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疑难压轴1 抽象函数的综合性质研究问题（小题狂练）
一．单选题.
【2024 安徽合肥一模】
1．已知函数
的定义域为
，且
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
满足的表达式以及
，利用赋值法即可计算出
的大小.
【详解】由
可得，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
；
由
可得
，
显然可得
.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变
量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
【2025 江西一模】
2．已知可导函数
的定义域为
，
是
的导函数，且
为偶函数
为奇函数，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，由函数奇偶性的定义得出
，
求导得出
，进而可推出函数
是周期为
的周期函数，以及函数
的对称中心为
，求出
、
的值，结合函数周期性可求得
的值.
【详解】因为函数
为奇函数，则
，
即
，令
，则
，
所以，函数
的对称中心为
，且
，①
在等式①中，令
可得
，解得
，
在等式①中，令
可得
,
因为函数
为偶函数，则
，
令
，可得
，求导得
，
则
，②
由①②可得
，令
，则
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，
所以，
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数
的图象关于直线
和
对称，则函数
的周期为
；
（2）若函数
的图象关于点
和点
对称，则函数
的周期为
；
（3）若函数
的图象关于直线
和点
对称，则函数
的周期为
.
3．已知函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】利用赋值法和函数的奇偶性判断A；利用奇偶性与单调性解不等式判断B；根据
条件代入计算判断C、D;
【详解】已知
，
令
，则有
，所以
；
令
，所以
；
令
，得
，A 错误．
任取
，则
，所以
，
则
，故
在
上单调递减．
由A 知，
为偶函数，又
，可得
，故
，
且
，解得
，且
，B 错误．
若
，则
，C 正确．
若
，则
，
所以
，故D 错误．
故选：C．
4．已知定义在
上的函数
满足
，对任意
，有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由赋值法可令
，求得
，再令
，求得
的解析式，运用数列
的裂项相消法求和，计算可得所求和.
【详解】在
中，令
，得
；
令
，得
，所以
．
所以
，
所以
.
故选：A．
【2025 安徽模拟预测】
5．已知可导函数
的定义域为
，且有
，设
是
的导
函数，若
为偶函数，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4052
【答案】D
【分析】首先，通过已知条件
，可以分析出函数
的对称轴，进
而得到其导函数
的对称中心.再根据
为偶函数，确定
的具体对称中心，周
期，然后利用周期性和对称中心的性质来计算即可.
【详解】∵
，
∴两边求导得
，
∴
，可知
关于点
对称，
又∵
为偶函数，可知
关于直线
对称，
则
，即
，
由
，可得
，
因此
，可得
，
即
，可知4 为
的周期，
因此，当
，
时，
，
当
，
时，
，
∵
，∴
，
∴
，
，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性.
【2025 上辽宁葫芦岛期末】
6．已知函数
的定义域为
，
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】B
【分析】利用题中函数的对称性推导出
，
，结合
函数的对称性逐项推导，可得出合适的选项.
【详解】因为函数
的定义域为
，
，函数
是奇函数，
则对任意的
，
，可得
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，则
的值不确定，C 错；
因为函数
的图象关于直线
对称，
令
，所以，
，
即对任意的
，
，即
，
所以，函数
为奇函数，即函数
的图象关于点
对称，B 对；
因为
，而
不一定等于零，故函数
不一定是偶函数，A 错；
因为函数
的图象关于直线
对称，则
，
因为函数
的图象关于点
对称，则
，
所以，
，则
，
故
，D 错.
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：
①函数
的图象关于点
对称，则
；
②函数
的图象关于直线
对称，则
.
【2024 福建南平阶段检测】
7．已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到
，从而得到
，
，然后根据条件得到
的值，再由题意得到
从而得到
的值即可求解.
【详解】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
所以
.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰
当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
【2025 陕西西安模拟预测】
8．已知定义在
上的函数
在区间
上单调递增，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数性质可确定
关于直线
对称，关于点
对称，从而可确
定其周期性，再结合单调性可得函数
的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性
质、三角函数性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于函数
有，
，则函数
关于直线
对称，
由
，则函数
关于点
对称，
所以
，所以得
，
则
，故函数
的周期为
，且
，故函数
为偶函数，
因为函数
在区间
上单调递增，则函数
的大致图象如下图：
由对称性可得
，
所以
，故A 错误；
由于
，
，所以
，故B 错误；
又
，
，所以
，故C 正确；
，且
，
因为
，所以
，故
，
所以
，故D 错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，
解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称
关系.
【2025 上安徽黄山期末】
9．已知函数
（
不恒为零），其中
为
的导函数，对于任意的
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．曲线
关于点
对称
D．
【答案】D
【分析】借助赋值法令
，即可判断A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可判
断B；结合复合函数导数公式与对称性可判断C；借助赋值法，可逐项计算出
到
，即可判断D.
【详解】对A：令
，有
，故
，故A 错误；
对B：令
，有
，又
不恒为零，
故
，即
，又
，故
是奇函数，故B 错误；
对C：令
，
；
令
，
所以
，即
，
因为
不恒为零，所以
，
，
关于直线
对称，所以
关于直线
对称，故C 错误；
对D：由
，故
，
令
，有
，
即
，则
，即
，
，即
，
，即
，
令
，有
，
即
，则
，则
；
，所以
；
，所以
；
故
，故D 正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：D 选项中，关键点在于令
可得
，结合
，可得
为偶数时，
.
【2024 江苏南通阶段检测】
10．已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数
均是周期
为4 的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案
【详解】因为
，
所以
，与
联立可得
，
即
的图象关于直线
对称，
又
为奇函数，则
，
所以
，即
，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
因为
，所以
也是周期为4 的周期函数，
因为
，
，所以
，
即
，从而
为偶函数，故A 错误．
又
为奇函数，则
，即
，
所以
，
故
，故C 错误．
由
，得
，则
不可能为奇函数，故B 错误．
可求
，
所以
，故D 正确．
故选D．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对
称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的
性质，根据函数的性质解决问题．
二．多选题.
11．（多选）函数
的定义域为
，
，若
，则下
列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．函数
是增函数
D．函数
是奇函数
【答案】ABD
【分析】本题根据题干结合选项采用赋值法来解决抽象函数涉及的相关问题.
【详解】令
，
，得
，
因为
，所以
；
令
，
得
，
因为
，所以
，即选项A 正确；
由选项A 知
的图象过点
、
，
令
，则
得，
，
所以
，
因为
，所以选项B 正确；
因为
是减函数，所以选项C 错误；
因为
，所以
为奇函数，即选项D 正确；
故选：ABD．
【2024 湖南长郡十八校联盟第二次联考】
12．已知函数
的定义域均为
，
，且
的图像关于直线
对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
和
均为奇函数
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由
，得
，
又
，
，
的图象关于直线
对称，
，
，
，则
是周期函数，且周期为
，
所以
，故B 正确；
对于A，
的图象关于直线
对称，
是偶函数，
若
为奇函数，则
恒成立，不满足
，故A 错误；
对于C，由
，得
，
，
因为
，则
，
所以
是周期函数，且周期为
，则
，故C 正确；
对于D，由
，得
，
又
，
由
，得
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数
关于直线
轴对称，则
，若函数
关
于点
中心对称，则
，反之也成立；
（2）关于周期：若
，或
，或
，可知函数
的周期为
.
【2025 河南信阳二模】
13．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，
则下列错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】应用赋值法构造出
的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】依题意，
，
，
取
，得
，
取
，得
，则
，
当
时，
，则当
，即
时，
，即
，
取
，得
，解得
，即
；
对于AC，由
，得
，
由
，得
，当且仅当
时等号成立；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，故AC 错误；
对于BD，将
分别取
，可得
，
又
，因此
，
则
，
即
，且
不恒为
，B 错误，D 正确.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即
可求解.
【2024 山东潍坊一模】
14．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，且
，
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
（
）
【答案】ABD
【分析】对于A，对条件
，求导可得；对于B，对条件
，
两边同时除以
可得；对于C，反证法，假设C 正确，求导，结合条件
，
可得
与
矛盾，可判断C；对于D，求出
，
，所以有
，
，
，得出数列
是以0 为首项，
为公差的
等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为
，
所以
，即
，
令
，得
，故A 正确；
因为
，
当
时，
，
所以
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于C，假设
成立，
求导得
，
即
，又
，
所以
，所以
与
矛盾，故C 错误；
对于D，因为
，
，
所以
，
，
，
，
所以有
，
所以数列
的奇数项是以
为首项，
为公差的等差数列，
数列
的偶数项是以
为首项，
为公差的等差数列，
又
，
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，
所以
，故D 正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是
，
的应用，
D 选项关键是推出
是以
为首项，
为公差的等差数列.
【教材溯源题】
15．已知
是定义域为
的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y 均有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的值域为
C．
D．
是奇函数
【答案】AC
【分析】对于A：利用赋值法，令
代入运算即可；对于C：令
，代入运算即可；
对于BD：举反例说明即可.
【详解】对于A， 令
，则
，可得
，
且
不恒为0，所以
，故A 正确；
对于B，例如
，可知
是定义域为
的非常数函数，
且
，
可知
符合题意，但
，故B 错误；
对于C，令
，则
，可得
，
即
，故C 正确；
对于D，例如
，可知
是定义域为
的非常数函数，
且
，
注意到
同号，
可得
，
可知
符合题意，
但
，即
为偶函数，故D 错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于选项BD：举反例，通过函数
和
分析
判断.
【2025 陕西榆林二模】
16．对于
，
满足
，
，且对于任意
，
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】抽象函数，对于ACD 选项采用赋值法求解，B 选项倒序相加即可；
【详解】A 选项：因为
，所以取
得，
，A 选项正确；
B 选项：令
，则
，
两式相加得
，
解得
，B 选项错误；
C 选项：因为
，所以取
得，
，由
，
取
得，
，解得
，
因为
，所以
，
，
，
，
，C
选项正确；
D 选项：因为
，
，且
，
所以
，即
，D 选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可.
【2024 福建厦门二检】
17．设
，
都是定义在
上的奇函数，且
为单调函数，
，若对任意
有
（a 为常数），
，则（ ）
A．
B．
C．
为周期函数
D．
【答案】BC
【分析】对于A，在
中，令
得
，
为单调
函数，所以
；对于B，由
，得
，对于C，设
，则由
，可得
，对于D，由
，得
，
为等差数列，且
，
所以
.
【详解】在
中，令
得
，
所以
，又
为单调函数，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以A 错误；
由
，得
，所以B 正确；
设
，则由
，
可得
，所以
，
所以
，即
为周期函数，所以C 正确；
由
，得
，即
，
所以
为等差数列，且
，即
，
所以
，所以
，
所以D 错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于D 选项，由
，得
，
为等差数列，且
，所以
.
18．已知函数
的定义域为
，且
，
，
则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为周期函数，且4 为
的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令
中
，即可得出答案；
对于选项B：令
中
，得出
，根据已知得出其
定义域关于
轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令
中
，得出
，即可根据周期定
义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A 选项：令
，得
，故A 正确.
B 选项：令
，则
，因此
，
又
的定义域为
，关于
轴对称，所以
为奇函数，故B 错误.
C 选项：令
，则
，
所以
，因此
，
所以
为周期函数，且周期为4，故C 正确.
D 选项：
，故D 正确.
故选：ACD.
【2025 云南昭通一模】
19．函数
的定义域为
，
在区间
上单调递增，且满足
，函数
为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调
性可得A 错误；由对称性和单调性可得B 正确；由对称性和对数函数的运算可得C 错误；
由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D 正确；
【详解】
为奇函数，则
关于点
中心对称，则
，
又因为
，令
则
，则
故
则
关于直线
轴对称.
又因为
，
故
，则
的周期为8.
对于A：则
，又因为
在区间
上单调递增，则
故A 错误；
对于B：
关于点
中心对称，则
，而
在
上也单调递
增，故
，则
，故B 正确；
对于C：
在
上也单调递增，
故C 错误；
对于D：
则
而
在
上也单调递增，则
，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心.
三．填空题.
【2025 上安徽安庆阶段练习】
20．已知函数
是定义域为
的奇函数，满足
，若
，
则
．
【答案】0
【分析】根据奇函数可得
且
，再结合
可得函数
是周期为
的周期函数，结合周期性即可得解.
【详解】因为
是定义域为
的奇函数，则
且
，
又因为
，
则
，
可得
，
可知函数
的一个周期为
，
由
可得
，
则
，即
，
所以
.
故答案为：0.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对
称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的
性质，根据函数的性质解决问题．
【2025 上广东汕头期中】
21．已知定义在R 上的函数
满足：
，则
= ；若
，对任意的
都有
则不等式
的解集为 .
【答案】 1
【分析】利用赋值法即可求解
；由
构造函数
，且
在
上单调递减，利用函数的单调性解不等式
即可.
【详解】由
，令
，得
，解得
；
设
，则
，
由
，得
，即
，
设
（
），则
在
上单调递减.
由
，得
，即
.
所以
，解得
，
即不等式
的解集为
.
故答案为：1；
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据
构造函数
，且
在
上单调递减.
【2025 上贵州遵义期末】
22．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】借助赋值法可得
，结合偶函数定义可得该函数为偶函数，借助函数单
调性定义可得
单调性，结合偶函数性质与函数单调性即可得解.
【详解】令
，则
，即
，
令
，则
，则
，
令
，则
，
又
定义域为
，故
为偶函数，
设对任意
，且
，则
，则
，
故
，即
，
故
在
上单调递增，
，
即
，则有
，
解得
且
，故其解集
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数单调性、奇偶性定义得到该函数的单调性
与奇偶性.
【2025 上福建福州期中】
23．已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，
为偶函数，且
，
则
.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性得到
的相关式子，从而变形分析得
是周期函数，
再利用赋值法依次求得所需函数值，从而利用
的周期性即可得解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
即
，所以
，
因为
为偶函数，所以
，
所以
，即
，
所以
，
则
是周期为
的周期函数，
因为
，即
，
则
，
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
则
.
故答案为：
.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若
，则函数
关于
中心对称；
（2）若
，则函数
关于
对称；
（3）若
，则函数
的周期为2a；
（4）若
，则函数
的周期为2a.
【2025 上山东青岛阶段练习】
24．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是奇函数，
，且对任意
，
，则
．
【答案】
【分析】根据函数满足的表达式以及奇偶性利用赋值法可求得
，且函数
和
的周期都为3，代入计算即可得出结果.
【详解】令
，可知
，
又因为
，可得
，所以
；
令
，可得
，
所以
，
因为
是奇函数，可知
为偶函数，
因此
；
由
两式相减可得
；
即
，
可得
；
所以
，即函数
的周期为3，所以
的周期也为3；
可得
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给条件由赋值法并结合函数奇偶性以及导函数
性质计算得出函数和导函数的周期，再进行计算即可.
【2025 上辽宁期末】
25．已知定义在
上的偶函数
，当
时，
.且
时，
恒成立，且
，则
时，不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】首先通过对给定不等式进行变形构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，再
结合函数的奇偶性，将所求不等式进行转化，最后求解不等式得到解集.
【详解】已知当
时，
，
将其变形为
，
进一步整理得
.
令
，对
求导，
.
当
时，
，
，
可得
，所以
在
上单调递减.
因为
是定义在
上的偶函数，即
.
那么
，所以
是奇函数.
所以
在
上也是单调递减.
已知
，则
.
当
时，
，则
，
∴不等式
可化为
，即
.
因为
在
上单调递减，则
.
当
时，
；
，得
，则
，
∴不等式
可化为
，即
，则
.
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题关键是对已知式子变形，构造新函数，再转化为用函数单调性和
奇偶性解题.
1.试题特点分析：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特
征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题.抽象函数问题综合考
查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无
从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一.
2.解题方法阐述：考查抽象函数，主要考查抽象函数的定义域、值域、解析式、性质的
综合考查和应用，其主要方法有：1、赋值法，通过赋值法代入特殊值或参数简化问题.2、
配凑法，凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论．3、数形结合思想，借助数形结
合法直观观察函数图像的特征.
3.解题经验分享：第一、学会类比，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解
决抽象函数的性质. 第二、掌握好赋值法，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这
个不变性质往往是解决问题的突破口.第三、注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的
条件，不可漏掉一些条件，更不要造条件.
