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第 02 讲 等差数列及其前 n 项和 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·广西·模拟预测（文））已知数列 满足 ，其中 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【详解】由 ，得 是等差数列， .
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、
雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之
和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（
）．
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
【答案】B
【详解】由题意知：
从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列 ，设公差为 ，
冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，
，解得 ， ，
芒种日影长为 （寸） 尺5寸．
故选：B
3．（2022·新疆·三模（理））设 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】由已知可得， ，解可得 ，
故选：C.
4．（2022·广西·模拟预测（理））在前 项和为 的等差数列 中，若 ，则 （ ）A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】B
【详解】因为
所以 ，
所以 .
故选：B
5．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年
英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西
森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，
“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能
被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为（ ）
A．58 B．57 C．56 D．55
【答案】A
【详解】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，
所以 ， ， ，即 是以1为首项，35为公差的等差数列.
即
由题意知 且 ，得 ，
解得 ， ，所以此数列的项数为58项.
故选:A.
6．（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且
，则 （ ）
A．0 B．1 C．2022 D．2023
【答案】A
【详解】设等差数列的公差为 ，则 ， ；
因为 ，所以 是等差数列；
因为 ，所以 ，
所以 ；
故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨
8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离
始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在 点处里程碑上刻着“〣〤”，在 点处里程碑上刻
着“〩〢”，则从 点到 点的所有里程碑上所刻数字之和为（ ）
A．1560 B．1890 C．1925 D．1340
【答案】B
【详解】根据题意知， 点处里程碑上刻着数字34， 点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等
差数列，公差为2，因此从 点到 点的所有里程碑个数为 ，从 点到 点的所有里程
碑上所刻数字之和为 ，
故选：B．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 的前n项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，若
，则公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得 ，即 ，解得 ，
故选：A．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前n项和，公差为d，若 ，则以下
结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 取得最大值时，
【答案】AB
【详解】由 ，得 即 ，
又 ，所以 ，选项A正确；
由 ； ，得 ，选项B正确；
由 ，得 ，又 ，所以 ，选项C错误；，令 ，得 ，
解得 ，又 ，所以 ，
即数列 满足：
当 时， ，
当 时， ，所以 取得最大值时， ，选项D错误．
故选：AB．
10．（2022·海南·高二期末）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，且 ，则（ ）
A． B． 最大 C． D．
【答案】AD
【详解】设 的公差为d．由 ，可得 ．
因为 ，所以 ，所以 是递减数列． ，A正确；
，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，所以 最大，B错误；
因为 ， ，所以 ，C错误；
，D正确．
故选：AD
三、填空题
11．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
___________.
【答案】
【详解】设等差数列 的公差为 ，
，则 ，
所以，数列 为等差数列，且公差为 ，
所以， ，
故 ，所以， .
故答案为： .12．（2022·上海市第三女子中学高二期末）数列 是公差d＝1的等差数列，如果
，则 ______．
【答案】20
【详解】因为 是公差为1的等差数列，故：
，
故 ，
故答案为：20.
四、解答题
13．（2022·四川成都·高一期中（理））已知各项均为正数的等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，
且满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明数列 是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：设各项均为正数的等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ； 即 .
(2)解：由（1）知 ，所以 ，
因为 ，
又因为
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
14．（2022·全国·高二课时练习） 为等差数列 的前 项和，已知 ， .（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） ， 时， 的最小值为 .
【详解】（1）设 的公差为 ，
由 ， ，
即 ，解得 ，
所以 .
（2） ，
，
所以当 时， 的最小值为 .
B 能力提升
15．（2022·陕西汉中·高一期末）记Sn是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ，且 ， ，
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求使 成立的n的最小值.
【答案】(1) (2)7
(1)设等差数列 的公差为d，则
∵ 成等比数列，
∴ ，即 ，即
又
∴
∴
∴数列 的通项公式为
(2)
则不等式 ，即
整理可得 ，解得 或 ，又n为正整数，故n的最小值为7.
16．（2022·北京·昌平一中高二期中）已知数列 是等比数列， ，
(1)求 的通项公式；
(2)若等差数列 满足 ， ，求 的前 项和 ，及 的最小值
【答案】(1)
(2) ， 的最小值为
(1)设等比数列 的公比为 ，则 ，解得： ， .
(2)由（1）得： ， ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，解得： ，
，
；
又 ， 当 时， 取得最小值，最小值 .
