第32 讲空间向量的概念与运算
（知识清单+6 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
向量坐标运算、向量数量积、向量垂直判定、平面法向量求解
单选/解答题
5 分
共线向量判定、向量数量积、线面角向量求解
单选/填空/解
答题
5 分/12 分
空间向量基本定理、向量线性分解、无建系纯向量运算
单选/解答题
5 分/12 分
向量坐标线性运算、平面法向量求解、二面角计算
单选/填空/解
答题
5 分/12 分
向量数量积运算、异面直线夹角求解、立体图形建系、向量垂直证明、法向量
运算
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
向量线性表示、向量模长计算、数量积综合运算
单选/解答题
5 分/12 分
共面向量定理、坐标运算、线面角求解、向量垂直判定
单选/填空/解
答题
12 分
【知识点01】空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
长度相等而方向相反的向量
共线向量( 或
平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
【例1】已知空间向量a=(2,−2,1)，求该向量的模长以及与其同向的单位向量。
解：第一步：求向量模长
|a|=
❑√2
2+(−2)
2+1
2= ❑√4+ 4+1= ❑√9=3
第二步：求同向单位向量
与向量a同向的单位向量公式：e =
a
|a|
e = 1
3 (2,−2,1)=( 2
3 ,−2
3 , 1
3 )
答案：模长为3，同向单位向量为( 2
3 ,−2
3 , 1
3 )。
【知识点02】空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a = λ b .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使p=x a + y b .
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=x a + y b + z c .
{a，b，c}叫做空间的一个基底.
【例2】已知e1=(1,0,0),e2=(0,1,0)不共线，向量p=(2,3,0)，求证：p,e1,e2三向量共面。
证明：设p= x e1+ y e2，代入坐标得：
(2,3,0)= x(1,0,0)+ y(0,1,0)=( x , y ,0)
对应坐标相等列方程：{x =2
y =3
存在唯一实数对x =2, y =3，使得p=2e1+3e2，符合共面向量定理。
故p,e1,e2三向量共面。
【知识点03】空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b 的数量积
a·b=| a || b |cos
〈
a ，
b 〉
.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1+ a 2b2+ a 3b3
共线
a=λb(b≠0，λ∈R)
a1= λb
1，
a 2= λb
2，
a3= λb
3
垂直
a·b=0
(a≠0，b≠0)
a1b1+ a 2b2+ a 3b3=0
模
|a|
❑√a1
2+a2
2+a3
2
夹角余弦值
cos〈a，b〉=
a·b
|a||b|
(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉=
a1b1+a2b2+a3b3
❑√a1
2+a2
2+a3
2 ❑√b1
2+b2
2+b3
2
【例3】已知a=(1,2,2)，b=(2,2,1)，求a⋅b及两向量夹角的余弦值。
解：第一步：计算数量积
a⋅b=1×2+2×2+2×1=2+ 4+2=8
第二步：计算向量模长
|a|=
❑√1
2+2
2+2
2= ❑√9=3
|b|=
❑√2
2+2
2+1
2= ❑√9=3
第三步：求夹角余弦值
cos ⟨a,b ⟩=
a⋅b
|a||b| =
8
3×3 = 8
9
答案：a⋅b=8，cos ⟨a,b ⟩= 8
9。
【知识点04】空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，那么称此向量a 为直线l 的
方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l 的方向向量a，则称向量a 为平面α 的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向
向量分别为n1，
n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l 的方向向量
为n，平面α 的法
向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α，β 的法向
量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
【例4】已知直线l1方向向量s1=(1,1,0)，直线l2方向向量s2=(1,−1,2)，判断两条直线的位置关系。
解：第一步：验证是否垂直（计算数量积）
s1⋅s2=1×1+1×(−1)+0×2=1−1+0=0
第二步：结论判定
由s1⋅s2=0，可得s1⊥s2。
故直线l1⊥l2。
【题型一】空间向量及其加减运算
【例1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体
，设向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据方程组
，即可求解
.
【详解】由于
，
所以
，
，
.
故选：B
【变式1】已知四面体
中，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解.
【详解】因为四面体
中，
是
的中点，
所以
.
故选：B.
【变式2】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D 为空间中的四个点，则“
”是“A、B、C、D 四点
共圆”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由
，
当“A、B、C、D 四点在同一条直线上时， A, B, C, D 四点不共圆，
若A、B、C、D 四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD 为圆的直径,满足
，而当ABCD 不是矩
形时，显然AC，BD 不是圆的直径，此时
.
故选: D
【变式3】在长方体
中，设
，
，
，若用向量
、
、
表示向量
，则
____________．
【答案】
【分析】根据空间向量的加法法则求解即可
【详解】由题意，
故答案为：
【题型二】空间共面向量定理
【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5 个点
、
、
、
、
，若满足
，且
、
、
、
四点共面，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理的推论可求
的值.
【详解】由
得
，
即
，
由空间向量共面定理的推论可知，
，解得
.
故选：B.
【变式1】（2024·河南·三模）在四面体
中，
是边长为2 的等边三角形，
是
内一点，四面体
的体积为
，则对
，
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】D
【分析】根据共面向量定理将所求最小值转化为点
到平面
的距离，再利用体积求解即可.
【详解】设
，由共面向量定理得点
为平面
内任意一点，
且
，
所以
，
求
的最小值，即求点
到平面
的距离，
设点
到平面
的距离为，
由题意知
，
四面体
的体积
，
解得
，故所求最小值为6．
故选：D．
【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥
的底面
为平行四边形，过点
的平面分别交侧棱
，
，
于
，
，
三点，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算表示
，利用共面求出参数
，据此求出
即可得解.
【详解】如图，
设
，
则
．
又
，
，
，
四点共面，所以
，解得
，
所以
，
，得
．
故选：B
【变式3】（2025·上海·模拟预测）
不与
共面，并且
四点在一个平面上，
（
），则
的最小值为 ______．
【答案】16
【分析】由向量共面定理有
，再应用基本不等式“1”的代换求最小值.
【详解】由题设
，
不与
共面，且
四点共面，
所以
，可得
，且
，
所以
，
当且仅当
时取等号，则最小值为16.
故答案为：16
【题型三】求空间向量的数量积和空间向量数量积的应用
【例3】（2025·河北·模拟预测）正四棱锥
底面边长与侧棱长均为
为空间任一点，且满足
，
则线段
长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，根据
，可得点
在以
为球心，以1 为半径的球面上，且
，从而可得线段
长度的取值范围.
【详解】取底面正方形中心
，
中点
，连结
，
以
为原点，
为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
设
，则
，
因为
，得
，
所以点
在以
为球心，以1 为半径的球面上，
且
，
则
，即线段
长度的取值范围为
.
故选：C
【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱
中，
，且
，N 是棱
上的
一点，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．3
D．
【答案】B
【分析】设
，
，
，将向量
分别用
表示，代入
，利用向量数量
积的运算律化简，求得
，借助于二次函数的性质即可求得
的最小值.
【详解】
设
，
，
，
则
，
，
由
，
因
，
，则
，
代入整理得，
，显然
，故
，
因
，故当
时，
取得最大值
，
此时
取得最小值为36，故
的最小值为6.
故选：B.
【变式2】（2026·广东佛山·一模）已知
，
，是空间中三个两两垂直的单位向量，则
________．
【答案】
【详解】由题可知，
，
，
所以
．
【变式3】（2025·上海虹口·一模）已知空间中四个单位向量
满足
, 则
在
方向上的数量投影的最大值为___
【答案】
【分析】通过已知条件建立向量
与的关系，进而求出
在方向上的数量投影的值.
【详解】设
,
,
其中
,
,
,
可设
,
同理，
（*）,
,
则
在方向上的数量投影为
当
最大时，
，
，故由（*），
,
,
,
,
,
,
，
故答案为：
.
【题型四】空间向量基本定理及其应用
【例4】（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体
中，
分别为棱
，
的中点，点
在
平面
上，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将
用平行六面体的棱向量表示，
可由
线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对
应系数相等，列方程求解
.
【详解】设基底，以
为原点，令
，则
，因此
，D 点，
，
是
中点，
，因此
，
是
中点，
，因此
，
因为
在平面
上，所以
可表示为平面内的向量的线性组合，
，
即：
，
代入
，整理得：
，
，解得
，代入得
，即
.
【变式1】在平行六面体
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理可得答案．
【详解】
.
故选：B.
【变式2】（多选）已知
是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A．对于空间中的任意一个向量
，总存在实数
，使得
B．若
是空间的一个基底，则
也是空间的一个基底
C．若
，
，则
D．若
所在直线两两共面，则
共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理逐一判断.
【详解】由空间向量基本定理知：仅当
不共面时，
才能作为基底，即
，A 错；
若
是空间的一个基底，则
不共面，
若
共面，则
，
，
显然
无解，即
不共面，故
也是空间的一个基底，B 对；
若
，
，在空间中
不一定平行，C 错；
若
所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即
不一定共面，D 错.
故选：ACD.
【变式3】在正四面体
中，点
是
的中心，若
（
），则
__________.
【答案】
/
【分析】连接
并延长交
于点
，连接
，可得
，
，结合图形将
用
表
示即得.
【详解】
如图，在正四面体
中，连接
并延长交
于点
，连接
，
则
，
，
于是
，
即得
，故
.
故答案为：
.
【题型五】空间向量的坐标表示
【例5】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量
，
，则
，
所以
.
故选：A
【变式1】（2024·上海·模拟预测）设
是空间中给定的
个不同的点，则使
成立的点
的个
数为（ ）
A．1
B．
C．无穷多个
D．前面的说法都有可能
【答案】A
【分析】设出各点坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点
的坐标，得到答案.
【详解】设
，
由
得
，
所以
，
所以
，
所以满足条件的点
的个数为1 个.
故选：A．
【变式2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱
的底面边长为1，
是正六棱柱内（不含
表面）的一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设
，由正六边形的性质可知
，再根据空间向量数列积公式，即可
求出结果.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且
，
由正六边形的性质可得，
，
设
，其中
，
所以
，
，
所以
，所以
的取值范围
.
故选：A.
【变式3】（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥
的半径为3，点
为底面圆周上任意一点，点
为圆锥侧面（不
含边界）上任意一点，则
的取值范围为___________．
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论.
【详解】以
为
轴，
为
轴，底面上与
垂直的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图，
设圆锥的高为，
则
，设
，则
，
，由
得
，
所以
的取值范围为
【题型六】空间向量平行、垂直的坐标表示
【例6】已知向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据空间向量平行、空间向量垂直的坐标表示逐项计算判断即可.
【详解】因为向量
，
所以
，
所以
不垂直，选项A,C 错误；
因为
，所以
.
因为
，所以
，B 正确.
故选：B.
【变式1】向量
，
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，则
，即
，
又
，则
，即
，所以
，
则
.
故选：D
【变式2】（2026·河北·三模）已知空间向量
，
，且
.则
________.
【答案】
【详解】因为
，
，且
，所以
，整理得
，解得
.
【变式3】（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量
若
，则
____.
【答案】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可.
【详解】
若
，则
，
解得
，
，故
.
故答案为：
.
【解题大招01】空间向量线性运算快速拆解技巧
1. 首尾相连法则：空间向量线性化简，遵循“首尾相接、去中间点”，多用于立体几何向量转化。
2. 基底分解技巧：任意空间向量均可依托不共面向量基底拆分，优先选择几何体中模长、夹角已知的棱向量作
为基底。
3. 通用线性运算公式（微软公式）：
AB
→
+ BC
→
= AC
→
, AB
→
−AC
→
=CB
→
a±b=( x1± x2, y1± y2, z1± z2)
【例1】在空间四边形ABCD中，化简AB
→
+ BC
→
−AD
→
。
解：第一步：利用首尾相连法则合并向量
AB
→
+ BC
→
= AC
→
原式化简为：AC
→
−AD
→
第二步：利用向量减法法则
AC
→
−AD
→
= DC
→
最终结果：DC
→
【解题大招02】空间向量共线、共面快速判定技巧
1. 共线判定速法：坐标成比例直接判定平行，无需验证夹角；坐标含0 时，对应分量必须同时为0。
2. 四点共面秒杀结论：若OP
→
= x OA
→
+ y OB
→
+ zOC
→，满足x + y + z =1，则P、A 、B、C四点共面。
3. 判定公式：
a∥b⇔x1
x2
= y1
y2
= z1
z2
(b≠0)
【例2】已知OP
→
= 1
2 OA
→
+ 1
3 OB
→
+ 1
6 OC
→
，判断P、A 、B、C四点是否共面。
解：第一步：验证系数和
x + y + z = 1
2 + 1
3 + 1
6 =1
第二步：结合四点共面结论
满足共面向量公式条件，故P、A 、B、C四点共面。
【解题大招03】空间向量数量积最值与夹角求解技巧
1. 夹角判定技巧：数量积正负快速判角，a⋅b>0为锐角，a⋅b<0为钝角，a⋅b=0为直角。
2. 模长最值技巧：利用|a|
2=a
2，将模长最值问题转化为二次函数最值求解。
3. 核心公式：
cos ⟨a,b ⟩=
a⋅b
|a||b| ,|a|
2=a⋅a.
【例3】已知a=(1,1,0)，b=(1,0,1)，求两向量夹角，并判断夹角类型。
解：第一步：计算数量积
a⋅b=1×1+1×0+0×1=1
第二步：计算模长
|a|=
❑√1
2+1
2+0
2= ❑√2
|b|=
❑√1
2+0
2+1
2= ❑√2
第三步：计算夹角余弦值
cos ⟨a,b ⟩=
1
❑√2×❑√2 = 1
2
第四步：判定夹角
⟨a,b ⟩=60
∘，为锐角。
答案：夹角为60
∘，是锐角。
【解题大招04】空间几何位置关系向量速证技巧
1. 平行速证：线线平行证方向向量共线；线面平行证方向向量与平面法向量垂直；面面平行证两平面法向量共
线。
2. 垂直速证：线线、线面、面面垂直，统一转化为数量积为0，是高考最快解题路径。
3. 核心判定公式：
l∥α ⇔s⋅n=0
l⊥α ⇔s∥n
α ⊥β ⇔n1⋅n2=0
.
【例4】已知平面α法向量n=(2,−1,1)，直线l方向向量s=(1,1,−1)，证明：l∥α。
证明：第一步：计算方向向量与法向量数量积
s⋅n=1×2+1×(−1)+(−1)×1=2−1−1=0
第二步：判定位置关系
由s⋅n=0，得s⊥n，且直线l⊄α。
故l∥α，得证。
【解题大招05】平面法向量快速求解技巧
1. 叉乘速算法：已知平面内两个不共线向量，直接叉乘快速求法向量，规避方程组繁琐计算。
2. 赋值技巧：解法向量方程组时，优先给含1、0 的变量赋值，简化运算。
3. 核心公式：设平面内两向量a=( x1, y1, z1),b=( x2, y2, z2)
n=a×b=( y1 z2−y2 z1, z1 x2−z2 x1, x1 y2−x2 y1).
【例5】已知平面内两向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)，求该平面的一个法向量n。
解：由叉乘公式得：
n
=(0×1−1×1,1×0−1×1,1×1−0×0)
¿
¿
答案：平面一个法向量为n=(−1,−1,1)。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·福建泉州·一模）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为向量
，可知
，
则
.
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形
中，E，F 分别是
，
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据向量加法法则，将
分别用
表示，再结合题意即可得解.
【详解】如图，
，
，
，
.
故选：C.
3．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系
中，
，则向量
与
夹角的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解.
【详解】依题意，
，
所以向量
与
夹角的余弦值为
.
故选：A
4．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量
，
，
，平面
的法向量
，
若
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】求出平面
的法向量
，结合向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】设
，
则
，即
，令
，则
，所以
.
因为
，所以
，即
，整理得
，
解得
.
二、多选题
5．（2026·湖南长沙·一模）已知
是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．向量
、
、
一定共面
C．向量
在基底
下的坐标是
D．对空间中任意向量
，都存在唯一的有序实数组
，使得
【答案】ACD
【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，因为
是空间的一个基底，若
，
假设
、
、
不全为零，不妨设
，则
，
所以
、
、共面，矛盾，故
，同理可得
，
，即
，A 对；
对于B，假设
、
、
共面，
则存在
、
，使得
，
即
，
根据A 可知
，该方程组无解，假设不成立，
故向量
、
、
不共面，B 错；
对于C，向量
在基底
下的坐标是
，C 对；
对于D，由B 可知，向量
、
、
一定不共面，
则
可作为空间向量的一组基底，
故空间中任意向量
，都存在唯一的有序实数组
，
使得
，D 对.
三、填空题
6．（2024·山东济南·一模）在三棱柱
中，
，
，且
平面
，则
的值
为________.
【答案】
/0.5
【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底
，将相关向量分别用基底表示，再利用
平
面
，确定
必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.
【详解】
如图，不妨设
，依题意，
,
，
因
，则
又因
平面
，故
必共面，
即存在
，使
，即
，
从而有
，解得
.
故答案为：
.
四、解答题
7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4 的正方体
中，
，设
，
，
.
(1)试用
，
，表示
；
(2)求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的运算律求出
，即可得解.
【详解】（1）依题意可得
（2）依题意可得
，
所以
，
所以
，即
.
8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F 分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、
DD1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.
(1)求点E、F 的坐标；
(2)求证：EF∥平面ACD1.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据坐标系，利用坐标的定义，可得结论；
（2）求出
、
的坐标，可得
，从而可得线线平行，即可得到线面平行．
【详解】（1）由题意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F 分别为A1D1、D1C1的中点，
∴
，
（2）
，
，
，
，
∴
，∴AC∥EF，
∵EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·山西太原·二模）已知空间向量
，平面
的一个法向量为
，则向量
在平面
上的投
影向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案
【详解】向量
在法向量上的投影向量为
，
设向量
在平面
上的投影向量
，由平行四边形法则可得
，
故
.
2．（2026·浙江·三模）已知
是空间的一组基底，则能与
构成另一组基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．，
D．
，
【答案】A
【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可．
【详解】对于选项A，假设存在实数
，
，使得
，
则
，方程无解，即不存在实数
，
使得上式成立，
所以
，
，
不共面，能构成一组基底，故A 正确；
对于选项B，假设存在实数
，
，使得
，
则
，解得
，即存在实数
，
使得上式成立，
所以
，
，
共面，不能构成一组基底，故B 错误；
对于选项C，假设存在实数
，
，使得
，
则
，解得
，即存在实数
，
使得上式成立，
所以
，，
共面，不能构成一组基底，故C 错误；
对于选项D，假设存在实数
，
，使得
，
则
，解得
，即存在实数
，
使得上式成立，
所以
，
，
共面，不能构成一组基底，故D 错误．
3．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体
中，
，
，
分别是线段
，
，
上靠近点
的三等分点，设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】由题意可知
，
，
，
则
，
又因为
，所以
.
二、多选题
4．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体
中，
，
，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
【答案】AD
【分析】对于A，由
可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过
可判断，
对于D，通过向量夹角公式可判断.
【详解】设
，
，
，
由题意得：
，三个向量两两夹角为
，
因此两两点积
，
选项A，
，则
，
因此
，A 正确；
选项B ，平行六面体中
，对比得
，
，B 错误；
选项C ，
，
因此
，C 错误；
选项D ，
，
；
即
；
因此
，D 正确.
三、填空题
5．（2026·湖南长沙·二模）
为空间任意一点，若
，若A，B，C，P 四点共面，则实数等
于_______.
【答案】
/
【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得.
【详解】由
，则
，
则
，
由A，B，C，P 四点共面，则
，解得
.
四、解答题
6．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱
中，
，
，
，
(1)如图1，点E 为棱
上的动点，点F 为棱BC 上的动点，且
，求线段
长的最小值；
(2)如图2，点M 是棱AB 的中点，点N 是棱
的中点，P 是
与
的交点，在线段
上是否存在点Q，使得
面
？
【答案】(1)
(2)存在点
在靠近点
的三等分点处
【分析】（1）以点
为原点建立空间直角坐标系，设
，求出
的坐标，进而可得出答案；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
故
，
所以
，
当
时，
取得最小值
，
所以线段
长的最小值为
；
（2）假设存在，设
，
，
故
，
，
设平面
的法向量为
，
则有
，可取
，
因为
面
，所以
，
则
，解得
，
所以存在点
在靠近点
的三等分点处，使得
面
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·河南·二模）点
为棱长是2 的正方体
的外接球上一动点，
为底面
的中心，若
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：根据空间向量共面定理可得当点P 位于平面
内时，
，设与平面
平行的平面为
，
外接球球心为
，分析可得当点P 是平面
和球
相切时的切点时，
的值最大，进而分析求解即可；
法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算可得
，
，进而得到
，
再结合基本不等式求解即可.
【详解】法一：因为
，
所以当点P 位于平面
内时，
，
设与平面
平行的平面为
，正方体
的外接球球心为
．
则当点P 是平面
和球
相切时的切点时，
的值最大．
记棱
的中点为E，则
面
，
故图中射线
与球
的交点即为点P．
设棱AB，
的中点分别为F，G，取过O，
，E 的截面，如图，
连接OP 交直线FG 于点M，过点O 作
垂足为H，
则
，
，
则
的最大值为
．
法二：设正方体
的外接球球心为
，建立如图的坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
又
，得
，
，
又点
为棱长是2 的正方体
的外接球上一动点，则
．
得
，
设
，则
，
而
，
因为
，
故当
，且
时，
取最大值为
，
所以
的最大值为
，即
的最大值为
．
2．（2026·上海静安·二模）设
、
分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点
在该正方体的表面上（含棱和顶
点）运动，且不与
、
两点重合．关于
，给出下列两个结论：
①
存在最小值，且最小值小于零；
②
存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（ ）．
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①和②都错误
D．①和②都正确
【答案】A
【分析】分
、
为同一平面的相邻顶点、
、
为同一平面的不相邻顶点及
、
为体对角线上两顶点进行讨
论，可求出对应的
长度，取
中点为
，利用空间向量线性运算与数量积公式可得
，
再求出对应
范围即可得解.
【详解】设
中点为
，
若
、
为同一平面的相邻顶点，则
，
则
，即
，
，
此时
存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
若
、
为同一平面的不相邻顶点，则
，
则
，即
，
此时
存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
若
、
为体对角线上两顶点，则
，
则
，即
，
则
，
此时
存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零；
综上可得：①正确；②错误.
二、多选题
3．已知正方体
的边长为2，点P，Q 分别在正方形A1B1C1D1的内切圆，正方形
的外接圆上运
动，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可.
【详解】以A 为原点，
为x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系．
设点
，
，
，
，
A：
，故正确．
B：
，
记
，
，故正确；
C：取
的中点M，
穿过一侧的外接圆，取
的中点
，则
不穿过，故必存在点P，使得
经过外接
圆，设公共点为Q，此时
共线，故不正确；
D：假设成立，则
恒成立，
取
，则
，即
，故不正确．
故选：AB.
【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键.
三、填空题
4．（2025·上海浦东新·二模）已知
为空间中三个单位向量，且
，若向量
满足
，
，则向量
与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
【答案】
【分析】由题意可设设
，
，结合
，
，求得
和
，再结合向量夹角得坐标表示即可求解.
【详解】可设
，设
，
则
，
所以
，
两式相减可得：
，再代入第一个式子，
可得：
设向量
与向量夹角为
，
则
，
易知对于
当
即
取得最大值
，
此时
取得最大值
，
即
的最大值为
，
时取得，
再由余弦函数的单调性可知
的最小值为
，
故答案为：
四、解答题
5．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD 中，
于
于
，将
沿AC
翻折至
，使得
，连接
，如图2．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求直线
与直线AC 所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)作辅助线画出底面
的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积；
(2)先算出
和
的比，利用向量线性关系求出
和
、
，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值.
【详解】（1）解：过
点作
交
于点
，如图所示，
由
知
，且
，
又因为
且
，所以
平面
，
过点
作
交
延长线于
点，所以
，
又因为
，故
平面
，即
为三棱锥
的高，
由题知
，
，则
，
，
，
所以
；
（2）解：因为
，
，解得
，所以
，
同理可得
，所以
，
，
由图知
，
两边平方得：
，所以
，
又因为
，
所以
.
