文档文本内容
疑难压轴3 三角函数与解三角形、向量等的交汇问题（小
题狂练）
一．单选题.
【2024 江苏模拟预测】
1．锐角
中，
，
，
，则AB 边上的高CD 长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，
，进而可求得
，设
边上的高
长为，进而可得
，
可求解.
【详解】因为
且
为锐角三角形，可得
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，又
，
所以
，解得
，
由正弦定理可得
，所认
，
设
边上的高
长为，所以
，
.
故选：D.
【2025 上四川南充期中】
2．已知
的内角A，B，C 的对边分别为
，
，，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先弦化切结合正弦和角公式得出
，再根据正弦定理与余弦定理
得
，利用基本不等式计算最值即可
【详解】因为
，
又
，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，
又余弦定理
，即
，
所以
，则由余弦定理
，
当且仅当
时取得等号.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用同角三角函数的商数关系切化弦，结合正余弦定理角化边再利用
基本不等式计算最值.
【原创】
3．如图，在函数
的部分图象中，若
，则点
的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，进一步由
可得
，将它们代
入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果.
【详解】依题意
则得
，
即
，所以
,
；
设
，因为
，
所以
,
，解得
,
；
因此
,
，
可得
，结合图象可得
，解得
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用
点的位置特征以及向量关系式，得出
两点
的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果.
【2025 上河南许昌期中】
4．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，点
在
所
在的平面内，满足
，且
，则
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】D
【分析】由
，结合向量线性运算可得
平分
，即可得
，
再结合余弦定理及基本不等式计算即可得.
【详解】由
，则
，即
，
，
故
，由
、
都为单位向量，故
平分
，
故
，
则
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
即
，即
有最小值.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助
，结合向量线性运算得
到
平分
.
【2024 湖南衡阳八中、岳阳一中等校联考】
5．在
中，角
所对边分别为
，且
，若
，
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．2 或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【详解】由余弦定理得
，
即
，
，
所以
或
，
又
，所以
.
故选：C
【点睛】思路点睛：由余弦定理先求
，根据条件及余弦的和差角公式、
弦化切构造齐次式方程解方程即可.
【2025 河北沧州期中】
6．在锐角
中，
、
、分别是角
、
、
所对的边，已知
且
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得
，利用正
弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角
的范围，结合正弦函
数的图象性质，即可求出其范围.
【详解】由
和
，可得
，
由正弦定理，
，即
，
因
，故得
，
因
是锐角三角形，故
，则有
，从而，
.
又由正弦定理，
，
即得
于是
，
由
可得
，
则
，故
，
故
的取值范围为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题.
解题关键是，首先要将
代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创
造条件，再次，要会将
的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型
函数的值域求其范围即可.
【2024 浙江杭州二模】
7．在
中，已知
．若
，则
（ ）
A．无解
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由
可得
，进而得到
，借助三角形
内角和与两角和的正切公式可得
，设
，有
，可得该方
程无解，故不存在这样的
.
【详解】由
，即
，则
，
由
，知
，
则
，则
，
又
，
故
，设
，则
，
有
，即
，
，
即该方程无解，故不存在这样三角形，即
无解.
故选：A.
【2024 下江苏无锡期中】
8．在
中，角
的对边分别为a，b，c．已知
，
，则角A 的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得
，再利用正弦定理化边为角，
可得
，进而化简
，得
，由三角形内角和可
解角
.
【详解】由余弦定理得
，即
，
∵
，∴
，∴
，
由正弦定理得
，
∴
，
即
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
又
，
即
，由
得
，
∵
，
，所以
，即
，
由
，即
，
所以
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得
和
，由三角形内角和可解角
.
【2024 江西模拟预测】
9．已知向量
，其中
，
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直，可得数量积为零，然后结合二倍角公式、弦化切、正切的两角和
公式化简，再用换元，结合基本不等式即可求出结果.
【详解】由题知，
，
则
，
即
，
因为
，所以
，则
，
所以
，则
，
整理得
，
令
，因为
，所以
，
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值是
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题决的关键是利用三角恒等变换将
转化为关于
的表达
式，从而得解.
【原创】
10．在锐角三角形ABC 中，
，
，则AB 边上的高的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理和余弦定理可得
，进而求出AB 边上的高
，然后结
合正弦定理和锐角角三角形得到
，最后利用正切函数的图象和性质即可求解.
【详解】因为
，则有
，
由正弦定理，得
，整理得
，
由余弦定理得
，
，
设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
则AB 边上的高
，
由正弦定理得
．
由
为锐角三角形，可知
，
则
，所以
，
从而
，因此AB 边上的高的取值范围是
．
故选：D．
【2025 上浙江台州期末】
11．在
中，
，且
，则
的值不可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由
，结合题意可得
，进
而得到
，又
，令
，可得
，令
，利用函数单调性求得
的值域即
可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
令
，因为
，所以
，所以
，
则
，所以
，
令
，
函数
和
在
上都单调递增，
所以
在
上单调递减，故
，
则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：通过
，求得
，进而得到
，是解决本题的关键.
二．多选题.
【2025·广东佛山一模】
12．在
中，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
方向上的投影向量为
D．若
，则
【答案】AC
【分析】A 选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成
，然后根据边
角转化求解；B 选项利用两角和的正切公式求解；C 选项结合正弦定理，投影向量公式求
解；D 选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.
【详解】A 选项，对于
，根据数量积的定义展开可得，
，
即
，即
，由正弦定理，
，
即
，则
为锐角，由
，
解得
，
，A 选项正确，
B 选项：由A 选项和题干可知，
，
，故
，B 选项错误.
C 选项：
在
方向上的投影向量为
，
由B 知，
，
，且
，解得
，
由正弦定理，
，则
，C 选项正
确.
D 选项：由正弦定理，
，即
，解得
，
于是
，
，D 选项错误.
故选：AC
【原创】
13．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中
所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分
割比（黄金分割比
）.在顶角为
的黄金
中，D 为BC 边上的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
在
上的投影向量为
D．
是方程
的一个实根
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向
量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设
，则
，解得
，则
，
则
，A 正确.
，
，B 正确.
依题意可设
，则
，
则由余弦定理得
，
过B 作
，垂足为E，
则
在
上的投影向量为
，C 错误.
由图可知
，
则
，
设
，则
，整理得
，D 正确.
故选：ABD
【2025 上福建期末】
14．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．若
为锐角三角形，且
，则
面积的取值范围为
D．若
，
的内心为I，则
周长的取值范围为
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理角化边可计算
，可得选项A 正确，选项B 错误；利用面积公
式表示
面积，通过正弦定理表示
，分析
的范围可得选项C 正确；根据内心的性
质，结合正弦定理及辅助角公式可得选项D 正确.
【详解】∵
，
∴
，整理得
，
∴
，
∵
，∴
，选项A 正确，选项B 错误.
C.
的面积
.
由正弦定理得，
，
∴
，
∵
为锐角三角形，∴
，解得
，
∴
，∴
，
∴
，故
，选项C 正确.
D.∵
，∴
，
∵
的内心为I，∴
，故
.
设
，则
，
在
中，由正弦定理得，
，
∴
，
∴
的周长为
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，选项D 正确.
故选：ACD.
【原创】
15．已知
的内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，已知
，
，
的
面积S 满足
，点O 为
的外心，满足
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】已知
，结合余弦定理化简求得
，再利用三角形面积
公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算
的值即可判断B；
先利用余弦定理求出a 的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，
列方程组求出
和
的值，即可判断D.
【详解】解：对于A，已知
，则
，
由余弦定理可知
，所以
，即
，
等号两边同时平方，可得
，
则
，即
，
因为
，所以
，
则
，即
，
因为
，则
，
，A 选项正确；
对于B，
，
因为点O 为
的外心，所以
，
，
则
，B 选项正确；
对于C，由余弦定理
，
由正弦定理
，则
，C 选项错误；
对于D，因为
，则
，
即
，所以
①，
同理
，
即
，所以
②，
联立①②，解得
，
，D 选项正确；
故选：ABD.
【2025 上山东淄博期中】
16．在锐角
中，
，角A、B、C 对边分别为a，b，c，则下列式子不正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
上有一动点P，则
最小值为
【答案】ABD
【分析】由题设，结合三角恒等变换及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判
定B；根据两角和的正切公式结合基本不等式可判定C；根据平面向量数量积运算结合二
次函数的最值可判定D．
【详解】对于A，
，则
，即
，
，即
,
又
，
,
由正弦定理得，
，故A 错；
对于B，由
及余弦定理，可得
，
即
，
由基本不等式知，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，故B 项错误；
C 项，在锐角
中，由
，且
，
由基本不等式可得，
，
整理得
当且仅当
时，等号成立，又由
，
可得
＝
，故C 项正确；
对于D，过
作
，则
，
又
在
之间运动时，
与
的夹角为钝角，
因此要求
的最小值，
应在
之间运动，即
，
又
当
时，
取最小值为
,故D 错误.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用两角和的正切公式结合基本不等式计算求解.
【2024 广西二模】
17．在锐角
中，角A，B，C 对边分别为a，b，c，且
，
，
则（ ）
A．
的外接圆半径为5
B．若
，则
的面积为
C．
D．
的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据已知条件求得
，
，对A，由正弦定理运算可判断；对B，
由
可得
，求得
，利用三角形面积公式求解；对C，由正弦定理可得
，
，可得
，代入
运算可判断；
对D，由余弦定理和数量积运算法则求出
，换元后
利用三角恒等变换得到
，求出答案.
【详解】由
，可得
，因为
为锐角，所以
，所以
，可得
，
.
对于A，由正弦定理，
，
，故A 错误；
对于B，
，
，则
，
所以
.故B 正确；
对于C，因为
，
，所以
，
，
，
又
，
，故C 正确；
对于D，由余弦定理得
，即
，
又
，
所以
，
设
，则
，
由正弦定理
，
其中锐角
满足
，由锐角三角形可得
，所以
，
又
，所以
，
，
又
，所以
，从而
，
而函数
在
上单调递减，又
，
，
所以
的取值范围
.故D 正确.
故选：BCD.
三．填空题.
【2024 安徽芜湖模拟预测】
18．已知向量
，
，其中
，令
，则实数t 的取值范围是 ，对任意
和上述
，满足
恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简得到
，结合三角函数的性质，求得的取值范围，
再由向量
，
，得到
，根据题意，转化为
或
对任意
恒成立，即可求解.
【详解】由
，
因为
，可得
，
当
，即
时，
；
当
或
时，即
或
时，
，
所以实数的取值范围为
；
又由
，可得
，
由向量
，
，
可得
，
因为
，
又因为
，可得
，对任意
恒成立，
即
，即
或
，
即
或
对任意
恒成立，
因为
在
上为单调递减函数，所以
，
所以
或
，即实数
的取值范围为
．
故答案为：
；
.
【点睛】方法点睛：对于平面向量与三角、不等式的综合问题的求解策略：
1、若题目的条件中给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量的坐标运算公式，得
到三角函数的关系式，进而得以求解；
2、若题目条件中给出三角函数表示向量的坐标，要求的是向量的数量积或向量的模，或者
其他向量的表达形式，解题思路是结合向量的运算，利用三角函数的图象与性质，以及有
界性，进而得解；
3、对于向量的最值与范围的求法方法：①几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的
线性运算和向量的数量积的运算解决；②代数法：将平面向量的最值或范围转化为坐标运
算，目标函数，利用代数方法求解.
【2025 贵州黔东南模拟预测】
19．已知
分别为锐角
三个内角
的对边，
的面积
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出
，再利用正弦定理边化角，结合
三角恒等变换及三角函数性质求出范围.
【详解】在
中，由
及三角形面积公式，得
，
由余弦定理得
，则
，
而
，解得
，
，
由正弦定理得
，锐角
由
确定，
而
为锐角三角形，则
，即
，
，
显然
，而
，
，因此
，
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为
关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.
【2025 上福建期中】
20．在平面四边形
中，若
，
，
，则
的最大值为
.
【答案】
##
【分析】设
，在
中由余弦定理得
和
，
由正弦定理得
，由
和余弦定理得
，根据
的范围可得答案．
【详解】设
，在
中由余弦定理得
，
因为
，所以
，
由正弦定理得
，
所以
，因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
，其中
，
所以当
时，此时
，
综上所述，
的最大值为
．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了余弦定理的应用，解题的关键是利用余弦定理结合三角
恒等变换，利用正弦函数的性质求解
的最大值，属于较难题目.
【2024 河南信阳模拟】
21．已知平面凸四边形ABCD 的对角线分别为AC，BD，其中
，
，则
；若
，则四边形
ABCD 的面积的最大值为 ．
【答案】
12
【分析】由同角三角函数的关系和正余弦定理化简已知等式，得
，故
；由
，有
，利用基本不等式求最大值.
【详解】
，则有
，
，得
，
在
中，由正、余弦定理可知，
，
整理得
，故
；
因为
，故
；又
，则
，而
，
故
，
当且仅当
时等号成立．
得四边形ABCD 的面积的最大值为12.
故答案为：
；12.
【原创】
22．已知
的三个内角
、
、
满足
，则当
的值最大时，
的值为 ．
【答案】
##
【分析】先根据已知条件得
，利用余弦定理得
，判断出
，将
的值最大转化为
最小，由基本不等式求解即可.
【详解】设
的三个内角
、
、
的对边分别为
、
、，
，
由余弦定理知
，
因为
，所以
，所以
，
由正、余弦函数在
上的单调性可知要使
最大，则
最大，
最小，
所以根据基本不等式得
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
．
故答案为：
.
【2024 广东深圳二模】
23．已知△ABC 中，
，双曲线E 以B，C 为焦点，且经过点A，则E 的两条
渐近线的夹角为 ；
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足
的位置，再由
得
到双曲线中
的关系，即可得到渐近线的夹角；根据
对所求式进行化简，
再根据基本不等式求得范围即可.
【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为
，虚轴长为
，焦距为
.
设
的内心为
，过点
向三边作垂线，垂足分别为
.
根据三角形内心的性质可知，
，
又因为双曲线E 以B，C 为焦点，且经过点A，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，
所以点
在双曲线的左支上，所以
.
而
，
所以
，
所以
为双曲线的左顶点.
所以
，
所以
，即
，
所以
，渐近线的倾斜角为
，
所以两条渐近线的夹角为
.
又因为
，
所以
，
而
，
所以
.
故答案为：
；
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据
作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.
【2024 上海崇明二模】
24．已知A、B、C 是半径为1 的圆上的三个不同的点，且
，则
的最小值
是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由正弦定理可得
，然后分
与
讨论，再
由平面向量数量积的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得
，所以
，
所以
，且
，则
或
，
则
或
，
当
时，
，
所以
，
，则
，
当
时，即
时，
取得最小值
；
当
时，
，
所以
，
，则
，
则
无最值；
综上所述，
的最小值是
故答案为：
【原创】
25．在
中，内角
的对边分别为
，且满足
．
若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理将边化成角，化简计算得到角B，再根据正弦定理结合辅助角公式
将
化成关于
的三角函数，根据函数性质可求解.
另还有一解法，可设
，利用余弦定理得到关于
的一元二次方
程，根据根的判别式
可得到关于的不等式，解不等式即可.
【详解】由正弦定理可得
，
即
．
在
中，由
，得
，
所以
，又
，
，
所以
，所以
．
解法①：
由
，结合正弦定理知
，所以
，
所以
，
其中
，当
时取等号，所以
的最大值为
．
解法②：
设
，则
，
根据余弦定理得
，即
，
因为关于
的方程有正实数解，所以
，解得
，
所以
的最大值为
．
故答案为：
.
1.试题特点分析：三角函数与解三角形、平面的向量的交汇综合的交汇性主要体现在:三
角函数恒等变换公式、三角函数的图象和性质与正弦、余弦定理与平面的向量的数量积及
平面向量的平行、垂直、夹角及模的交汇，其主要考查题型有:
（1）考查三角函数函数知识，一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函
数的值或研究三角函数的图象及性质；
（2）考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三
角函数知识求解；
（3）考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一
起..
2.解题方法阐述：对于三角函数与解三角形、平面向量的交汇问题的求解策略有：
（1）若题目的条件中给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量的坐标运算公式，
得到三角函数的关系式，再利用正弦、余弦定理进行边角互化进而得以求解；
（2）若题目条件中给出三角函数表示向量的坐标，要求的是向量的数量积或向量的模，或
者其他向量的表达形式，解题思路是结合向量的运算，利用三角函数的图象与性质以及解
三角形知识进行求解；
3.解题经验分享：第一、熟记相关性质、定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才能
进行后续的解题步骤. 第二、对各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题
经验来解决问题.第三、识别关键信息，正确进行推理.
