文档文本内容
第 06 讲 对数与对数函数
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：对数的运算...........................................5
高频考点二：换底公式.............................................7
高频考点三：对数函数的概念.......................................8
高频考点四：对数函数的定义域.....................................9
高频考点五：对数函数的值域......................................10
角度1：求对数函数在区间上的值域..............................10
角度2：求对数型复合函数的值域................................11
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围......................11
高频考点六：对数函数的图象......................................15
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象........................15
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数......................17
角度3：对数（型）函数图象过定点问题..........................18
高频考点七：对数函数的单调性....................................22
角度1：对数函数（型）函数的单调性............................22
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数....................23
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式..................24角度4：对数（指数）综合比较大小..............................25
高频考点八：对数函数的最值......................................29
角度1：求对数（型）函数的最值................................29
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数........................31
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用..................32
第四部分：典型易错题型.............................................38
备注：对数型复合函数容易忽略定义域..............................38
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较....................39
第五部分：新定义题（解答题）.......................................40
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作
，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数 .
（3）对数式与指数式的互化： .
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数 具有以下性质：
①负数和零没有对数，即 ；
②1的对数等于0，即 ；③底数的对数等于1，即 ；
④对数恒等式 .
（2）对数的运算性质
如果 ，那么：
① ；
② ；
③ .
（3）对数的换底公式
对数的换底公式： .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换
成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
① ；
② ；
③ (其中 ， ， 均大于0且不等于1， ).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如 ( ，且 )的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）对数函数的图象与性质
图象
定义域：
值域：
性质
过点 ，即当 时，
在 上是单调增函数 在 上是单调减函数第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知 ，则 ．
【答案】5
【分析】设 ，再用 表达 求解即可.
【详解】设 ，则 ， ， ，
故 .
故答案为：5
例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：
(1) ；
(2) .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；
（2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
练透核心考点
1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算 ．
【答案】 /
【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】原式 .
故答案为： .
2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)15
(2)3
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数性质及运算法则计算即得.
【详解】（1）原式 .
（2）原式 .高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末） （ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.
【详解】 ，
故选：C．
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知 ，则
.
【答案】 /
【分析】由对数式与指数式的互化可得出 ，再利用对数的运算性质以及换底公式可
求得所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，
所以，
.
故答案为： .
练透核心考点
1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若 ，则 的值约为（ ）
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
【答案】A
【分析】利用指对互化与换底公式即可得解.【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算： ．
【答案】5
【分析】根据对数的定义和运算分析求解.
【详解】由题意可得：原式
.
故答案为：5.
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数 ， 的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数 是对数函数，C是；
函数 的底数含有参数 ，而 的值不能保证 是不等于1的正数，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数 是对数函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.
【详解】因为函数 是对数函数，则 ，解得 ．
故答案为：1.
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得 ，解得 ，即函数 的定义域为 .
故选：
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数 的定义域为 ，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知可得对任意的 ， ，可得出 ，即可解得实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的 ， ，则 ，解得
.
所以，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.
【详解】由题意结合对数函数定义域可知 ，解不等式得 ，
因此函数 的定义域是 .故答案为： .
2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数 的定义域为 ，则
实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，将问题转化为 恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 在 上恒成立，
则当 时， 满足题意；
当 时， ，解得 .
综上所述， ，即 .
故答案为： .
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质，先求函数 的范围，再求函数的值域.
【详解】由 知 ， ，值域是 ．
故选：C
例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的值域是
．
【答案】
【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域.【详解】∵ ，∴ ，即 ，
即 ，则函数 的值域为 .
故答案为：
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】求出 的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数 的值域.
【详解】因为 ，所以， ，
因此， ，故函数 的值域为 .
故答案为： .
2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数 的值域为 .
【答案】
【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.
【详解】由题意函数的定义域为 ，而 ，
不妨设 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数 的定义域和值域都是
，则 .【答案】 或
【分析】分类讨论 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.
【详解】当 时，易知函数 单调递减，由定义域和值域都是 ，
所以 解得 所以 .
当 时，易知函数 单调递增，由定义域和值域都是 ，
所以 解得 所以 .
故答案为： 或 .
例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数 ．若
的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出 即可.
【详解】因为函数 的值域是 ，则 为二次函数 值域的子集．
当 时，内层函数为 ，不合题意；
当 时，则有 ，解得 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为：
练透核心考点
1．（2024·上海·高一假期作业）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】先确定 的定义域，再由复合函数的单调性确定出 的单调性，则 的值域可求.
【详解】由题意得 ，即 ，所以 的定义域为 ，
因为 对称轴为 ，且开口向下，且 在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 （或 ）时， ，当 时， ，
所以 ，故答案为： ．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数 在 上的最大值为2，则实数
．
【答案】
【分析】由题意易知 ，分类讨论 ， 时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.
【详解】令 ，因为 时， ，所以 ；
若 ，则 在 上为减函数，所以 ，此时a无解；
若 ．则 在 上为增函数，所以 ，此时
故 ．
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，设 ，则函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】确定函数 的定义域，化简可得 的表达式，换元令 ，可得
，结合二次函数的性质即得答案.
【详解】由题意得 ，则 ，即 的定义域为 ，
故 ，
令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，故 ，
故函数 的值域为 ，
故答案为：
4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在 上的函数 为偶函数.当 时，
.
(1)求 ；
(2)求函数 的解析式；(3)若 ，求函数 的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出 ，由奇偶性得到 ；
（2）根据函数的奇偶性得到 时的函数解析式，进而得到答案；
（3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在 时的值域.
【详解】（1） ，
因为 为 上的偶函数，所以 ；
（2）当 时， ，
故 ，
又 为 上的偶函数，故 ，
所以 ，
所以 ；
（3）当 时，由复合函数单调性可知 单调递减，因为 ，
故 ，
由函数为偶函数可知，当 时， 单调递增， ，
则 ，
综上， 的值域为
5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数 且 .
(1)当 时，若 ，求 的取值范围；
(2)若 的最大值为2，求 在区间 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合对数函数的定义域及单调性即可得；（2）先结合题意计算出 ，再根据对数函数的单调性即可得.
【详解】（1）当 时， 是 上的减函数，
因为 ，所以 ，解得 ．
（2）因为 ，且 有最大值2，
所以 ，且 ，解得 ，
因为 是 上的减函数，
所以 ， ，
所以 在区间 上的值域为 ．
6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)若 的定义域为 ，求 的取值范围.
(2)若 的值域为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据对数函数的性质，转化为 恒成立，列出不等式组，即可求解；
（2）设 ，根据题意转化为 ，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，
要使得 的定义域为 ，即 恒成立，
则满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
（2）解：设 ，要使得 的值域为 ，即 ，
当 时， 的值域为 ，此时 ，
所以函数 的值域为 ，符合题意.
当 时，要使得 ，则满足 ，解得 ，综上可得，实数 的取值范围为 .
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知 ，则 ，且 与
，且 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对数运算得到 ，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
若 ，则 ，排除C，
若 ，则 ，排除AB.
故选：D
例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数 的图象如图所示，则函数
与 在同一坐标系中的图像是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象易得 ，结合指对数函数性质判断函数图象.
【详解】由幂函数图象知： ，
所以 与 在各自定义域内都递减，显然只有D满足.
故选：D
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数 （ 且 ， ， 为常数）的
图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数 为减函数，所以
又因为函数图象与 轴的交点在正半轴，所以 ，即
又因为函数图象与 轴有交点，所以 ，所以 ，
故选：D
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．
【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在
（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角 的终边经过函数 （ 且 ）
的图象上的定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先得 ，进一步结合三角函数定义即可求解.
【详解】由题意令 ，得 ，而此时 ，
所以，角 的终边经过定点 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数 且 的图象恒过定点 ，且
点在直线 上， ，则 的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．8
【答案】B
【分析】先得出 ，再由基本不等式得出答案.
【详解】当 时， ，即函数的图象恒过定点 ，
因为 在直线 上，所以 ，
当且仅当 时，取等号，即 的最小值为10.
故选：B
练透核心考点
1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以函数 的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.【详解】函数 的定义域为 ，可以排除选项B、C；
由 ，
可知函数 为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数 ，对数函数 的图象如图所示，则下列
关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到 的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数 为减函数，
对数函数 为增函数，
所以 ，
即 .
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若
且 ， ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ,所以 ，
,
,当且仅当 ，即 等号成立故选：B.
4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知 ， ，且 ，
，则函数 与函数 在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】结合指数函数、对数函数的图像按 和 分类讨论．
【详解】由 ， ，且 ， ，
所以 过点 ，
而 过点 ；
选项A，B：由图可知 单调递增，则此时 ，
所以有 ，故 在 单调递增，
故A选项错误，选项B正确；
选项C，D：由图可知 单调递减，则此时 ，
所以有 ，故 在 单调递减，
故C选项不正确，选项D正确；
故选：BD.
5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数 且
的图象过定点 ，正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD【分析】求出函数 所过定点的坐标，可得出 ，可判断A；利用不等式 可判断
B；利用基本不等式可判断C；利用“1”的妙用，结合基本不等式可判断D.
【详解】在函数 的解析式中，令 可得 ，且 ，
则函数 的图象过定点 ， ，所以 ，故A错误；
由不等式 ，可得 ，故 ，当且仅当 时取等号，故
B正确；
由基本不等式可得， ，当且仅当 时取等号，故C错误；
，当且仅当 ，即 时取等
号，故D正确.
故选：BD.
6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若 ，则下列选项可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】在同一直角坐标系中，作出y=lnx，y=lgx的图像，数形结合能求出结果．
【详解】在同一直角坐标系中，作出 ， 的图像．
由图可知，当 时，有 ，故A正确；当 时，显然有 ，故B正确；当
时，显然有 ，故C错误，D正确．
故选：ABD.
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】函数 的定义域为： ，
函数 在定义域内是增函数，
函数 ，图像抛物线开口向上，对称轴是 轴， 时， 是增函数，
由复合函数的单调性可知函数 的单调递增区间为 ．
故选：C．
例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式 ，即 ，解得 或 ，
又由函数 在 单调递减，在 单调递增，
因为 在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数单调性的判定方法，可得函数 的单调递增区间为 .
故选：D.
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】由题意 ，解得 ．故选：C．
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数 是 上的单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分段函数在 上单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，
从而得到不等式，求出答案.
【详解】 时， ，要想单调递减，需 ，
要想 在 上单调递减，需 ，
解得 .
故选：A
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的定义域，然后分析 的单调性，再根据 求解出不等式解
集.
【详解】 的定义域为 ，
因为 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，
所以不等式解集为 ，故选：B.
例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为 ，令
，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根据题意，得到 ，设 ，得到 为偶函数，求
得 关于 对称，且在 上单调递增，把不等式转化为 ，即可求解.
【详解】解法1：由函数 ，
则不等式 ，即为 ，
可得 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
解法2：由函数 ，
可得 ，
设 ，则 ，
所以函数 为偶函数，即 为偶函数，
可得 关于 对称，且在 上单调递增，
所以不等式 ，即为 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：C.
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算得到 ， ，得到大小关系.
【详解】 ， .
故 .
故选：A
例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数单调性结合中间变量比大小即可.
【详解】易知 ， ，
因为 ，则 ，故得 ，显然B正确.
故选：B
练透核心考点
1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知 ，则 的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件得到 ， ，即可判断出 ，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判
断出 ，从而得出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，得到 ，即 ，所以 ，
故选：A.
2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
同时 ，
所以 ，
而 ，
所以 ．
故选：D．
3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.
【详解】由题意得 ，解得 ，
开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上递增，在 上递减；
因为 是定义域上的递增函数，
利用复合函数的同增异减可得 的单调递增区间为 ，
故选：B.4．（2024·全国·高一专题练习）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 在 上单调递增且恒大于 ，从而得到 ，解得即可.
【详解】因为函数 在 上单调递减，
令 ，
则 在 上单调递增且恒大于 ，
则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数 的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】函数 ，由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
设函数 ，则函数的图象是开口向下且以 为对称轴的抛物线，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知 的单调递增区间为 （写成 也正确）．
故答案为：
6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数 在 上是增函数，则 的取
值范围是 .【答案】
【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求 的取值范围.
【详解】当 时， 在 上是增函数；
当 时，由函数 在定义域内单调递增，
则函数 在 上单调递增且大于0恒成立，
有 解得 .
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；
(2)求不等式 的解集
【答案】(1)定义域为 ，奇函数
(2)
【分析】（1）根据对数的真数大于零求函数的函数的定义域即可，再根据函数奇偶性的定义判断处
的关系即可判断处函数的奇偶性；
（2）根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为奇函数；
（2） ，
由 ，
得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 （ 且 ， 为常数）的图象经过点
， .
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 在 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为 的图象经过点 ， ，
所以 ，两式相减得 ，
又 且 ，解得 或 （舍去），则 .
（2）由（1）得 ，
因为函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
则 ，
，
故 在 上的值域为 .
例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数 ， .
（1）设集合 ，求集合A；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 .
【解析】（1）由 可得 ，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合 ；
（2）把 变形，再由 的范围求得 的范围，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）由 ，
得 ，
即 ，则 ，
求得 ．
， ；
（2）
．
， ， ，
当 时， ，
当 时， ．
故 的最大值为 ，最小值为 ．
【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出 ，解答（2）的关键是先求出 ，再利用
配方法求解.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数 且 在区间 上的最大值
比最小值多2，则 （ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
【答案】A
【分析】对参数 的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值.
【详解】由题意 解得 或 （舍去），
①当 时，函数 在定义域内为增函数，
则由题意得 ，
所以 即 ，解得 或 （舍去）；②当 时，函数 在定义域内为减函数，
则由题意得 ，
所以 即 ，解得 ；
综上可得： 或 ．
故选：A.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分 和 两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可
得出关于实数 的不等式组，由此可解出实数 的取值范围.
【详解】当 时，外层函数 为减函数，对于内层函数 ， ，则
对任意的实数 恒成立，
由于二次函数 有最小值，此时函数 没有最小值；
当 时，外层函数 为增函数，对于内层函数 ，
函数 有最小值，若使得函数 有最小值，
则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是中档题．
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江佳木斯·高一校联考期末）已知函数 ．
(1)判断并证明函数 的奇偶性；
(2)当 时， 恒成立．求实数 的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即
可.
（2）该题参数 已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的 取值范围，
由于不等式左侧的最小值取不到，则 可以取该值.
【详解】（1）由函数 ，得 ，
即 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称．
又 ，
，
所以 是奇函数；
（2） 恒成立，则 ，
即 在 恒成立，
令 ，
因为 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 时， ，
则实数 的取值范围是 ．
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求函数 的定义域，并根据定义证明函数 是增函数；
(2)若对任意 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)定义域为 ，证明见解析
(2)
【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于 的不等式组，即可解得函数 的定义域，然后利用
函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知， ，由 可得出 ，结合参变量分离法可得
出 ，利用指数函数的单调性可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：对于函数 ，则 ，可得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
证明单调性：设 ，
则有 ，
，
由于 ，所以 ， ， ，
并且
，则 ，
于是 ，
所以 ，即： ，
所以函数 在定义域 上单调递增．
（2）解：当 时， ，
所以不等式 恒成立等价于 对任意的 恒成立，
等价于 在 恒成立．
由 可得 ，所以 ， ，
则 ，
于是实数 的取值范围是 ．
练透核心考点1．（2024上·广东清远·高一统考期末）已知幂函数 在 上是增函数.
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，求 在 上的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得 ，进而求得 .
（2）根据复合函数的单调性求得 在 上的最小值.
【详解】（1）因为 是幂函数，
所以 ，
解得 或 .
又 在 上是增函数，则 ，即 ，
所以 ，则 .
（2）由（1）得 ，所以 .
令 ，当 时， 单调递减.
又函数 在其定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可得 在 上单调递减，
所以 .
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 （ 且 ）为奇函数.
(1)求函数 的定义域及解析式；
(2)若 ，函数 的最大值比最小值大2，求 的值.
【答案】(1)定义域为 ，
(2) 或
【分析】（1）根据对数函数的定义域、函数的奇偶性
（2）对 进行分类讨论，结合函数的单调性以及最值求得 .
【详解】（1）要使函数 有意义，则 ，可得： ，因为 为奇函数，所以 ，即 ，所以 的定义域为 ，
由 可得： ，所以 ，
此时 ， 是奇函数，符合题意.
（2） ，
①当 时，函数 单调递减，
所以 ，
，
所以 ，
解得 .
②当 时，函数 单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
解得 .
综上， 或 .
3．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）（1）已知 ，求 的值；
（2）已知函数 在区间 上的最大值为2，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）根据完全平方公式和立方和公式，分别求出分子、分母的值，再求出分式的值.
（2）结合函数的单调性，求函数在给定区间上的最大值，从而确定参数的取值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 .（2）函数 在区间 上的最大值为2，
由复合函数的单调性可知函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最大值为 中较大的数.
若 ，则 ，解得 或 ，
又 且 ，即 ，所以 ，符合题意；
若 ，则 ，又 ，
所以 ，解得 ，符合题意.
综上，实数 的值为 或
4．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）已知函数 ，（ ，且 ）．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)是否存在实数 ，使得函数 在区间 上取得最大值2？若存在，请求出 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)存在， 或
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解；
（2）先令 ，并求值域，再分别对 进行分类求 的最大值，
进而求 的值.
【详解】（1）由题意可得 ，即函数 的定义域为 .
当 时， ，
令 ，则 ，易知函数 在 上单调递增.
函数 图象的对称轴为直线 ，
当 ，函数 在 上递增，在 上递减．所以，由复合函数的单调性可得函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，（ ，且 ）.
令 ，由 ，得 ，
则 的值域为 .
（ⅰ） 时， 在 上单调递减，
所以函数 在 上的最大值为 ，
则 ， ，满足题意.
（ⅱ） 时， 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，
则 ，满足题意．
综上所述： 的值为 或 .
5．（2024上·河南商丘·高一统考期末）已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若对于 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解；
（2）分离参数后，求 的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性
求对数函数值域，即可得解.
【详解】（1）由题意可知 ，即 .
令 ，则有 ，解得 ，所以 ，即 .
所以不等式 的解集为 .（2）由题意可知 ，即 ，
即 .
又
令 ，
易知 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故实数 的取值范围为 .
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数 在区间 内单调递增，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由已知得 ，解之得 ，即 的定义域为 ，
又 在区间 内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得： ，解得 ．
故选：D
2．（2024上·全国·高一专题练习）函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围
是 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0.【详解】令 ，而 为减函数，
所以 在 上单调递增等价于 在 上单调递减且
恒成立，
即 ，解得 .
故答案为：
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知 是 上的
单调函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性，分类讨论求参数范围即可.
【详解】若 在 上单调递增，则 ，解得 ．
若 在 上单调递减，则 ,解得 ．
故 的取值范围是 ．
故选：B
2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数 ，满足对任意 ，
都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据给定条件，可得函数 在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式求
解即得.
【详解】函数 的定义域为R，
由对任意 ，都有 ，得函数 在R上单调递增，
于是 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意
，恰好存在 个不同的实数 ， ， ， ，使得 （其中 ， ， ， ，
），则称 为 的“ 重覆盖函数” .
(1)判断 是否为 的“ 重覆盖函数”，如果是，求出 的值；如
果不是，说明理由．
(2)若 为 的“2重覆盖函数”，求实数 的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出 的值域，然后将问题转化为 的图象与直线 有两个交点的问题，然后对a进
行分类讨论可得；
【详解】（1）由定义可得，对任意 ，恰好存在 个不同的实数 ，
使得 （其中 ），
即 ，
由 ，故当 时， ，此时不存在 使 成立，
当 时， ，且 在 上单调递增，
故对于任意 ，都有唯一一个 ，使得 ，
综上所述，对于任意 ，都有唯一一个 ，使得 ，
是 的“ 重覆盖函数”，且 ；
（2）由 可得 ，故 ，
，
即 ，存在2个不同的实数 ，使得 ，其中 ，
由 时， ，故 ，即 ，
故 ，故对任意 ， ，
，
即对任意 ， 都有2个实根，
当 时， ，且 在 上递增，
故 时， 都有唯一确定的实根，
故当 时， 亦有且有一个实根，
当 时， ，且 在 上单调递减，符合题意，
当 时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当 时，则需对称轴 ，且 ，
即 ，且 ，即 ，
综上，实数 的取值范围是 .
