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模块一 基础核心知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）达标测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知条件
：
；条件
：
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
或
，
即
：
或
；
由
，解得
,即
：
，
是
的充分不必要条件，
或
，
即
或
．
实数
的取值范围是
或
．
故选：A．
2．已知
、
为两条不重合直线，
、
为两个不重合平面，下列条件中，
的充分条件是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】B
【解析】对于A 选项，因为
，
，
，则
与
可能平行，也可能相交，因此A 中条件不是
的充分条件；
对于B 选项，因为
，
，所以
，结合
，知
，因此B 中条件是
的充分条件；
对于C 选项，由
，
知
或
，结合
，
知
与
可能平行，也可能相交，因此C 中条件不是
的充分条件；
对于D 选项，由
，
知
或
，结合
，知
，
所以D 中条件不是
的充分条件．
故选：B．
3．若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，则
，
解不等式
，得
，则
，
所以
.
故选：D
4．已知集合
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．2 或
【答案】C
【解析】由
，即
，则
或
，可得
或
，
当
，在集合
中
，不满足集合元素的互异性，
当
，则
，满足题设.
故选：C
5．
，
，
，
，下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，若
，则
，选项不成立，故A 错误；
对于B，由不等式的可加性可知，
，故B 正确；
对于C、D，若
，则选项不成立，故C、D 错误．
故选：B．
6．若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．
C．7
D．
【答案】D
【解析】
，解得
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：D.
7．设正实数
，
，
满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】设
，由
，得
,
因
，故
，当且仅当
即
时取最大值.
此时
，代入
，
得
则当
时，取得最大值为
.
故选：A
8．已知
，
（为虚数单位，
）．若
，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
【答案】A
【解析】由题意得：
，
，解得
.
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30 名同学参加比赛，有20 人参加田赛，13
人参加径赛，有19 人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8 人，同时参加田赛与球类比赛的有9 人，
没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ）
A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3 人
B．只参加球类一项比赛的人数有2 人
C．只参加径赛一项比赛的人数为0 人
D．只参加田赛一项比赛的人数为3 人
【答案】CD
【解析】设全班同学组成全集
，参加田赛的同学组成集合
，参加径赛的同学组成集合
，
参加球类比赛的同学组成集合
，设同时参加径赛和球类比赛的人数为
，
根据题意，画出韦恩图如图所示，
则
，解得
.
对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为
人，故A 错误；
对于B，只参加球类一项比赛的人数为
人，故B 错误；
对于C，只参加径赛一项比赛的人数为
人，故C 正确；
对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3 人，故D 正确.
故选：CD．
10．设
，
均为复数，下列命题中正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【解析】对于A：设
，
，其中
，
，，
，
则
，
，
，
所以
，故A 正确；
对于B：设
，
，其中
，
，，
，
则
，
，
所以
，故B 正确；
对于C：若
，则
，
同理可得
，故C 正确；
对于D：若
，取
，
，满足条件，
但
，故D 错误.
故选：ABC.
11．已知正数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值为1
B．
的最小值为4
C．
的最大值为
D．
的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A，由正数
满足
，可得
，解得
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，即
的最大值为1，故A 正确；
对于B，由正数
满足
，可得
，
解得
或
（舍去），当且仅当
时等号成立，即
的最小值为2，故B 错误；
对于C，因
，则
，
当且仅当
时等号成立，即
的最大值为
，故C 正确；
对于D，由
可得
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，即
的最小值为1，故D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若复数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由
，得
，所以
.
故答案为：
13．已知“
，不等式
恒成立”为假命题，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
:＂
，不等式
恒成立＂，其等价于
恒成立，
若
为真命题，则
，解得
．
又
为假命题，故
的取值范围是命题
为真时的补集，
即
或
．
故答案为：
．
14．设集合
，其中
，
，则集合
中满足条件“
”的元素个数为 （结果用含有
的式子表示）.
【答案】
【解析】由题意可知
，所以集合
共有
个.
因为
，
，且满足条件“
”，
所以
，
中至少有2 个1，最多有
个1.
从反面考虑，若
，
均取1，即
取1 或
，则集合
共有
个；
若
，
均取0，则集合
有1 个；
若
，
中只有一个取1，其余全部为0，则集合
有
个，
所以满足条件的集合
有
个.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知关于
的实系数一元二次方程
有两个虚数根
和
．
(1)若
，求
，的值；
(2)若
，
，求
和
．
【解析】（1）(方法一)因为
是方程
的根，
所以
，整理得
，
因为
，所以
(方法二)依题意，
，则
，
由根与系数的关系，得
.
（2）
，
，
所以方程化为
，
.
由求根公式得
，
所以
，
.
16．（15 分）
设命题
，不等式
恒成立;命题
.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
、
有且只有一个是真命题，求实数
的取值范围．
【解析】（1）对于命题
，不等式
恒成立，
当
时，
恒成立.
当
时，则需
，解得
.
综上所述，
的取值范围是
.
（2）由
得
，
所以
，解得
.
若
真
假，则“
”且“
或
”，则
.
若
假
真，则“
或
”且“
”，则
.
综上所述，
的取值范围是
或
.
17．（15 分）
已知集合
，
．
(1)若
，求
及
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由
，即
，解得
，
所以
，
当
时，
，
所以
，
或
，
所以
或
.
（2）因为
，
，
所以由
，得
，
当
时，
，解得
；
当
时，则
，解得
；
综上可得
，故实数
的取值范围为
．
（3）由
是
的充分不必要条件，可得集合
是集合
的真子集，
又
，
，
则
或
，
解得
或
，
综上可得
，
故实数
的取值范围是
．
18．（17 分）
19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有
“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把
它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”
（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）.
例如：1.求函数
的最小值.可作如下处理：
，当且仅当
时，等号成立.
2.已知
为正实数，且
，求
的最大值.可作如下处理：
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立.
根据以上信息解决以下问题：
已知
.
(1)若
，证明：
.
(2)若
恒成立，求参数
的取值范围.
(3)若
，求
的最小值.
【解析】（1）由题意可得
,所以
,
当且仅当
即
时等号成立；
（2）因为
，根据基本不等式
,当且仅当
时等号成立，
若
恒成立，则
恒成立，因为
,
得到
,解得
或
,
故参数
的取值范围为
;
（3）题干条件可变形为
,而
,
注意到
,
当且仅当
时等号成立，故
,所以
,
即
的最小值为
.
19．（17 分）
已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
”的充要条件是“
为等
比数列”.
【解析】（1）集合
，
.
（2）由
为1，3，
，
，当
之一为2 时，不妨令
，则
互不相等，
是集合
中元素，又
，则
，
，解得
，不符合题意，
则必有
，得
，
，
互不相等，
则3，
，
都是集合
中的元素，又
，则
，解得
，
，
因此
为1，3，9，27，所以
.
（3）充分性：若
是递增的等比数列，设
的公比为
，
当
时，
，
所以
，且
，故充分性成立；
必要性：若
是递增数列，且
，则
，
于是
，且互不相等，又
，
则
，且
互不相等，
因此
，
，
从而
，所以
为等比数列，故必要性成立，
综上，“
”的充要条件是“
为等比数列”.
