第二章函数
§2.11 函数的零点与方程的解
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
函数的零点与方程的解
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ
卷
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2024·天津卷
2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷
2022·天津卷、2022·北京卷
2021·北京卷、2021·天津卷
掌握函数零点的定
义，会用零点存在定理判
断零点所在区间，会求解
零点相关问题，也是高考
命题的高频考点。
【知识梳理】
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使f ( x ) ＝
0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴
有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f ( a ) f ( b )<0
,
那么,函数y＝f(x)在区间( a , b ) 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f ( c ) ＝
0 ,
这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f ( a ) f ( b )<0
的函数y＝f(x),通过不断地把它
的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点
近似值的方法叫做二分法.
【名师点拨】
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的
零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0 的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出
f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0 是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分
不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x 的零点为0.( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D 内有零点，则f(a)·f(b)<0.(
)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0 时没有零点.( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√
【解析】(2)f(a)·f(b)＜0 是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，
故(2)错误.
2.下列函数图象与x 轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
【答案】C
【解析】根据函数零点存在定理可知,函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线,若在区间
[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上存在零点；根据二分法概念可知,C 选项
中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)<0,所以C 选项不能用二分法求图中函数零点.
3.函数f(x)＝ln x－1
x 的零点所在的大致区间是( )
A.(
1
e ,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(2,3)
【答案】B
【解析】f(x)＝ln x－1
x 的定义域为(0,＋∞),
又y＝ln x 与y＝－1
x 在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)＝ln x－1
x 在(0,＋∞)上单调递增,
又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln 2－1
2>0,
所以f(1)f(2)<0,
根据函数零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－1
x 的零点所在的大致区间为(1,2).
4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024 的所有零点之和为 .
【答案】2
【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示,
根据图象可知y＝f(x)－2 024 共有2 个零点,且2 个零点关于直线x＝1 对称,
所以零点之和为2.
【解题技巧】
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不
是一个“点”,而是方程f(x)＝0 的实数解.
(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不
一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论.
【必练核心题型】
题型一 函数零点所在区间的判定
例1.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区
间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【答案】C
【解析】由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知
g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3>0,所以g(x)的零
点所在区间为(2,3).
例2.在用二分法求方程x2＝3 的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的
初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是 .
【答案】7
【解析】设至少需要计算n 次,则n 满足1.8−1.7
2
n
<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,
故要达到精确度要求至少需要计算7 次.
【解题技巧】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是
否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练】
变式1.函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【答案】B
【解析】函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的定义域为[0,＋∞),
函数y＝x
1
2在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋∞)上单调递减,
所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
由f(1)＝1－1
2－1＝－1
2<0,f(2)＝
❑√2－1
4 －1＝❑√2－1.25>0,
所以函数f(x)＝x
1
2－2－x－1 的零点所在的区间是(1,2).
变式2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2 的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次
计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步
的说法正确的是( )
A.已经达到精确度的要求,可以取1.1 作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.125 作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5)
【答案】C
【解析】由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),
因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f(
1.125＋1.25
2
)
＝f(1.187 5)的值.
题型二 函数零点个数的判定
例1.函数f(x)＝{
x
2−1, x ≤0,
x−2＋ln x , x>0的零点个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】当x≤0 时,x2－1＝0,解得x＝－1；
当x>0 时,f(x)＝x－2＋ln x 在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0,
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0,
即f(1)f(2)<0,
所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点,
综上,函数f(x)的零点个数为2.
例2.函数f(x)＝sin π x
2 －|log3x|的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】函数f(x)＝sin π x
2 －|log3x|的零点个数,即函数g(x)＝sin π x
2 ,x>0 与h(x)＝|log3x|
的交点个数,
在同一个坐标平面内画出两个函数的图象,如图所示,则两个图象交点的个数为2,即f(x)
的零点个数为2.
【解题技巧】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的
零点个数.
【变式训练】
变式1.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1 的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】函数f(x)＝3x|log2x|－1 的零点,
即3x|log2x|－1＝0 的解,即|log2x|＝(
1
3)
x
的解,
即y＝|log2x|与y＝(
1
3)
x
图象的交点,如图所示,
从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝(
1
3)
x
有2 个交点,即函数f(x)的零点个数为2.
变式2.函数f(x)＝❑√36−x
2·cos x 的零点个数为 .
【答案】6
【解析】令36－x2≥0,解得－6≤x≤6,
所以f(x)的定义域为[－6,6].
令f(x)＝0 得36－x2＝0 或cos x＝0,
由36－x2＝0 得x＝±6,
由cos x＝0 得x＝π
2 ＋kπ,k∈Z,
又x∈[－6,6],所以x 的取值为－3 π
2 ,－π
2 , π
2 , 3 π
2 .
故f(x)共有6 个零点.
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例1.已知函数f(x)＝{
2
−x＋1, x ≤0,
ln 1
x , x>0, g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2 个零点,则实数a
的取值范围是( )
A.[－1,0)
B.[1,＋∞)
C.(－∞,1]
D.[2,＋∞)
【答案】D
【解析】由函数f(x)＝{
2
−x＋1, x ≤0,
ln 1
x , x>0,
因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a,
由函数g(x)有2 个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a 的图象有两个交点,
在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示,
结合函数的图象,要使函数g(x)有2 个零点,则a≥2,
所以实数a 的取值范围为[2,＋∞).
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例2.已知函数f(x)＝3x－1＋ax
x
.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a 的取值
范围是( )
A.(−∞, 4
3)
B.(0, 4
3)
C.(－∞,0)
D.(
4
3 ,＋∞)
【答案】B
【解析】由f(x)＝3x－1＋ax
x
＝0,可得a＝3x－1
x ,
令g(x)＝3x－1
x ,其中x∈(－∞,－1),
由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,
则实数a 的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－1)上的值域.
由于函数y＝3x,y＝－1
x 在区间(－∞,－1)上均单调递增,
所以函数g(x)在(－∞,－1)上单调递增.
当x∈(－∞,－1)时,
g(x)＝3x－1
x <g(－1)＝3－1＋1＝4
3 ,
又当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－1
x >0,
所以函数g(x)在(－∞,－1)上的值域为(0, 4
3).
因此实数a 的取值范围是(0, 4
3).
【解题技巧】
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范
围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数
形结合法求解.
【变式训练】
变式1.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝{
e
x−a, x ≤0,
−ln( x＋1)−a, x>0在R 上没有零点,
则实数a 的取值范围为( )
A.(0,＋∞)
B.(1,＋∞)
C.[1,＋∞)∪{0}
D.(1,＋∞)∪{0}
【答案】D
【解析】当x≤0 时,0<ex≤1,
若关于x 的方程ex＝a 无解,则a≤0 或a>1；
当x>0 时,ln(x＋1)>0,
若关于x 的方程ln(x＋1)＝－a 无解,则a≥0.
综上,a 的取值范围为(1,＋∞)∪{0}.
变式2.(多选)已知函数f(x)＝{
x
2＋2 x−3, x ≤0,
−2＋ln x , x>0, 令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是
( )
A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)
B.当h(x)有3 个零点时,k∈(－4,－3]
C.当k＝－2 时,h(x)的所有零点之和为－1
D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1 个零点
【答案】BD
【解析】函数f(x)＝{
x
2＋2 x−3, x ≤0,
−2＋ln x , x>0,
结合二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(0,＋∞),A 选项错误；
h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k 交点的横坐标,由图象可知,当h(x)有3 个零
点时,k∈(－4,－3],B 选项正确；
解方程可知,当k＝－2 时,h(x)有两个零点,－1－❑√2和1,所有零点之和为－❑√2,C 选项错
误；
当k∈(－∞,－4)时,函数y＝f(x)的图象和直线y＝k 有1 个交点,即h(x)有1 个零点,D 选项
正确.
