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专题11 计数原理
专题11.1 加法原理和乘法原理
11.1.1 分类加法计数原理
知识点梳理
分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第1 类办法中有m1种不同的办法，
在第2 类办法中有m2种不同的方法，…，在第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这
件事共有：N=m1+m2+…+mn种不同的方法．
典型例题
例1.如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心
有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构. 若要将这一个正方体上的14 个点染上
红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种颜色，那么不同染色方案
的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（ ）
A. 3
B.6
C.9
D.12
解：不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a,b,c，我们首先假设正方体的一对
顶点
是在(0,0,0)和(1,1,1)，若将(0,0,0)染成a色，那么(0,0.5,0.5)，(0.5,0.5,0)，
(0.5,0,0.5) 三个点必
然都是b色，而(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)必然都是c色.如此递推可以恰好染完整个正
方体.而
1
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当b色固定的时候通过旋转就可以得到ac互换的正方体.从而只有三种不同的方案，也就是
将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.故选：A.
例2.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的
数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息
可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A. 26
B.24
C.20
D.19
解：由题图可知，从A到B有4 种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量
自上而下分别为3,4,6,6，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为
3+4+6+6=19.故选：D.
例3.方程ay=b
2x
2+c中的a,b,c∈{ 2,0,1,2,3}
−
，且a,b,c互不相同，在所有这些
方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A. 28 条 B. 32 条 C. 36 条 D. 48 条
解：方程ay= b
2x
2+c变形得x
2=a
b
2 y−c
b
2 ，若表示抛物线，则a≠0,b≠0．
所以，分b= 2,1,2,3
−
四种情况：
（1）若b= 2
−：①a =1,c=0或2或3；②a =2,c=0或1或3；③a =3,c=0或1或2.
（2）若b=2：①a = 2,
−
c=0或1或3；②a =1,c= 2
−或0或3；③a =3,c= 2
−或0或1.
以上两种情况下有4 条重复，故共有9+5=14 条；
同理，若b=1，共有9 条；若b=3时，共有9 条．综上，共有14+9+9=32种．
随堂演练
1.正整数484 有个不同的正约数 .
解：484=2×2×11×11=2
2×11
2，
设d为484 的正约数，则d =2
i×11
j，(i=0,1,2,j=0,1,2)，
例如：i=0,j=0时，d =2
0×11
0=1×1=1是484 的约数，
i=1,j=2时，d=2
1×11
2=2×121=242是484 的约数，
i=2,j=2时，d =2
2×11
2=4×121=484是484 的约数，
因此，484 的正约数个数，即d的不同取值个数，第一步确定i的值，有3 种可能，第二步
2
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确定j的值，有3 种可能，因此d的取值共有3×3=9种.故答案为：9.
2.用标有1 克，5 克，10 克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端
均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种？（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
解：①当天平的一端放1 个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1 克，5
克，10
②
克；
当天平的一端放2 个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有
1+5=6克，1+10=11克，5+10=15
③
克；
当天平的一端放3 个砝码，另一端不放砝码时，
可以称量重物的克数有1+5+10=16
④
克；
当天平的一端放1 个砝码，另一端也放1 个砝码
时，可以称量重物的克数有5 1=4
−
克，10 1=9
−
克，10 5=5
−
⑤
克；
当天平的一端放1 个
砝码，另一端也放2 个砝码时，可以称量重物的克数有10+5 1=14
−
克，10+1 5=6
−
克，
10 (5+1)=4
−
克；去掉重复的克数后，可称重物的克数有10 种，故选：A.
3.某学校每天安排4 项课后服务供学生自愿选择参加. 学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1 项；
（2）每位学生每项一周最多选择1 次. 学校提供的安排表如下：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后
服务
音乐、阅读、体
育、编程
口语、阅读、编
程、美术
手工、阅读、科
技、体育
口语、阅读、体
育、编程
音乐、口语、美
术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3 项，则不同的选择方案共有______种.
(用数值表示)
解：由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四.
①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为2 种，阅读在剩下的两天中选为2 种，共有
2×2=4种方案.
②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为3 种，阅读在剩下的两天中选为2
种，共有3×2=6种方案.
③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为2 种，阅读在剩下的两天中选为2 种，共有
2×2=4种方案.综上，共有4+6+4=14种方案.故答案为：14.
4.现有5 幅不同的油画，2 幅不同的国画，7 幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房
间，则不同的选法共有（ ）
A. 7 种 B. 9 种 C. 14 种 D. 70 种
解：分为三类：
从国画中选，有2 种不同的选法；从油画中选，有5 种不同的选法；从水彩画中选，有7
3
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种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法；故选：C.
5.已知集合M ={1, 2,3}
−
，N ={−
，若从这两个集合中各取一个元素作为点的
横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A. 18 B. 16 C. 14 D. 10
解：分两类情况讨论：
第一类，从M中取的元素作为横坐标，从N中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点
共有3×2=6 (个)；
第二类，从M中取的元素作为纵坐标，从N中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点
共有2×4=8 (个)，由分类加法计数原理，所以所求个数为6+8=14.故选：C.
6.在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有0 和1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字
相同的信息个数为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 7
解：与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
①与信息0110 只有两个对应位置上的数字相同，有C4
2=6（个）；
②与信息0110 只有一个对应位置上的数字相同，有C4
1=4（个）；
③与信息0110 对应位置上的数字均不相同，有1 个．
综上，与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6+4+1=11（个）．故选：
B.
7.从数字1，2，3，4 中取出3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，
则这样的三位数的个数为（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 13
解：其中各位数字之和等于6 的三位数可分为以下情形：
①由1，1，4 三个数字组成的三位数：114，141，411 共3 个；
②由1，2，3 三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321 共6 个；
③由2，2，2 三个数字可以组成1 个三位数，即222．
∴共有3+6+1=10 个，故选：C．
4
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11.1.2 分步乘法计数原理
知识点梳理
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有m1种不同的方法，
做第2 步有m2种不同的方法，…，做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N=m1·m2·…·mn种不同的方法.
典型例题
例1.从0，2 中选一个数字，从1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶
数的个数为（）
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
解：
根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2 中选一个数字为个位
数，有2
种可能，从1，3，5
中选两个数字为十位数和百位数，有A3
2=3×2=6 种可
能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2×6=12.故选：C.
例2.某大学食堂备有6 种素菜、5 种荤菜、3 种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以
配成不同套餐的种数为（）
A. 30 B. 14 C. 33 D. 90
解：因为备有6 种素菜，5 种荤菜，3 种汤，所以素菜有6 种选法，荤菜有5 种选法，汤菜
有3 种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有6×5×3=90
种，故选：D.
例3.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方
法有（ ）
A. 10 种 B. 20 种 C. 25 种 D. 32 种
解：由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为2
5=32. 故选：D.
5
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随堂演练
1.为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门
活动课程，甲、乙、丙3 名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3 名学生所选活动
课程不全相同的选法有（ ）
A. 120 种 B. 150
种 C. 210 种 D. 216 种
解：依题意，每名同学都有6 种选择方法，所以这3 名学生所选活动课程不全相同的选法
有6
3
6=210
−
种.故选：C.
2.核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体. 参与形成RNA
的碱基有4 种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出
现，假设某一RNA分子由100 个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A.100
4 B.4
100 C.2
100 D.4
10
解：每个碱基有4 种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为4
100.
故A，C，D 错误.故选：B.
3. 在平面直角坐标系xOy上，平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线
y=n(n=0,1,2,…,5)组
成的图形中，矩形共有（ ）
A. 25 个 B. 36 个 C. 100 个 D. 225 个
解：要构成矩形，从x=n(n=0,1,2,3,4,5)中选两条直线作为两边，共有C6
2=15种选
法；同理从y=n(n=0,1,2,3,4,5)中选两条直线作为两边也有15种选法. 共有
15×15=225种选法，即矩形共有225个. 故选：D.
4.从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=a x
2+ bx+c的系数，可组成不同
的一次函数共有 个，不同的二次函数共有 个.(用数字作答)
解：因为只有当a =0且b≠0时，函数f(x)=a x
2+ bx+c才是一次函数，所以可组成不同
的一次函数共有1×3×2=6；因为只有当a≠0时，函数f(x)=a x
2+ bx+c才是二次函
数，所以可组成不同的二次函数共有3×3×2=18，故答案为：6 ;18.
5.某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4 门校本劳动
选修课程，要求每个学生从中任选2 门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程
相同的选法为（ ）
A．16
B．24
C．12
D．36
6
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解：甲先从4 门课程选择1 门，有4 种选法，乙再从剩下的3 门中选择1 门，有3 种选法，
甲乙再从剩下的2 门中共同选择1 门，有2 种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲､乙
两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为4×3×2=24 种.故选：B.
6.“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回
文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n 为自然数，且n 的各
位数字反向排列所得自然数
与n 相等，这样的n 称为“回文数”，如：1221，2413142．
则所有5 位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ）
A．648 个
B．720 个
C．810 个
D．891 个
解：根据“回文数”的特点，只需确定前3 位即可，最高位即万位有9 种排法，千位和百
位各有10 种排法，根据分步乘法计数原理，共有9×10×10=900 种排法，其中各位数字相同
的共有9 种，则所有5 位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900-9=89 种.故选：
D.
7.将6 封信投入4 个邮筒，且6 封信全部投完，不同的投法有（ ）
A．46种
B．64种
C．4 种
D．24 种
解：将6 封信投入4 个邮筒，且6 封信全部投完，根据乘法原理共有4×4×4×4×4×4=46种.故
选：A.
8.圆周上有2n个等分点(n>1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
解：由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，因为圆周上有 2n 个
等分，所以共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，
所以可做 (2n
2
−)个直角三角形. 根据分步计数原理知，共有n(2n
2)=2
−
n(n
1)
−
个故
答案为：2n(n
1)
−
.
7
