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第 04 讲 正弦定理和余弦定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
高频考点二：判断三角形的形状
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
角度2：根据面积求参数
角度3：三角形面积的最值
高频考点四：三角形周长相关问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在 中， 若角 、 及 所对边的边长分别为 ， 及 ，则有
1.2正弦定理的推广及常用变形公式
在 中， 若角 、 及 所对边的边长分别为 ， 及 ，其外接圆半径为 ，则
①
② ； ； ；
③
④⑤ ， ， （可实现边到角的转化）
⑥ ， ， （可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍.
②符号语言：在 中，内角 ，所对的边分别是 ,则：
；
2.2余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤⑥若
⑦若 或
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
典型例题
例题1．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）在 中，已知 ，则此三角形
（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
例题2．（2022·青海西宁·高一期末）在△ABC中， ， ， ，则满足条件的
（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
例题3．（2022·天津·高一期中）在 中， ， ，若该三角形有两个解，则 边范围是
（ ）
A． B． C． D．
例题4．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习） 的内角 ， ， 的对边分别为
， ， ，已知 ， ，若解该三角形有且只有一解，则 的可能值为（ ）
A．6 B． C． D．8
题型归类练
1．（2022·山东潍坊·高一期末）在 中，若 ， ， ，则此三角形解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
2．（2022·陕西·长安一中高一期中）在 中， ， ， ，则满足条件的 （ ）
A．无解 B．有解 C．有两解 D．不能确定
3．（2022·山东枣庄·高一期中）在 中，若 ， ， ，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解
4．（2022·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）在 中， ， ，若三角形有两个解，则
边的取值范围是__________．角度2：利用正弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）已知 中，
，则 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
例题2．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习） 中， ， ， ，则
（ ）
A． B．2 C． D．1
例题3．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 等于（ ）
A． B．2 C．3 D．
例题4．（2022·浙江·高一期中）在 中， 是边 上的一点， ， ，
，则 （ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
题型归类练
1．（2022·新疆石河子一中高一阶段练习）在 中， ､ ､ 所对的边分别为 ､ ､ ，若
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 或 ，
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C．6 D．
3．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）在 中，A＝30°， C＝45°， c＝ ，则a的值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（多选）（2022·福建省福州华侨中学高二期末）在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ，
，已知 ，则角 的值为（ ）
A． B． C． D．角度3：利用余弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）在 中，角 所对的边分别是 ，若
，则角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））在 中，
，则 ___________.
例题4．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）在 中， ， ， ，则
______
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
， ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若
，则角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南邵阳·高一期末）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，
，则c=（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知 分别为 三个内角 的对边， 若 ，
， ，则 __________.角度4：正余弦定理综合应用
典型例题
例题1．（2022·云南昆明·高一期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ．
例题2．（2022·北京一七一中高一阶段练习）如图，在平面四边形 中， ，
， ， .
(1)求 的值；
(2)求边 的值.
例题3．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）在△ 中，内角 的对边长分别为
，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求△ 的边 的值.
题型归类练1．（2022·广东·江门市第二中学高一期中）在锐角 中， 的对边分别为 ，且
(1)确定角 的大小；
(2)若 ，且 ，求边 .
2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在 中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
3．（2022·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）在 中，根据下列条件求相应的值.
（1）已知 ， ， ，求 ；
（2）已知 ， ， ，求 .
高频考点二：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（2022·江苏·常州市新桥高级中学高一期末）在 中， ， ， ，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断例题2．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）在 中，角 所对的边分别是 ，且
，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若在 ，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
题型归类练
1．（2022·重庆一中高一期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
2．（2022·河南·濮阳一高高二阶段练习（理））某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中
拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长
度分别为 ，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则
是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
典型例题
例题1．（2022·湖南·长郡中学高一期末）在 中，若 ， ， 则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公
式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就
是 ，其中 ， ， 是三角形的三边， 是三角形的面积．设某三角形的三
边 ，则该三角形的面积 ___________．
例题3．（2022·四川凉山·高二期末（理））在 中，已知 ， ， ．(1)求角 ；
(2)求 的面积．
例题4．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知
， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
例题5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 边上中线， ，求 的面积.
例题6．（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已
知向量 ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积．
题型归类练
1．（2022·北京丰台·高一期末）在 中，若 ， ， ，则 的面积为
____________．
2．（2022·全国·高一） 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， .已知 ，则 __，若 ， ，则 的面积为 __.
3．（2022·天津河东·高一期中）在△ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，
且 ，
（1）求角A.
（2）求△ 的面积.
4．（2022·福建漳州·高二期末）在△ABC中， acosB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
角度2：根据面积求参数
典型例题
例题1．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知函数 ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)在锐角△ 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，若 ， ，△ 的面积
，求 的值．
例题2．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知 的内角 、 ， 所对的边分
别为 、 、 ，且 ．
（Ⅰ）求角 的值．
（Ⅱ）若 的面积为 ，且 ，求 的值．例题3．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知 的周长为 ，且
.
(1)求边 的长；
(2)若 的面积为 ，求角 的度数.
题型归类练
1．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理）） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
角 ， ， 成等差数列， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 的面积为 ，求 ．
2．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司高三开学考试）已知 分别为 三个
内角 的对边， ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ， ．3．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习） 中， 是角 所对的边，
.
(1)求 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的面积 ，求 的值．
角度3：三角形面积的最值
典型例题
例题1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且 ．
(1)求角 ；
(2)当 时，求 面积的最大值．
例题2．（2022·河南安阳·高二期末（文））在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
的面积为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值．例题3．（2022·福建泉州·高一阶段练习）在 中，已知向量 ，
，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角 所对边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
2．（2022·全国·高三专题练习）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
△
．
(1)求A；
(2)若 ，求 ABC的面积的最大值．
△高频考点四：三角形周长相关问题
典型例题
例题1．（2022·河北·大名县第一中学高二期末）在锐角 中， ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 ，求 的周长．
例题2．（2022·广东广州·高一期中）在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
例题3．（2022·福建省福州高级中学高二期末）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 的周长为 ，求 边上中线的长.例题4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文）） 中，内角 ， ， 的对边分
别为 ， ， ，且 的外接圆半径 满足 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
例题5．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二开学考试）在① ，② 的面积
，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行
求解.问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知_________， .
(1)求角 .
(2)求 周长的取值范围.
题型归类练
1．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高一期末）如图，在四边形 中， ，
， ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的周长．2．（2022·湖南怀化·高二开学考试）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
3．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：
，条件②： ，条件③： 这三个条件中选择
一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
4．（2022·福建福建·高二期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且
．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC周长的取值范围．5．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若
_____________．（请从① ；② ；③
这三个条件中任选一个填入上空）
(1)求角C；
(2)若 时，求 周长的最大值．
