微专题10 爪形结构与分角定理、张角
定理
一、基础知识
1.三点共线的向量表示
(1)若A,P,B 三点共线,则存在唯一实数t 使⃗AP=tAB.
(2)⃗OA,⃗OB为平面的一组基向量,点P 在直线AB 上的充要条
件是存在唯一一组实数对(λ,μ),使⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB且λ+μ=1.
2.(1)定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设⃗O P1=a,⃗
O P2=b,若⃗P1 P=λ⃗P P2(λ≠-1),则⃗OP= 1
1+ λ
a+ λ
1+ λ
b(特
别地,当λ=1 时,即P 为线段P1P2的中点,则有⃗OP=1
2
a+1
2
b).
(2)三角形的等分线:在△ABC 中,D 是边BC 上的点,且BD
DC
=
m
n
(m,n>0),
则⃗AD=
n
m+n⃗AB+ m
m+n⃗AC(也叫“爪形结构”).
3.张角定理与分角定理
(1)张角定理sin(α + β)
AD
=sin α
AC
+sin β
AB
[证明如下:
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴1
2
AB×AC×sin(α+β)=1
2
AB×AD×sin α+1
2
AC×AD×sin β,
两边同除以1
2
AB·AC·AD 得sin(α + β)
AD
=sin α
AC
+sin β
AB
.]
(2)分角定理
在△ABC 中,D 是边BC 上(异于B,C)或其延长线上的一点,则
有sin α∶sin β=BD
AB
∶CD
AC
.
[证明如下:
S△ABD
S△ACD
=BD
CD
,①
S△ABD
S△ACD
=
1
2 AB·AD sin α
1
2 AC·AD sin β
=sin α
sin β
· AB
AC
,②
得BD
CD
=sin α
sin β
· AB
AC
,
故sin α∶sin β=BD
AB
∶CD
AC
.]
4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理
(1)梅涅劳斯定理
已知直线DF 交△ABC 三边所在直线于D,E,F 三点,则有:
|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
[证明如下:
设|⃗AF |
|⃗FB|
=q,|⃗BD|
|⃗DC |
=m,|⃗CE|
|⃗EA |
=n,|⃗DE|
|⃗EF |
=t,
则有⃗AE= 1
n+1⃗AC,⃗BF= 1
q+1⃗BA,⃗
BD= m
m−1⃗BC,①
因为D,E,F 三点共线,
所以(t+1)⃗BE=t⃗BF+⃗BD.
又因为⃗BE=⃗BA+⃗AE,
从而(t+1)⃗BA+(t+1)⃗AE=t⃗BF+⃗BD,②
当①代入②,可得(t+1)⃗BA+ t +1
n+1⃗AC=
t
q+1⃗BA+
m
m−1⃗BC,
即(t +1−
t
q+1)⃗BA+ t +1
n+1⃗AC+ m
m−1⃗CB=0.
注意到⃗BA+⃗AC+⃗CB=0,且⃗BA,⃗AC,⃗CB两两方向不同,故
有t+1-
t
q+1
= t +1
n+1
= m
m−1
.
由t +1
n+1
= m
m−1
可知t=m(n+1)
m−1
-1,
将其代入t+1-
t
q+1
= m
m−1
,整理可得qmn=1,即|⃗AF |
|⃗FB|
·
|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
(2)塞瓦定理
已知点O 为△ABC 内任意一点,AO,BO,CO 的延长线分别交边
BC,CA,AB 于D,E,F,则有:
|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
[证明如下:
设|⃗AF |
|⃗FB|
=p,|⃗BD|
|⃗DC |
=q,|⃗CE|
|⃗EA |
=r,|⃗FO|
|⃗OC |
=n,
则有⃗CA=r +1
r⃗
CE,⃗CB=(q+1)⃗CD,⃗
CF=(n+1)⃗CO,①
因为F,B,A 三点共线,
所以⃗CF=
p
p+1⃗CB+ 1
p+1⃗CA,②
将①代入②,
即有(n+1)⃗CO=
p
p+1⃗CB+
r +1
r( p+1)⃗CE,
(n+1)⃗CO=(q+1) p
p+1⃗
CD+ 1
p+1⃗CA.
注意到B,O,E 三点共线,A,O,D 三点共线,
所以有n+1=
p
p+1
+
r +1
r( p+1)
,(n+1)=(q+1) p
p+1
+ 1
p+1
,
整理可得pqr=1,即|⃗AF |
|⃗FB|
·|⃗BD|
|⃗DC |
·|⃗CE|
|⃗EA |
=1.
注:本定理用面积证法更简单.]
二．典型例题
1.三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示
例1 (1)(2025·郑州质检)如图,在△ABC 中,⃗BD=1
2⃗DC,⃗AE
=3⃗ED,若⃗AB=a,⃗AC=b,则⃗BE=( )
A.1
3
a+1
3
b
B.-1
2
a+1
4
b
C.1
2
a+1
4
b
D.-1
3
a+1
3
b
(2)在△ABC 中,点M,N 满足⃗AM=2⃗MC,⃗BN=⃗NC.若⃗MN
=x⃗AB+y⃗AC,则x= ,y= .
训练1 (1)(2025·烟台调研)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,
过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若⃗AB
=m⃗AM,⃗AC=n⃗AN,则m+n 的值为 .
(2) (2025·福州质检)已知点A(-1,-1),B(2,5),点C 为直线AB 上
一点,且⃗AC=-5⃗BC,则点C 的坐标为 .
2.张角定理、分角定理的应用
例2 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足sin
2A+sin 2B=(sin C −2❑√3
3
sin A sin B)sin C.
(1)求C;
(2)若c=2❑√13,a=3b,点D 在边AB 上,且∠ACD=∠BCD,求
CD 的长.
训练2 在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,如果
∠BAD=α,AD 是∠BAC 的角平分线,证明:
(1)cos α=1
2(
AD
b + AD
c );
(2)S△ABC=1
2
AD×(b+c)×sin α≥AD2tan α.
3.梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
例3 在△OAB 的边OA,OB 上分别取点M,N,使|⃗OM|∶|⃗OA|
=1∶3,|⃗ON |∶|⃗OB|=1∶4,设线段AN 与BM 交于点P,记⃗OA
=a,⃗OB=b.
(1)用a,b 表示向量⃗OP;
(2)延长OP 与AB 交于点D,用a,b 表示向量⃗PD.
训练3 如图,四边形ABCD 的两组对边延长线分别交于E,F,对
角线BD∥EF,AC 的延长线交EF 于G,求EG
GF
的值.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·西安质检)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若⃗OB=a1⃗
OA+a200⃗OC,且A,B,C 三点共线,设直线不过点O,则S200=(
)
A.100
B.101
C.200
D.201
2.在△ABC 中,⃗AN=1
3⃗NC,点P 是BN 上一点,若⃗AP=m⃗AB
+1
6⃗AC,则实数m 的值为( )
A.1
4
B.1
3
C.1
2
D.1
3.在△ABC 中,⃗AR=2⃗RB,⃗CP=2⃗PR,若⃗AP=m⃗AB+n⃗AC,
则m+n=( )
A.2
3
B.7
9
C.8
9
D.1
4.(2025·石家庄调研)已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线
AB 与l 相交于P 点,若⃗AP=λ⃗PB,则λ=( )
A.-1
2
B.-1
4
C.1
3
D.1
2
5.在△ABC 中,点D 为AB 的中点,E,F 为BC 的两个三等分点,
AE 交CD 于点M.设⃗AB=a,⃗AC=b,则⃗FM=( )
A. 1
15
a- 7
15
b
B. 1
15
a+ 7
15
b
C. 2
15
a- 4
15
b
D. 2
15
a+ 4
15
b
6.(2025·合肥模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,角A 的角平分线交BC 于点D.若asin A=bsin B+(c-b)sin
C,且AD=❑√3,b=3c,则a 的值为( )
A.7
2
B.4 ❑√7
3
C.3
D.2❑√3
二、多选题
7.设P 是△OAB 内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(
)
A.⃗OP=2
5⃗OA+1
5⃗OB
B.⃗OP=2
5⃗OA+4
5⃗OB
C.⃗OP=2
5⃗OA+1
5⃗AB
D.⃗OP=2
5⃗OA+4
5⃗AB
8.(2025·南昌调研)如图所示,在凸四边形ABCD 中,对边BC,AD
的延长线交于点E,对边AB,DC 的延长线交于点F,若⃗BC=λ⃗
CE,⃗ED=μ⃗DA(λ,μ>0),⃗AB=3⃗BF,则( )
A.⃗EB=3
4⃗EF+1
4⃗EA
B.λμ=1
4
C.1
λ
+1
μ
的最大值为1
D.⃗EC ·⃗AD⃗
EB·⃗EA
≥-4
9
三、填空题
9.边长为4 的等边三角形ABC 中,⃗AD=⃗DB,⃗AE=3⃗EC,CD
与BE 交于点O,则|⃗OA+⃗OB+⃗OC|= .
10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,AD 是∠BAC
的角平分线,若∠BAC=π
3
,|AD|=2❑√3,则2b+c 的最小值为
.
四、解答题
11.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的面
积为4 ❑√3
3
,AD 为∠BAC 的角平分线,且交BC 于点D,AD=1.
(1)若b+c=16
3
,求△ABC 周长.
(2)若⃗DC=3⃗BD,求tan B 的值.
