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2.2 函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
2.2 函数的单调性与最值..........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：函数的单调性.....................................................2
考点2：函数的最值.......................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 确定函数的单调性..................................................4
命题点1 求具体函数的单调区间........................................4
命题点2 判断或证明函数的单调性......................................4
题型二 函数单调性的应用..................................................5
命题点1 比较函数值的大小............................................5
命题点2 求函数的最值................................................6
命题点3 解不等式....................................................7
命题点4 求参数的取值范围............................................7
三、课堂总结：知识图谱.....................................................10
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................11
1
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一、主干知识
考点1：函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，
x2∈D
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)
在区间D 上单调递增
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，
那么就称函数f(x)在区间D
上单调递减
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．
考点2：函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈I，
都有f ( x )≤
M
；
(2)∃x0∈I，
使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈I，
都有f ( x )≥
M
；
(2)∃x0∈I，
使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 为最大值
M 为最小值
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点
的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求2x+
的最小值，有2x+
≥2
＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小
2
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值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【常用结论】
1．∀x1，x2∈D 且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D 上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0 或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性
相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
3
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二、分类题型
题型一 确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
【例题精析1】
（2023·全国·高三专题练习）函数
的单调递减区间为__________．
【解答】当
时，
，则其在
上递减，当
时，
，则
，当
时，
，所以
在
上递减，
综上，
的单调递减区间为
，故答案为：
【例题精析2】
（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=lg(-
)的单调增区间____________.
【解答】令t=-
＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为{x|0＜x＜2}，
根据y=g（t）=lgt，本题即求函数t 在定义域内的增区间，
再利用二次函数的性质求得函数t 在定义域内的增区间为
，故答案为：
．
命题点2 判断或证明函数的单调性
【例题精析3】
已知函数
．
（）判断并证明函数
在
的单调性．
4
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【解答】（1）函数
在
上单调递增.证明如下：
任取
，
且
，
因为
，
则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
所以函数
在
上单调递增；
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【对点精练1】
下列函数中，定义域为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】A 选项，
的定义域为
，故排除A.B 选项，
的定义域为
，故排除B.C
选项，
的定义域为
，在
上有增有减，故排除C.
D 选项，
的定义域为
，令
，在
上单调递增，
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.故选：D
【对点精练2】
（2022·上海·高一专题练习）函数
的单调递增区间为___________．
5
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【解答】因为
，所以
所以函数
的定义域为
，
设
，所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，
而
在
单调递增，由复合函数的单调性可知，函数
的单调增区间为
.故
填：
．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
【例题精析4】
（2023·安徽黄山·统考二模）已知
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，又
，即
，
，
，
，故选：A.
命题点2 求函数的最值
【例题精析5】
（2022·浙江·高三专题练习）已知函数
，
，则
的最小值是
_______，最大值是________.
【解答】首先画出函数的图象，根据图象可知当
时，函数取得最小值，当
时，函数取得最大值
6
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.
故答案为：；
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用
数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
命题点3 解不等式
【例题精析6】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，且
，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：令
，则
，
因为
，
，
∴
为奇函数，
又因为
，由复合函数单调性知
为
的增函数，
7
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∵
，则
，
∴
，
，
∴
，解得
或
，故
故选：D.
命题点4 求参数的取值范围
【例题精析7】
函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
，故
在
上单调递减，
由题意得
解得
，故选：B
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))
或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
【对点精练3】
（2023·福建·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【解答】令
，则
，
令
，则
恒成立，
所以
，即
在R 上单调递增.
又
，
所以，当
时，
恒成立，
所以，
在
上单调递减.
又
，
，所以
，
即，
，即
，即
，所以
.
令
，则
，
令
，则
在
恒成立.
所以，
，即
在R 上单调递增.
又
，
所以，当
时，有
成立，
所以，
在
上单调递减.
又
，
因为
，所以，
，
所以，
，
9
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又
，
所以，
，
所以，
，即
.
综上可得，
.
故选：A.
【对点精练4】
（2023·全国·模拟预测）若实数
，
，
，且满足
，
，
，
则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由
，
，
，得
，
，
，
令
，则
，当
时
，当
时
，
所以
在
上是增函数，在
上是减函数，于是
，
即
，又
，
，
，所以
.
故选：C.
【对点精练5】
已知函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
是增函数，又
，
，
即
是
的中心对称点，
，
条件
，即
，并且，
；
对于A，若
，则
，错误；
对于B，因为函数
是增函数，
，正确；
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对于C，若
，则
，错误；
对于D，若
，则有
，错误；
故选：B.
【对点精练6】
已知函数
，若
在
上单调递增，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】
在
上单调递增；
∴
，解得
；所以实数a 的取值范围为
．故选：A．
三、课堂总结：知识图谱
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四、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•武昌区模拟）下列函数中，定义域是
且为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，函数
的定义域是
，且
，
是
上的增函数，满足题
意；
对于
，函数
是
上的减函数，
不满足题意；
对于
，函数
的定义域是
，
不满足题意；
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对于
，函数
在定义域
上不是单调函数，
不满足题意．故选：
．
2．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由一次函数性质可知
在
上是减函数，不符合题意；
由指数函数性质可知
在
上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知
在
上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知
在
上单调递增，符合题意．
故选：
．
3．（2021•锡林郭勒盟二模）已知函数
在
，
上单调递减，则
的取值范围
是
A．
，
B．
C．
，
D．
，
【解答】解：
函数
在
，
上单调递减，
在
，
上单调递减，且大于零，故有
，
求得
，
故选：
．
4．（2023•重庆模拟）函数
的单调减区间为
，
．
【解答】解：由
，得
或
，
为增函数，
在区间
，
上是减函数，
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由复合函数的单调性得：函数
的单调减区间为
，
，
故答案为：
，
．
5．（2023•泸县校级模拟）函数
满足：①定义域为
，②
，③
．请
写出满足上述条件的一个函数
，
．
【解答】解：因为函数
满足：①定义域为
，②
，③
，
所以函数
是定义在实数集上的奇函数，且在
上为增函数，
比如，
．
故答案为：
．（答案不唯一）
6．（2022•鼓楼区校级模拟）若函数
对于
上的任意
都有
，
则实数
的取值范围是
，
．
【解答】解：
对于
上的任意
都有
，
则函数
单调递增，
函数
，
，
14
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即
，
，
故答案为：
，
．
7．（2021•新高考Ⅰ）函数
的最小值为
1
．
【解答】解：法一、函数
的定义域为
．
当
时，
，
此时函数
在
，
上为减函数，
当
时，
，
则
，
当
，
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
在
上是连续函数，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增．
当
时
取得最小值为
（1）
．
故答案为：1．
法二、令
，
，
分别作出两函数的图象如图：
15
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由图可知，
（1）
，
则数
的最小值为1．
故答案为：1．
8．（2021•中卫三模）已知函数
在
上存在最小值，则
的取值范围是
，
．
【解答】解：当
时，
，
即有
时，取得最小值
，
当
时，
递增，
可得
，
由题意可得
，
解得
，
故答案为：
，
．
9．（2021•浦东新区三模）函数
的单调递减区间为
，
．
【解答】解：由题意，函数的定义域为
，
，
16
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令
，则
在
，
上单调递增
，在
，
上单调递减，在
，
上单调递增
函数
的单调递减区间为
，
，
故答案为：
，
．
10．（2022•河南模拟）已知函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值；
（Ⅱ）若对
，
，关于
的不等式
恒成立，当
时，求
的取值范围．
【解答】解：
当
时，
，
时，函数
取得最大值4．
，
，
当
时
，
，当且仅当
，
时取等号．
对
，
，当
时，关于
的不等式
恒成立，
，
由
，当且仅当
时取等号．
17
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解得
，
的取值范围是
，
．
1．（2023•吴忠模拟）
的最大值与最小值之差为
A．
B．
C．
D．0
【解答】解：因为函数
，
设
，则
为奇函数，其最大值与最小值是互为相反数，
所以
的最大值与最小值的差为
，
当
时，
，则
，令
，解得
，
所以
时，
，函数
单调递增；
时，
，函数
单调递减；
所以
的极大值，也是最大值，为
（1）
，
所以
的最大值与最小值之差为
．
故选：
．
18
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2．（2022•包头一模）设函数
，则满足
的
的取值范围是
A．
，
B．
C．
，
D．
【解答】解：当
时不等式
即为
，无解；
当
时，不等式
即为
，解得
；
当
时，不等式
即为
，解得
．
综上不等式
的解集为
．
故选：
．
3．（2019•洛阳一模）已知
是
上的增函数，那么实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意得：
，解得：
，
故选：
．
4．（2019•临渭区模拟）函数
，当
，
时，有
恒成立，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
，
D．
，
【解答】解：因为
，当
，
所以
，令
得
，
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因为该函数在闭区间
，
上连续可导，且极值点处的导数为零，
所以最小值一定在端点处或极值点处取得，
而
，
，
，
（3）
，
所以该函数的最小值为
，
因为
恒成立，
只需
，
即
，即
解得
．
故选：
．
5．（2020•丰台区一模）若
，则函数
的最小值为
3
，此时
．
【解答】解：令
，
，
则原函数化为：
，
，
，
易知
时，
，函数递减；
时，
，函数递增．
所以
时，
，此时
，故
．
故答案为：3，2．
6．（2018 秋•南岗区校级期中）函数
的单调递减区间是
．
【解答】解：
即
或
函数
的定义域为
，
，
在定义域内函数
的增区间是
20
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欲求函数
的单调递减区间就是在定义域内函数
的增区间
函数
的单调递减区间为
故答案为：
1．（2021•柳南区校级模拟）设
．其中
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得
，
，
由
表示两点
与点
，
的距离，
而
在抛物线
上，抛物线的焦点
，准线为
，
则
表示
与
的距离和
与准线的距离的和再加上1，
由抛物线的定义可得
表示
与
的距离和
与
的距离的和再加上1，
由图象可得当
，
，
三点共线，且
为曲线
的法线，
取得最小值，
即
为切点，设为
，
由
，可得
，
设
，则
递增，且
，
可得切点
，
21
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即有
，
则
的最小值为
．
故选：
．
2．（2015•长春四模）已知函数
，若
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
（当且仅当
，即
时等号取
到）
故选：
．
3．（2019•青羊区校级模拟）设函数
的定义域为
，若存在非零实数使得对于任意
，
有
，且
，则称
为
上的高调函数．如果定义域为
的函数
是奇函数，
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当
时，
，且
为
上的4 高调函数，那么实数
的取值范围是
．
【解答】解：根据题意，当
时，
，
则当
时，
，
时，
，
由奇函数对称性，有则当
时，
，
时，
，
图象如图：易得其图象与
轴交点为
，
，
，
因此
在
，
是减函数，其余区间是增函数．
为
上的4 高调函数，则对任意
，有
，
故当
时，
，为保证
，必有
；即
；
有
且
可得
；
解可得：
；
故答案为
．
23
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