微专题4 三角中的最值、范围
近几年高考：以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是
高考的热点,常用的方法主要有:函数的性质(如有界性、单调
性)、基本不等式、数形结合等.
一、高考真题
1.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知cos A
1+sin A
= sin 2B
1+cos 2B
.
(1)若C=2π
3
,求B;
(2)求a
2+b
2
c
2
的最小值.
解 (1)因为cos A
1+sin A
= sin 2B
1+cos 2B
,
所以cos A
1+sin A
=2sin Bcos B
1+2co s
2B−1
,
所以cos A
1+sin A
= sin B
cos B
,
所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,
所以cos(A+B)=sin B,
所以sin B=-cos C=-cos 2π
3
=1
2
.
因为B∈(0, π
3),所以B=π
6
.
(2)由(1)得cos(A+B)=sin B,
所以sin [
π
2 −( A + B)]=sin B,
且0<A+B<π
2
,
所以0<B<π
2
,0<π
2
-(A+B)<π
2
,
所以π
2
-(A+B)=B,
解得A=π
2
-2B,
由正弦定理得a
2+b
2
c
2
=sin
2 A + sin
2B
sin
2C
=sin
2 A + sin
2B
1−co s
2C
=sin
2(
π
2 −2B)+ sin
2B
1−sin
2B
=co s
22B+ sin
2B
co s
2B
=(2co s
2B−1)
2+1−co s
2B
co s
2B
=4 co s
4 B−5co s
2B+2
co s
2B
=4cos 2B+
2
co s
2B
-5
≥2❑√
4 co s
2B·
2
co s
2B
-5=4❑√2-5,
当且仅当cos 2B=
❑√2
2
时取等号,
所以a
2+b
2
c
2
的最小值为4❑√2-5.
二．典型例题
1.三角函数式的最值或范围
例1 （2025·吉林松原·模拟预测）已知向量
，其中
．
(1)若
，求
图象的对称轴；
(2)记
的最小正周期为
，将
的图象向左平移
个
单位长度得到
的图象，若
在区间
上单调递增，
求
的取值范围；
(3)已知△ABC为锐角三角形，内角
的对边分别为
，若
，求
的取值范围．
解（1）
f ( x)=⃗m⋅⃗n=2sin ω x cosω x −2❑√3cos
2ω x =sin 2ωx −❑√3
=2sin(2ωx −π
3)−❑√3，
当
时，f ( x)=2sin(4 x−π
3)−❑√3．
令4 x−π
3 = π
2 + kπ ,k ∈Z，得x = 5 π
24 + kπ
4 ,k ∈Z，
所以
图象的对称轴为x = 5 π
24 + kπ
4 ,k ∈Z.
（2）由（1），得f ( x)=2sin(2αx−π
3)−❑√3，
所以T = 2π
2ω = π
ω ,T = π
2ω
，
因为将
的图象向左平移T /2个单位长度得到
的图象，
所以
g( x)=2sin[2ω(x + π
2ω)−π
3]−❑√3=2sin(2ωx + 2π
3
因为x∈(
π
2 ,π)，所以
2ωx + 2π
3 ∈(ωπ + 2π
3 ,2ωπ + 2π
3 )，
又函数y =sin x在区间(−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ)(k ∈Z )
上单调递增，
所以
(ωπ + 2π
3 ,2ωπ + 2π
3 )⊆(−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ)(k ∈Z
即{
ωπ + 2π
3 >−π
2 +2kπ ,
2ωπ + 2π
3 ≤π
2 +2kπ
(k ∈ℤ)，解得
{
ω>−7
6 +2k ,
ω≤−1
12 + k
(k ∈Z )
所以−7
6 +2k ≤−1
12 + k，即k ≤13
12 ,
又ω>0,k ∈ℤ，所以k =1，即
的取值范围是[
5
6 , 11
12].
（3）由
，得f ( x)=2sin(2 x−π
3)−❑√3，
又f (C )=2sin(2C −π
3)−❑√3=0，所以
sin(2C −π
3)=
❑√3
2 ，
又
为锐角三角形，所以
C ∈(0, π
2 ),2C −π
3 ∈(−π
3 , 2π
3 )，
所以2C −π
3 = π
3
，解得C = π
3
．
由余弦定理c
2=a
2+b
2−2abcosC，得12=a
2+b
2−ab，
所以ab= (a+b)
2−12
3
，
所以
ab
a+b+2❑√3 = (a+b)
2−12
a+b+2❑√3 = a+b−2❑√3
3
．
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC
，得
a
sin A =
b
sin B = 2❑√3
❑√3
2
= 4
，
所以a= 4 sin A , b= 4 sin B，
a+b= 4 sin A + 4 sin B = 4 sin A + 4 sin(π −π
3 −A)=6sin A +
因为
为锐角三角形，所以
0< A < π
2 ,0<B = π −A −π
3 < π
2 ，所以
π
6 < A < π
2 , π
3 < A + π
6 < 2π
3 ，
故sin( A + π
6 )的取值范围为[
❑√3
2 ,1]，
所以
的取值范围为(6,4 ❑√3]．
所以
ab
a+b+2❑√3
的取值范围是[
6−2❑√3
3
, 2❑√3
3 ]．
训练1．（2025·湖北·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角
△ABC三个内角A ,B ,C的对边，满足
❑√3c⋅sin A −c⋅cos A = ❑√3a−b.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积S = ❑√3b，求b的取值范围.
解 （1）❑√3csin A −ccos A = ❑√3a−b,
由正弦定理得：
❑√3sinC sin A −sinC cos A = ❑√3sin A −sin B，
因为在△ABC中，
sin B =sin ( A +C)=sin A cosC +cos A sinC
所以❑√3sinC sin A = ❑√3sin A −cosC sin A，
又因为sin A >0，可得❑√3sinC +cosC = ❑√3，即
sin(C + π
6)=
❑√3
2 ，
又因为在锐角△ABC中
C ∈(0, π
2),∴C + π
6 ∈(
π
6 , 2π
3 ),
可得C + π
6 = π
3 ,∴C = π
6
；
（2）因为S = 1
2 absinC = 1
2 ab× 1
2 = ❑√3b，可得
a= 4 ❑√3，
由正弦定理得
b
sin B =
a
sin A = 4 ❑√3
sin A
，
又A + B = 5 π
6
，
所以
b=
4 ❑√3sin(
5 π
6 −A)
sin A
=
4 ❑√3(
1
2 cos A +
❑√3
2 sin A)
sin A
= 2❑√3
tan A
在锐角△ABC中{
0< A < π
2
0<B = 5 π
6 −A < π
2
所以π
3 < A < π
2
,
∴tan A >❑√3，
∴
1
tan A ∈(0,
❑√3
3 ),b= 2❑√3
tan A +6∈(6,8)，
所以b的取值范围为(6,8)
2.三角形中有关量的最值或范围
（1）、三角形面积的最值或范围
例2 (2025·郑州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,
已知b-ccos A=2acos Bcos C,其中C≠π
2
.
(1)求角B 的大小;
(2)若b2+3c2=12-5ac,求△ABC 面积的最大值.
解 (1)法一(角化边)
由b-ccos A=2acos Bcos C 及余弦定理得
b-c·b
2+c
2−a
2
2bc
=2acos B·a
2+b
2−c
2
2ab
,
即b
2−c
2+a
2
2b
=2cos B·a
2+b
2−c
2
2b
,
因为C≠π
2
,所以a
2+b
2−c
2
2b
≠0,
所以cos B=1
2
,
又0<B<π,所以B=π
3
.
法二(边化角) 由b-ccos A=2acos Bcos C 及正弦定理得
sin B-sin Ccos A=2sin Acos Bcos C,
即sin(A+C)-sin Ccos A=2sin Acos Bcos C,
所以sin Acos C=2sin Acos Bcos C,
因为C≠π
2
,所以cos C≠0,
又sin A>0,所以cos B=1
2
,
又0<B<π,所以B=π
3
.
法三(射影定理) 由射影定理可得b=acos C+ccos A,
则acos C+ccos A-ccos A=acos C
=2acos Bcos C,
又C≠π
2
,可得cos B=1
2
,
又0<B<π,所以B=π
3
.
(2)由(1)及余弦定理知
cos B=a
2+c
2−b
2
2ac
=1
2
,
所以a2+c2-b2=ac,
又b2+3c2=12-5ac,
所以a2+c2-(12-3c2-5ac)=ac,
化简得a2+4ac+4c2=(a+2c)2=12,
因为a>0,c>0,所以a+2c=2❑√3.
因为(
a+2c
2 )
2
≥a·2c,
当且仅当a=2c=❑√3,
即a=❑√3,c=
❑√3
2
时取等号,所以ac≤3
2
,
所以△ABC 的面积S=1
2
acsin B=
❑√3
4
ac≤3 ❑√3
8
,即△ABC 面积
的最大值为3 ❑√3
8
.
（2）、与三角形周长或边长相关的最值或范围
例3 (2025·济宁模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别
为a,b,c,❑√3(acos C+ccos A)=
2bsin B.
(1)求角B 的值;
(2)若b=2❑√3,求a2+c2的取值范围.
解 (1)因为❑√3(acos C+ccos A)=2bsin B,
所以由正弦定理可得❑√3(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin Bsin B,
所以❑√3sin(A+C)=❑√3sin B=2sin Bsin B,
又sin B≠0,所以sin B=
❑√3
2
,
又B 为锐角,则B=π
3
.
(2)由正弦定理得
a
sin A
=
c
sin C
=
b
sin B
=
2❑√3
❑√3
2
=4,
则a=4sin A,c=4sin C,
所以a2+c2=16sin 2A+16sin 2C
=8(1-cos 2A)+8(1-cos 2C)
=16-8cos 2A-8cos 2C
=16-8cos 2A-8cos [2(π −A −π
3)]
=16-8cos 2A-8(−1
2 cos 2 A −
❑√3
2 sin 2 A)
=16+4❑√3sin 2A-4cos 2A
=16+8sin (2 A −π
6),
因为△ABC 是锐角三角形,
所以{
0< A < π
2 ,
0<π −A −π
3 < π
2 ,
解得π
6
<A<π
2
,
所以π
6
<2A-π
6
<5 π
6
,
则1
2
<sin (2 A −π
6)≤1,
20<16+8sin (2 A −π
6)≤24,
所以a2+c2的取值范围为(20,24].
（3）、与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围
例4 (2025·武汉调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c.若2a+bcos A-c=btan Bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求sin A +sin B
sin C
的取值范围.
解 (1)因为2a+bcos A-c=btan Bsin A,
所以2a−c
b
=tan Bsin A-cos A=
sin Bsin A −cos A cos B
cos B
=-cos( A + B)
cos B
=
cos C
cos B
,
所以2acos B-ccos B=bcos C,
即2acos B=bcos C+ccos B,
由正弦定理得2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin
A,
因为0<A<π,所以sin A≠0,cos B=1
2
,
又0<B<π,所以B=π
3
.
(2)因为△ABC 为锐角三角形,B=π
3
,
所以0<C<π
2
,且0<2π
3
-C<π
2
,
所以C∈(
π
6 , π
2).
法一 sin A +sin B
sin C
=sin (C + π
3)+sin π
3
sin C
=
❑√3
2
×cos C +1
sin C
+1
2
=
❑√3
2
·
2co s
2 C
2
2sin C
2 cos C
2
+1
2
=
❑√3
2
·
1
tan C
2
+1
2
,
因为C∈(
π
6 , π
2),所以C
2
∈(
π
12 , π
4),
又tan π
12
=tan (
π
3 −π
4)=
tan π
3 −tan π
4
1+ tan π
3 ·tan π
4
=2-❑√3,
tan C
2
∈(2-❑√3,1),
所以
❑√3
2
·
1
tan C
2
+1
2
∈(
❑√3+1
2
,2+ ❑√3),
即sin A +sin B
sin C
的取值范围是(
❑√3+1
2
,2+ ❑√3).
法二 sin A +sin B
sin C
=sin (C + π
3)+sin π
3
sin C
=
❑√3
2
×cos C +1
sin C
+1
2
=
❑√3
2
·❑√
(cos C +1)
2
1−co s
2C
+1
2
=
❑√3
2
·
❑√
2
1−cos C −1+1
2
,
因为C∈(
π
6 , π
2),
所以cos C∈(0,
❑√3
2 ),
得
2
1−cos C
∈(2,
4
2−❑√3),
所以
❑√3
2
·❑√
2
1−cos C −1+1
2
∈(
❑√3+1
2
,2+ ❑√3),
即sin A +sin B
sin C
的取值范围是(
❑√3+1
2
,2+ ❑√3).
训练2 (2025·杭州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,且acos(B-C)+acos A-2❑√3csin Bcos A=0.
(1)求A;
(2)若△ABC 外接圆的直径为2❑√3,求2c-b 的取值范围.
解 (1)由A+B+C=π 可得A=π-(B+C),
所以cos A=-cos(B+C),
所以acos(B-C)-acos(B+C)=2❑√3csin Bcos A,
acos Bcos C+asin Bsin C-acos Bcos C+asin Bsin C=2❑√3csin
Bcos A,
整理可得asin Bsin C=❑√3csin Bcos A,
由正弦定理可得
sin Asin Bsin C=❑√3sin Csin Bcos A,
因为sin C≠0,sin B≠0,
所以tan A=❑√3,
而A∈(0,π),所以A=π
3
.
(2)设△ABC 外接圆的半径为R,而圆的直径为2❑√3,所以2R=2
❑√3.
由正弦定理可得
b
sin B
=
c
sin C
=2R=2❑√3,A=π
3
,
所以b=2❑√3sin B,
c=2❑√3sin C=2❑√3sin (B+ π
3),
故2c-b=4❑√3sin (B+ π
3)-2❑√3sin B=6cos B,
因为B∈(0, 2π
3 ),所以cos B∈(−1
2 ,1),
所以2c-b∈(-3,6),
所以2c-b 的取值范围为(-3,6).
【精准强化练习4】
1.(2025·安庆质检)已知函数f(x)=2sin x·
[cos (x−π
3)+cos x].
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0, π
2]上的最大值,并求此时x 的值.
解 (1)f(x)=2sin x·[cos (x−π
3)+cos x]
=2sin x(
3
2 cos x +
❑√3
2 sin x)
=3sin xcos x+❑√3sin
2x
=3
2 sin 2x-
❑√3
2 cos 2x+
❑√3
2
=❑√3sin (2 x−π
6)+
❑√3
2
,
因此,函数f(x)的最小正周期T=2π
2
=π.
(2)当x∈[0, π
2]时,2x-π
6
∈[−π
6 , 5 π
6 ],
所以2x-π
6
=π
2
,即x=π
3
时,
函数f(x)在[0, π
2]上取得最大值,为❑√3+
❑√3
2
=3 ❑√3
2
.
2.(2025·汕头调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,❑√3asin B-bcos A=b.
(1)求角A 的大小;
(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由正弦定理及题意得
❑√3sin Asin B-sin Bcos A=sin B,
又sin B≠0,所以❑√3sin A-cos A=1,
所以
❑√3
2 sin A-1
2 cos A=1
2
,
即sin (A −π
6)=1
2
.
因为A∈(0,π),所以A-π
6
∈(−π
6 , 5 π
6 ),
所以A-π
6
=π
6
,即A=π
3
.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
所以4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4,
当且仅当b=c=2 时,等号成立,
所以S△ABC=1
2
bcsin A≤1
2
×4×
❑√3
2
=❑√3,
所以△ABC 面积的最大值为❑√3.
3.(2025·邢台质检)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知2asin C-❑√3c=0.
(1)求A;
(2)求4sin B-4sin C 的取值范围.
解 (1)由2asin C-❑√3c=0 及正弦定理得2sin Asin C-❑√3sin
C=0.
因为sin C≠0,所以sin A=
❑√3
2
.
因为△ABC 为锐角三角形,所以A=π
3
.
(2)因为A=π
3
,所以B+C=2
3
π.
因为△ABC 为锐角三角形,
所以{
0<B< π
2 ,
0< 2
3 π −B< π
2 ,
得π
6
<B<π
2
.
因为4sin B-4sin C=4sin B-4sin(A+B)
=2sin B-2❑√3cos B=4sin (B−π
3),
由B-π
3
∈(−π
6 , π
6),
得sin (B−π
3)∈(−1
2 , 1
2),
所以4sin B-4sin C∈(-2,2).
即4sin B-4sin C 的取值范围为(-2,2).
4.(2025·衡阳模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知S 为△ABC 的面积且4❑√3S+3(b2-a2)=3c2.
(1)若b=2,求△ABC 外接圆的半径R;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求a
2+b
2
c
2
的取值范围.
解 (1)∵S 为△ABC 的面积,
且4❑√3S+3(b2-a2)=3c2,S=1
2
acsin B,
∴4❑√3×1
2
acsin B=3(c2+a2-b2)=3×2accos B,即tan B=❑√3,
∵0<B<π,∴B=π
3
.
∴2R=
b
sin B
=
2
sin π
3
,解得R=2❑√3
3
.
(2)由(1)可知,B=π
3
,
∴a
2+b
2
c
2
=sin
2 A + sin
2B
sin
2C
=sin
2(C + π
3)+ 3
4
sin
2C
=
4(
1
2 sin C +
❑√3
2 cos C)
2
+3
4 sin
2C
=
4 sin
2C +2❑√3sin C·cos C +6co s
2C
4 sin
2C
=1+
❑√3
2
·
1
tan C
+3
2
·
1
tan
2C
,
∵△ABC 为锐角三角形,
∴{
0<C < π
2 ,
0< 2π
3 −C < π
2 ,
解得π
6
<C<π
2
,
∴tan C>
❑√3
3
,∴0<
1
tan C
<❑√3,
设t=
1
tan C
,则a
2+b
2
c
2
=3
2
t2+
❑√3
2
t+1=3
2(t +
❑√3
6 )
2
+7
8
,
∴0<t<❑√3时,a
2+b
2
c
2
∈(1,7).
