A1BE
B．若O为BE的中点，则DE //平面FOC
C．折起过程中，F点的轨迹长度为π
4
D．三棱锥A1−CDE的外接球的体积为❑√6π
【变式2】（多选）（2025·江苏常州·模拟预测）已知边长为2 的菱形ABCD，且∠BCD =π
3 ，沿对角线BD折起，
使点C不在平面ABD内，O为BD的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面AOC ⊥平面BCD
B．当BC ⊥AD时，直线AB与平面BCD所成角的余弦值为
❑√3
3
C．当二面角A −BD−C的大小为π
3 时，点P在三棱锥C −ABD的表面上运动，且CP= 3
2，则P点运动轨迹长度
为3
2 π
D．当二面角A −BD−C的余弦值为−1
4 ，则三棱锥C −ABD的外接球的表面积为68
9 π
【变式3】在矩形ABCD中，E是AB的中点，AD =1, AB =2，将△ADE沿DE折起得到△A
' DE，设A
'C的中点为
M，若将△A
' DE绕DE旋转90
∘，则在此过程中动点M形成的轨迹长度为___________.
【解题大招01】空间角的求解（线线角、线面角、二面角）
建立空间直角坐标系，设直线方向向量为s，平面法向量为n
异面直线所成角：θ∈(0, π
2 ]，cos θ =|cos ⟨s1,s2 ⟩|=|s1⋅s2|
|s1|⋅|s2|
直线与平面所成角：θ∈[0, π
2 ]，sin θ =|cos ⟨s,n ⟩|=|s⋅n|
|s|⋅|n|
二面角：θ∈[0,π ]，|cos θ|=|n1⋅n2|
|n1|⋅|n2| ，结合图形判断锐二面角/钝二面角
【例1】在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥BC，AB = BC = A A1=2，建立空间直角坐标系，求解：(1)异面直
线A C1与A1B所成角；(2)直线A C1与平面AB B1 A1所成角；(3)平面ABC1与平面A1B1C1的二面角余弦值。
【解题大招02】空间距离 + 立体几何探索性问题
1：四类空间距离向量通用公式
点到平面距离：d =| AP
→
⋅n|
|n|
（P为平面内任意一点，n为平面法向量）
直线到平面距离：直线平行平面，等价于直线上任意一点到平面距离
两平行平面距离：一个平面内任意一点到另一平面距离
异面直线距离：公垂线段长度，高考一般向量法求解
2：立体几何探索性问题解题方法
参数假设法（高考必考）：先假设存在满足条件的点，设参数λ表示动点坐标，代入垂直/平行/角度条件列方程，有
解即存在，无解即不存在。
【例2】正方体棱长为2，是否存在棱C C1上一点E，使得AE⊥平面BDC1？若存在，求E坐标；若不存在，说明
理由，并求点A到平面BDC1的距离。
【解题大招03】立体几何截面、交线问题
基本事实法：两点确定一条直线，找两个平面公共点，连线即为交线
平行线延伸法：截面遇到平行棱，作平行线补齐截面图形
延长线找点法：线段不相交时，延长棱找公共交点，确定截面顶点
核心原理：两个平面相交，有且仅有一条公共交线；截面所有顶点均需在几何体棱上。
【例3】在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，过三点A ,C , D1作正方体的截面，画出截面图形并判断截面形状。
【解题大招04】立体几何动态、轨迹问题
几何定义法：利用圆、椭圆、抛物线空间定义判断轨迹（最快捷）
坐标代数法：设动点坐标，列等式消参，得到平面轨迹方程
距离定值法：动点到定点/定平面距离恒定，判定圆/球面轨迹
垂直定面法：动点始终在垂直于定直线的平面内，锁定平面范围
【例4】正方体ABCD−A1B1C1 D1，点P在侧面BC C1B1内运动，且满足AP⊥B D1，求动点P的轨迹。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·四川·二模）已知空间中向量⃗AB=（0，1，0），向量⃗AC的单位向量为（−
❑√3
3 ，
❑√3
3 ，−
❑√3
3 ），则点B
到直线AC 的距离为（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√6
3
C．2❑√3
3
D．
❑√15
3
2．（2025·浙江·二模）正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点M , N分别为正方形A1B1C1 D1及AB B1 A1的中心，则异
面直线BD与MN所成角的余弦值为（ ）
A．0
B．
❑√3
4
C．1
2
D．
❑√3
2
3．（2024·江西上饶·一模）如图，长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB = BC =3, A A1=2，点P为平面A1B1C1 D1上
一动点，若∠PBC1=∠BC1C，则P点的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．圆
二、多选题
4．（2025·江苏苏州·三模）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为AB的中点，F为侧面BC C1B1
内的动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．使三棱锥F −A D1 E体积取得最大值的点F唯一
B．存在点F，使得直线C1 F与C1 E的夹角为π
4
C．D1 E⊥AF时，点F的轨迹是线段
D．D1 E //平面A1C1 F时，点F的轨迹长为2❑√13
3
三、填空题
5．如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知∠AOC =π
3 ,OA =2，圆柱的高为5．若点D
在圆柱表面上运动，且满足BC ⊥AD，则点D的轨迹所围成图形的面积为_______．
6．已知菱形ABCD的各边长为2，∠D =60°．如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，
得到三棱锥S−ABC，此时SB =3．则三棱锥S−ABC的体积为_______，E是线段SA的中点，点F在三棱锥
S−ABC的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC，则点F的轨迹的周长为_______．
四、解答题
7．（2025·天津和平·三模）如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的底面边长为2，侧棱A A1=3，E、H分别是
B1C1、BC延长线上的点，且CB =CH，C1B1=C1 E．
(1)求平面AB B1 A1与平面B D1 E的夹角的正弦值；
(2)求直线B1 H与平面B D1 E所成角的正弦值；
(3)求点A到平面B D1 E的距离．
8．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=2 AB =2BC = 4，E是B B1的中点，
F是E B1的中点，O是底面A1B1C1 D1的中心．
(1)证明：OF ⊥平面AEC．
(2)若P是侧面CD D1C1上的一个动点，且点P到平面AEC的距离为
❑√3
3 ，证明点P的轨迹为一条线段，并求该线段的
长度.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱ABC −A1B1C1的底面边长为6，高为3 ❑√6，其顶点都在球O 的球面上，则
球心O 到平面A1BC的距离为（ ）
A．
❑√2
2
B．
❑√3
2
C．❑√2
D．❑√3
2．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体P−ABC中，PA ⊥平面ABC，AB = BC =2，∠ABC =120°.若四面体
P−ABC的体积为2❑√3
3
，则AC与平面PBC所成角的正弦值为（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√5
5
C．
❑√6
6
D．
❑√7
7
二、多选题
3．（2026·江西·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P是侧面BC C1B1上一点，则
（ ）
A．存在点P，使AP⊥BD
B．若AP = ❑√5，则动点P的轨迹长度为π
3
C．当点P在线段BC1上时，直线DP与平面A B1 D1平行
D．当点P在线段BC1上时，直线DP与平面ABC1 D1所成角的正弦值可以为
❑√3
3
三、填空题
4．（2026·福建厦门·模拟预测）已知A (0,0,1)，B(
1
3 , 2
3 ,0)，C (0,1,0)，则点A 到直线BC 的距离为__________．
5．（2026·山东青岛·二模）等边△ABC的三个顶点都在平面α的同一侧，且三条边在α上的射影长分别为1，❑√2，
❑√3，则△ABC所在平面与α所成的二面角（锐角）的余弦值为________．
四、解答题
6．（2026·陕西宝鸡·三模）如图，在矩形ABCD中，AB =2，BC =1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使得
AD⊥BE，连接BD，BE．
(1)求证：平面ADE⊥平面BDE．
(2)求二面角C −BE−D的正弦值．
(3)当△ADE绕AE边在空间旋转时，设D在平面ABCE内的投影为M，求M的轨迹的长度．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，点M为棱D D1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面
面积为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
D．4π
3
2．（2024·北京朝阳·一模）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F，G分别为棱A A1，BC，C C1的中
点，动点H在平面EFG内，且DH =1.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点H，使得直线DH与直线FG相交
B．存在点H，使得直线DH ⊥平面EFG
C．直线B1 H与平面EFG所成角的大小为π
3
D．平面EFG被正方体所截得的截面面积为3 ❑√3
2
二、多选题
3．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P，Q 分别为A C1, A1B1的中点，
点T在正方体的表面上运动，满足PT ⊥BQ．其中所有正确结论是（ ）
A．线段PT长度的最小值为1；
B．点P到直线BQ的距离为
❑√30
5
C．点T的轨迹是梯形；
D．点T的轨迹围成的多边形的面积为2❑√5．
三、填空题
4．已知菱形ABCD的各边长为2,∠D =60
∘.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，
得到三棱锥S−ABC，此时SB =3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S−ABC的外接球上运动，且始终保持
EF ⊥AC则点F的轨迹的面积为__________.
四、解答题
5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图1，在平面五边形MADCB中，
AB //CD , AB⊥BC , AB⊥MA , BC =CD =2 AB =2 MA = 4，将△MAB沿AB折起得到如图2 所示的四棱锥
P−ABCD，且PD = 4，E为棱CD的中点．
(1)证明：PE⊥平面PAB；
(2)若G为棱PD上一动点，直线CG与平面PAD所成角的正弦值为3 ❑√21
14
．
（i）求DG
DP
（ii）求点G到平面PBC的距离．
