文档文本内容
第30 讲空间点、线、面之间的平行关系
（知识清单+7 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
线面平行判定定理证明
解答题
12 分
线面平行性质定理辨析应用
选择题
5 分
线面、面面平行命题真假辨析
解答题
12 分
面面平行判定条件辨析
选择题
5 分
面面平行综合证明
解答题
12 分
【知识点01】线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线
与此平面内的一条直
线平行，那么该直线
与此平面平行
a⊄α
b⊂α
a∥b}
⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面
平行，如果过该直线
的平面与此平面相
交，那么该直线与交
线平行
a∥α
a⊂β
α ⋂β =b}
⇒a∥b
【例1】已知直线a∥平面α，直线a⊂平面β，且α ∩β =m，求证：a∥m。
【知识点02】面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果一个平面内
的两条相交直线
与另一个平面平
行，那么这两个
平面平行
a⊂β
b⊂β
a⋂b= P
a∥α
b∥α }
⇒β∥α
性
质
定
理
两个平面平行，
如果另一个平面
与这两个平面相
交，那么两条交
线平行
α ∥β
α ⋂γ =a
β ⋂γ =b}
⇒a∥b
【例2】在正方体ABCD - A1B1C1 D1中，求证：平面A B1 D1∥平面C1BD。
【题型一】判断线面平行与补全线面平行的条件
【例1】已知直线l、m 和平面
，若
，则“l 与m 不相交”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【变式1】（2025·浙江·三模）在棱长为1 的正方体
中，点P，Q 分别为棱
，
上的动点（可
与端点重合），若
面
，则线段
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知说法甲为“如果直线
，那么
平面
”，说法乙为“如果
平面
”，那么
”.要使上面
两种说法成立，需分别添加的条件是
A．甲：“
”，乙：“
”
B．甲：“
”，乙：“
且
”
C．甲：“
，
”，乙：“
且
”
D．甲：“
，
”，乙：“
”
【变式3】（2024 黑龙江大庆·一模）如图，已知正方体
，点
分别是
的中点，
与平面
________（填“平行”或“不平行”）；在正方体的
条面对角线中，与平面
平行的面对角线
有________条．
【题型二】判断面面平行与补全面面平行的条件
【例1】下列条件中能推出平面
平面
的是（ ）
A．存在一条直线
，
，
B．存在一条直线
，
，
C．存在两条平行直线
，
，
，
，
，
D．存在两条异面直线
，
，
，
，
，
【变式1】（2025 浙江嘉兴·模拟预测）已知
是不全平行的直线，
是不同的平面，则下列能够得到
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设
，
是空间中的两个平面，，
是两条直线，则使得
成立的一个充分条件是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
【变式3】（多选）以下条件能够判断平面
与平面
平行的是（ ）
A．平面
内有两条直线与平面
平行
B．两不同平面
，
平行于同一个平面
C．平面
内的任意一条直线与平面
无公共点
D．夹在平面
与平面
间的两条平行线段相等
【题型三】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
【例3】（2023·甘肃白银·二模）如图，在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点，点
在正
方形
内，若
，
平面
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【变式1】（2025·全国·模拟预测）如图．四棱锥
的底面
为正方形，空间中存在点E，满足
，则点E 可能位于（ ）
A．平面
与平面
的交线上
B．平面
与平面
的交线上
C．直线
上
D．直线
上
【变式2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，
为平行四边形
所在平面外一点，
分别为
上一点，
且
，当
平面
时，
__________.
【变式3】如图，在三棱柱
中，E 是棱
的中点，D 是棱BC 上一点．若
平面ADE，则
的值
为______．
【题型四】由线面平行求线段长度
【例4】（2024·山西吕梁·三模）如图，在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B 且与AC1平行的平面交
B1C1于点P，则PC1＝（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【变式1】已知正方体
的棱长为1，点
是平面
的中心，点
是平面A1B1C1D1的对角线
上一点，且
平面
，则线段
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）三棱锥
的所有棱长均为2，E，F 分别为线段BC 与AD 的中点，M，N 分
别为线段AE 与CF 上的动点，若
平面ABD，则线段MN 长度的最小值为______．
【变式3】如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C，
，点P 是弧AC 上的动点，点D
是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将上下半圆所在的平面折成直二面角，连接
､
，
，
.
（1）当
平面PCD 时，求
的长；
（2）求三棱锥
的最大体积
【题型五】证明线面平行
【例5】如图，在四棱锥
，
，点E 在AD 上，且
．
若F 为线段PE 的中点，求证：
平面PCD．
【变式1】如图，
等边三角形，且点A，B 分别为线段
与
的中点.将
沿
折叠后使点O 与点P
重合，得到四棱锥
.设点E 为线段
上一点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求四棱锥
与三棱锥
的体积之比.
【变式2】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱
中，
，
，且D，E 分别
是
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积．
【变式3】如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
中点，将
沿
折起，使
到
处．求证：
平面
；
【题型六】证明面面平行
【例6】如图，不在同一直线上的三点
在平面α 上，点
、
、
在平面β 上，且
．求证：平面
平面β．
【变式1】如图，已知长方体
，求证：平面
平面
．
【变式2】如图，已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，点
为底面圆的三等分点，
分别是
的中点.
(1)求证：平面
平面
.
(2)求三棱锥
的体积.
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥
中，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，四边形
是底面的内接正方形，
分别为
的中点，过点
的平面为
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为
，设点
在线段
上运动，求三棱锥
的体积.
【题型七】平行关系的综合应用
【例7】如图，已知点
是正方形
所在平面外一点，
分别是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若线段
上存在一点
使得平面
平面
，求
的值．
【变式1】如图，四边形
是平行四边形，点
是平面
外一点.
(1)求证：
平面
；
(2)已知
，
分别是
，
的中点，在
上取一点
，过
和
作平面交平面
于
，
（i）求证：
；
（ii）求证：
平面
.
【变式2】如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，
分别是
，
，
，
，
的中
点，求证：
(1)
；
(2)
平面
；
(3)平面
平面
．
【变式3】如图，在正方体
中，点
分别为棱
的中点，点
是棱
上
的一点，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)棱
上是否存在一点
使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【解题大招01】线面平行万能证明法
1. 两大核心解题模型（满分套路）
模型1：三角形中位线模型（最常考）
适用场景：题干出现中点、等分点，棱锥、棱柱几何体优先使用。
解题技巧：连接底面对角线，构造中位线，证线线平行，推出线面平行。
模型2：平行四边形模型
适用场景：几何体对边平行且相等，无中点条件时优先使用。
解题技巧：构造一组平行且相等的对边，证明四边形为平行四边形，得线线平行。
2. 满分必备三条件（缺一扣分）
a⊄α ,b⊂α ,a∥b⇒a∥α
答题必写：直线在平面外、直线在平面内、两直线平行，高考阅卷按点给分。
【例1】在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为PD中点，求证：PB∥平面AEC。
【解题大招02】线面平行性质逆向解题法
已知线面平行，求线线平行、线段长度、位置关系，无需辅助线，直接套用性质公式。
核心公式：a∥α ,a⊂β ,α ∩β =l⇒a∥l
关键结论：线面平行，只平行交线，不平行面内任意直线（选择判断题秒杀技巧）。
【例2】已知直线a∥平面α，过直线a的平面β与平面α交于直线m，求证：a∥m。
【解题大招03】面面平行两步证明法
解题步骤技巧
第一步：在待证平面内找两条相交直线；
第二步：分别证明两条直线平行于另一平面；
第三步：由面面平行判定定理直接得出结论。
核心禁忌：两条平行线无法证明面面平行，必考易错点。
判定公式：a⊂α ,b⊂α ,a∩b= P ,a∥β ,b∥β ⇒α ∥β
【例3】在正方体ABCD - A1B1C1 D1中，求证：平面A B1 D1∥平面C1BD。
【解题大招04】面面平行性质秒杀解题法
1. 两大秒杀结论
结论1（交线平行）：α ∥β ,α ∩γ =l1, β ∩γ =l2⇒l1∥l2
结论2（线面平行）：α ∥β ,l⊂α ⇒l∥β
【例4】已知平面α ∥平面β，平面γ与α交于直线a，与β交于直线b，求证：a∥b。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·河南·模拟预测）在四棱锥
中，底面
是面积为
的正方形，
，
，
分别是棱
，
的中点，设四棱锥
被过
，
且平行于
的平面截得的截面面积为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
2．（2026·福建·二模）设α，β 是两个不同的平面，则
的充要条件是（ ）
A．存在无数条直线与α，β 都平行
B．存在无数个平面与α，β 都垂直
C．对任意的直线
，都存在直线
，使得
D．对任意的直线
，都存在直线
，使得
3．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，
为正方体的顶点，
为所在棱的中点，则满足直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．如图，点A，B，C，M，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC 的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2025·山西临汾·三模）在三棱锥A－BCD 中，AB＝CD＝2，过BC 中点E 的截面与AB，CD 都平行，则截面的周
长为______．
6．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a 的正方体，M，N 分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P 是上底面的棱
AD 上的一点，AP＝
，过P，M，N 的平面交上底面于PQ，Q 在CD 上，则PQ＝________.
四、解答题
7．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是平行四边形，
平面ABCD，
，
，且M，N 分别为PD，AC 的中点．
(1)求证：
平面PBC；
(2)求三棱锥
的体积．
8．如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，
是
与
的交点.
(1)求证：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·黑龙江·一模）如图，
是圆台上底面的圆心，
，
是圆台下底面圆周上的两个动点，
是圆台的一条
母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，
．若
，
平面
，且
的最小值为6，则该圆
台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，则过
点
、
、
的平面
与侧面
的交线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方体
的棱长为2，
分别是棱
的中点，点
是
底面
内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点
，使得
平面
B．过
三点的平面截正方体所得截面图形是五边形
C．三棱锥
的体积为4
D．三棱锥
的外接球表面积为
二、多选题
4．（2025·江西九江·三模）如图，在五面体
中，底面
是边长为
的正方形，
，
平面
，
，
到底面的距离为
，点
为
的中点，点
在四边形
内部（含边界）．则下
列选项中正确的是（ ）
A．存在点
，使得
平面
B．存在点
，使得
C．该五面体的体积为
D．若
，则点
的轨迹长度为
三、填空题
5．（2026·河南开封·模拟预测）在正四棱台
中，
，
，
为线段
的中点，则
三棱锥
的体积为______．
四、解答题
6．（2026·湖北武汉·三模）在三棱台
中，上下底面均为正三角形，
底面
，且
，
，过点
作平面
侧面
，平面
与下底面
的边
、
分别交于
、
两点.
(1)求证：直线
平面
；
(2)求三棱锥
的体积.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．在四棱锥
中，
，过直线
的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱
交于
点E，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱
中，点
在棱
上，且
，点
在棱
上，且
为
的中点，点
在直线
上，若
平面
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、多选题
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）正方体
棱长为2，
为
中点，
为平面
上的动点（在四
边形
内部及其边界）且满足
平面
，则下列正确的是（ ）
A．动点F 的轨迹长度为
B．三棱锥
的体积范围为
C．三棱锥
的体积为定值
D．当三棱锥
的体积最小时，其外接球的表面积为
三、填空题
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥
的底面
是边长
的正方形，
，
平面
，
为线段
的中点，若空间中存在平而
满足
，
，记平面
与直线
，
分别交于点
，
，则
=______，四边形
的面积为______．
四、解答题
5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，
是边长为4 的等边三角形，且点
分别为线段
与
的中点.将
沿
折叠后使点
与点
重合，得到四棱锥
.设点
为线段
上一点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求四棱锥
与三棱锥
的体积之比.
