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2.2 函数的单调性
最值
与
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
2.2 函数的单调性与最值..........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的单调性.....................................................2
考点2：函数的最值.......................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 确定函数的单调性..................................................4
命题点1 求具体函数的单调区间........................................4
命题点2 判断或证明函数的单调性......................................4
题型二 函数单调性的应用..................................................5
命题点1 比较函数值的大小............................................5
命题点2 求函数的最值................................................5
命题点3 解不等式....................................................5
命题点4 求参数的取值范围............................................6
三、课堂总结：知识图谱......................................................7
四、分层训练：课堂知识巩固..................................................8
1
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、
一
主干知识
考点1：函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，
x2∈D
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)
在区间D 上单调递增
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，
那么就称函数f(x)在区间D
上单调递减
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．
考点2：函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈I，
都有f ( x )≤
M
；
(2)∃x0∈I，
使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈I，
都有f ( x )≥
M
；
(2)∃x0∈I，
使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 为最大值
M 为最小值
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点
的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求2x+
的最小值，有2x+
≥2
＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小
2
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值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【常用结论归纳】
1．∀x1，x2∈D 且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D 上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0 或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性
相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
3
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、分
二
类题型
题型一确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
【例题精析1】
（2023·全国·高三专题练习）函数
的单调递减区间为__________．
【例题精析2】
（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=lg(-
)的单调增区间____________.
命题点2 判断或证明函数的单调性
【例题精析3】
已知函数
．
（）判断并证明函数
在
的单调性．
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
4
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【对点精练1】
下列函数中，定义域为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练2】
（2022·上海·高一专题练习）函数
的单调递增区间为___________．
题型二函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
【例题精析4】
（2023·安徽黄山·统考二模）已知
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
命题点2 求函数的最值
【例题精析5】
已知函数
，
，则
的最小值是_______，最大值是________.
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用
数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
5
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命题点3 解不等式
【例题精析6】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，且
，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
命题点4 求参数的取值范围
【例题精析7】
函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))
或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
【对点精练3】
（2023·福建·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练4】
（2023·全国·模拟预测）若实数
，
，
，且满足
，
，
，
则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【对点精练5】
已知函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练6】
已知函数
，若
在
上单调递增，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
、
总结
三
课堂
：知识图谱
7
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、分
四
层训练：课堂知识巩固
1．（2022•武昌区模拟）下列函数中，定义域是
且为增函数的是
A．
B．
C．
D．
2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为
A．
B．
C．
D．
3．（2021•锡林郭勒盟二模）已知函数
在
，
上单调递减，则
的取值范围
是
A．
，
B．
C．
，
D．
，
4．（2023•重庆模拟）函数
的单调减区间为
，
．
5．（2023•泸县校级模拟）函数
满足：①定义域为
，②
，③
．请
8
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写出满足上述条件的一个函数
，
．
6．（2022•鼓楼区校级模拟）若函数
对于
上的任意
都有
，
则实数
的取值范围是 ．
7．（2021•新高考Ⅰ）函数
的最小值为 ．
8．（2021•中卫三模）已知函数
在
上存在最小值，则
的取值范围是 ．
9．（2021•浦东新区三模）函数
的单调递减区间为 ．
10．（2022•河南模拟）已知函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值；
（Ⅱ）若对
，
，关于
的不等式
恒成立，当
时，求
的取值范围．
1．（2023•吴忠模拟）
的最大值与最小值之差为
A．
B．
C．
D．0
2．（2022•包头一模）设函数
，则满足
的
的取值范围是
A．
，
B．
C．
，
D．
3．（2019•洛阳一模）已知
是
上的增函数，那么实数
的取值范围是
9
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A．
B．
C．
D．
4．（2019•临渭区模拟）函数
，当
，
时，有
恒成立，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
，
D．
，
5．（2020•丰台区一模）若
，则函数
的最小值为 ，此时
．
6．（2018 秋•南岗区校级期中）函数
的单调递减区间是
1．（2021•柳南区校级模拟）设
．其中
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
2．（2015•长春四模）已知函数
，若
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
3．（2019•青羊区校级模拟）设函数
的定义域为
，若存在非零实数使得对于任意
，
有
，且
，则称
为
上的高调函数．如果定义域为
的函数
是奇函数，
当
时，
，且
为
上的4 高调函数，那么实数
的取值范围是 ．
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