考点07 函数的单调性与最值4 类常见考点全归纳
1.
借助函数
象
图
,会用数学符号
言表达函数的
性、最
语
单调
值,理解
意
实际
义.
2.掌握函数
性的
用
单调
简单应
.
考点一 确定函数的单调性
考向1 函数单调性的判断
考向2 利用定义证明函数的单调性
考点二 函数单调性的应用
考向1 比较函数值的大小
考向2 解不等式
考向3 求参数的值(范围)
考点三 函数的最值（值域）
考向1 求函数的最值
考向2 根据函数最值求参数
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
当x1<x2时,都有f ( x 1)<
f ( x 2),那么就称函
数f(x)在区间I 上单调递增,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时,我们就称它是增函数
当x1<x2时,都有f ( x 1)>
f ( x 2),那么就称函数f(x)
在区间I 上单调递减,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减
时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,
区间I 叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≤
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D,都有f ( x ) ≥
M
；
(2)∃x0∈D,使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 是函数y＝f(x)的最大值
M 是函数y＝f(x)的最小值
3.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则
①
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I 上单调递增.
②
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I 上单调递减.
(2)y＝x＋1
x 的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1).
(3)在区间I 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
4.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.
考点一 确定函数的单调性
考向1 函数单调性的判断
【典例1】 (多选)下列说法中,正确的是( )
A.函数y＝e－x－1
x
2 在(－∞,0)上单调递减
B.若f(x),g(x)都是R 上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R 上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]
D.函数f(x)＝2
−x
2＋2x＋3的单调递增区间为[1,＋∞)
答案 ABC
解析 在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－1
x
2 都单调递减,所以y＝e－x－1
x
2 在(－∞,0)上单调递减,故A 正确；
两增函数的和为增函数,故B 正确；
作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,
由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故C 正确；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故D 错误.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）函数
的单调递减区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．
【详解】设t＝x2
2
﹣x
3
﹣，则函数在（
∞，
﹣
1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数
在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．
故选D．
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函
数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增
异减”．
【典例3】(2024·唐山模拟)函数f(x)＝log1
2(2x2－3x－2)的单调递增区间为 .
答案 (
∞,
−
−
1
2)
解析 令2x2－3x－2>0,
解得x>2 或x<－1
2 ,
则f(x)的定义域为(
∞,
−
−
1
2)∪(2,＋∞),
由y＝log1
2x 在(0,＋∞)上单调递减,y＝2x2－3x－2 在(
∞,
−
−
1
2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,
根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为(
∞,
−
−
1
2).
【巩固训练】
1．（2025·海南海口·模拟预测）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【解析】
，
则由二次函数的性质知，当
时，
的单调递减区间为
；
当
，
的单调递减区间为
，
故
的单调递减区间是
和
.
故选：B
2．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）函数
的减区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可.
【解析】令
，求得
，
故函数的定义域为
，且
递增，
只需求函数在定义域内的减区间．
由二次函数的性质求得
在定义域内的减区间为
，
所以函数
的减区间是
，故选B．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综
合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑
两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增
增，减减
增，增减
减，减增
减）.
3．（2025·四川眉山·模拟预测）函数
的单调递减区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，结合二次函数与幂函数的单调性可得结果.
【解析】由
可得
或
，
函数的定义域为
，
设
，则
，
是单调递增函数，
在定义域上的减区间
，
即为函数
的单调减区间是
，故选A.
【点睛】本题主要考查幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合
考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两
个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增
增，减减
增，增减
减，减增
减）.
考向2 利用定义证明函数的单调性
【典例】试讨论函数f(x)＝ax
x
1
−(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
解 方法一 定义法
设－1<x1<x2<1,
因为f(x)＝a·x
1＋1
−
x
1
−
＝a(1＋1
x
1
−),
所以f(x1)－f(x2)＝a(1＋1
x1
1
−)－a(1＋1
x2
1
−)＝a(x2−x1)
(x1
1)(
−
x2
1)
−
,
由于－1<x1<x2<1,
所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0,
故当a>0 时,f(x1)－f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0 时,f(x1)－f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
方法二 导数法
f'(x)＝(ax)
'(x
1)
−
−ax(x
1)
−
'
(x
1
−)
2
＝a(x
1)
−
−ax
(x
1
−)
2
＝－a
(x
1
−)
2 .
故当a>0 时,f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0 时,f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
【巩固训练】
1．（2025 高一·全国·专题练习）判断函数
的单调性并证明．
【答案】单调递减区间为
，单调递增区间为
，证明见解析
【分析】根据函数单调性的定义，分别在
和
上证明即可求解.
【解析】对任意
，
．
因为
，所以
，
．
对任意
，有
，
从而
，即
；
对任意
，有
，
从而
，即
．
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
2．（2025 高一·广东汕头·期中）已知函数
.
(1)函数单调性的定义证明：函数
在
上单调递增；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为1，最小值为
.
【分析】（1）任取
，且
，然后化简变形
，判断符号，从而可得结论；
（2）由（1）知
在区间
上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【解析】（1）证明：任取
，且
，
则
因为
，
，所以
，
，
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增.
（2）由（1）知
在区间
上单调递增，
所以
，
，
所以函数
在区间
上的最大值为1，最小值为
.
3．（25-26 高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在
上的函数
满足对任意的x，
，
，当
时，
，
.
(1)证明：
为奇函数.
(2)证明：
在
上是减函数.
(3)求不等式
的解集.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）令
、
，结合奇偶性定义即可证；
（2）设
有
，结合已知和单调性定义即可证；
（3）利用奇偶性、单调性，化不等式为
，即可求解集.
【解析】（1）令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
且定义域为R，故
为奇函数；
（2）设
，因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，故
在
上单调递减；
（3）因为
为奇函数，且
，所以
，
不等式
化为
，
因为
在
上单调递减，所以
，即
，解得
，
即不等式
的解集是
.
解题策略：
1、函数单调性的判断方法：
（1）定义法：在定义域内的某个区间
上任取
并使得
，通过作差比较
与
的大
小来判断单调性。
具体如下：设x1，x2 (
∈a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么
①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.
②增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
（2）性质法：
①当常数c>0 时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0 时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，
特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.
②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反.
若
③
c 为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c 的单调性相同.
④若函数
为增函数，
为增函数，
为减函数，
为减函数，则有
1）
为增函数，2）
为增函数，3）
为减函数，4）
为减函
数。
若
⑤
f(x)>0 且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0 且g(x)<0，f(x)
与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
奇
⑥
(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的
单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连
续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（4）复合函数法：对于函数
，可设内层函数为
，外层函数为
，可
以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则
函数
在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数
在区间D 上单调递减.
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
随着
的增大而增
大
随着
的增大而增
大
随着
的增大而
减小
随着
的增大而
减小
增函数
增函数
减函数
减函数
（5）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)
＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.
考点二 函数单调性的应用
考向1 比较函数值的大小
【典例1】定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2 (∈－∞,0](x1≠x2),有f(x1)−f(x2)
x1−x2
<0,则( )
A.f(－2)<f(3)<f(4)
B.f(－2)>f(3)>f(4)
C.f(3)<f(4)<f(－2)
D.f(4)<f(－2)<f(3)
答案 A
解析 因为对任意的x1,x2 (
∈－∞,0](x1≠x2),有f(x1)−f(x2)
x1−x2
<0,
所以f(x)在(－∞,0]上单调递减,
又f(x)为偶函数,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
则f(2)<f(3)<f(4),
又f(－2)＝f(2),
所以f(－2)<f(3)<f(4).
【典例2】（2024·天津南开·高三统考阶段练习）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为
，又因为
，
所以
，
故选：
.
【典例3】（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数
( 为自然对数的底
数)，若
，
，
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，比较
的大小关系，利用单调性即可求解.
【详解】
，
，
所以
，又因为函数
在
上单调递减，
所以
，
故选：
.
解题策略：
比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
【巩固训练】
1．（25-26 高三·北京·阶段练习）设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用导数研究
的单调性，结合
，利用函数的单调性可得
，即可比较大小.
【解析】设
，则
，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的增区间为
，减区间为
，
又
，因为
，所以
，
即
，所以
.
故选：D
2．（25-26 高三·河北·开学考试）已知函数
，则
的大小关系为(参考数据∶
) （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的导数并探讨单调性，再结合给定数据比较大小.
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，由
，
所以
.
故选：A
3．（2025 高二·陕西汉中·阶段练习）设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的指数函数的性质和单调性即可比较大小.
【解析】因为
，所以
.
因为
为单调递减函数，所以
.
，
因为
为单调递增函数，所以
.
因为
为单调递减函数，所以
.
所以
.
故选：D.
考向2 解不等式
【典例1】（2024·安徽阜阳·高三安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数
是定义域为
的
减函数，若
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和单调性得到
，解得答案.
【详解】函数
是定义域为
的减函数，因
，
故
，解得
，
故选：C
【典例2】(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x 的取值范围是(
)
A.(－1,0)
B.(－1,＋∞)
C.(－1,1)
D.(1,＋∞)
答案 C
解析 函数y＝ex为增函数,函数y＝e－x为减函数,
所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数,
所以f(|x|)<f(－3x2＋4)
|
⇔x|<－3x2＋4,
即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,
解得－1<x<1,
所以实数x 的取值范围为(－1,1).
【典例3】（2024·广东广州·高二广东实验中学校考期末）定义在
的函数
满足：对
，
，且
，
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
且
，
，
则两边同时除以
可得
，
令
，则
在
单调递增，
由
得
且
，
即
解得
，
故选：D.
【典例4】（2024·山东菏泽·高三统考期末）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知得出函数
在定义域
上单调递减，即可根据单调性解不等式得出
答案.
【详解】函数
中，
在
上单调递减，
在
上单调递减，且
，
则函数
在定义域
上单调递减，
，
，解得：
，
即不等式
的解集为
.
故选：D.
解题策略：
求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为R，且
，
在
上单
调递减，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
的对称轴为
，结合
在
单调递减，可得
，求解
即可.
【解析】由
得
的对称轴为
，
因为
在
单调递减，所以
在
单调递增，
则
等价为
，解得
，不等式解集为
.
故选：D.
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数a
满足
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得
在区间
上单调递增，所以可将不等式转换为
即可求解.
【解析】因为
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，
所以
在区间
上单调递增，因为
，
，
所以
，所以
，
即
或
，解得
或
，
所以a 的取值范围是
.
故选：D.
3．（2025 高二·浙江温州·期末）已知一函数
，其定义域为
，则满足不等式
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可.
【解析】由题可知函数
，所以
为偶函数，
当
时，
，又
与
在
上单调递减，
所以
在
也单调递减，
，即
，
所以
解得
或
，
所以
的取值范围为
.
故选：D.
考向3 求参数的值(范围)
【典例1】若函数f(x)＝x＋a
3
−
x
1
−
在(a,＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 .
答案 [1,2)
解析 f(x)＝x＋a
3
−
x
1
−
＝x
1＋
−
a
2
−
x
1
−
＝1＋a
2
−
x
1
−
,
∵f(x)在(a,＋∞)上单调递增,
∴{
a
2<0,
−
a≥1
1≤
⇒
a<2.
【典例2】（2024·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）若函数
在
上
是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数单调性，从而可得
【详解】解：函数
为二次函数，对称轴为直线
，且二次函数开口向下，
则
的增区间为
，减区间为
；
故若函数
在
上是减函数
则
.
故选：A.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数
在区间
是单调递增函数，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出二次函数的对称轴，即可得
的单增区间，即可求解.
【详解】函数
的对称轴是
，开口向上，
若函数
在区间
是单调递增函数，
则
，
故答案为：
．
【典例4】（2024·湖北·高三校联考期中）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数函数及二次函数的单调性可得
，进而即得.
【详解】因为函数
在
上单调递增，又函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
，
解得
.
故选：B.
【典例5】(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝{
−x
2
2
−ax−a,x<0,
e
x＋ln(x＋1),x≥0
在R 上单调递增,则a 的取值范
围是( )
A.(－∞,0]
B.[－1,0]
C.[－1,1]
D.[0,＋∞)
答案 B
解析 因为f(x)在R 上单调递增,
且x≥0 时,f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增,
则需满足{
−
2
−a
2×( 1)
−
≥0,
−a≤e
0＋ln1,
解得－1≤a≤0,
即a 的取值范围是[－1,0].
解题策略：
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的
升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）“
”是“函数
在区间
上单调递减”的
（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果.
【解析】充分性：当
时，
，
易知函数
在区间
上单调递减．
必要性：若
在区间
上单调递减，
则需
，即
，
故“
”是“函数
在区间
上单调递减”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2025 高二·黑龙江大庆·期末）已知函数
，对任意的
，且
，
都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据条件判断函数
在
上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界
点处的值的大小关系，列不等式组求解即可．
【解析】根据题意，函数
对任意的
，且
，都有
，
所以
在
上为增函数，
又
，
所以有
，
即
，解得
，
故选：D．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.
【解析】因为函数
在
上为增函数，
在
上为减函数，在
上为增函
数，
且函数
在
上单调，
根据复合函数的单调性，可得
，即
，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
考点三 函数的最值（值域）
考向1 求函数的最值
【典例1】 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A.当x [0
∈
，3)时，函数y＝x2－2x＋3 的值域为[2，6)
B.函数y＝2x＋1
x
3
−
的值域为R
C.函数y＝2x－❑√x
1
−的值域为[
15
8 ，＋∞)
D.函数y＝❑√x＋1＋❑√x
1
−的值域为[❑√2，＋∞)
答案 ACD
解析 对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x [0
∈
，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
对于B，(分离常数法)y＝2x＋1
x
3
−
＝2(x
3)＋7
−
x
3
−
＝2＋7
x
3
−
，显然7
x
3
−
≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2) (2
∪
，＋∞).
对于C，(换元法)设t＝❑√x
1
−，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2(t−1
4)
2
＋15
8
，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为[
15
8 ，＋∞).
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝❑√x＋1与y＝❑√x
1
−在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝❑√x＋1＋❑√x
1
−在[1，＋∞)上为增函数，
当
∴
x＝1 时，ymin＝❑√2，即函数的值域为[❑√2，＋∞).
解题策略:
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的
形式.
【巩固训练】
1．（25-26 高一·全国·单元测试）已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】解法一：将函数解析式变形成
，再求最小值；
解法二：令
，通过换元将原函数解析式转化为
，再求二次函数的最小值.
【解析】解法一：
的定义域为
，
，
当
∴
，即
时，
取得最小值，
．
解法二：令
，则
，
的图象为开口向上的抛物线，与轴的交点为
，
图象的对称轴为
，
即
的最小值为
．
故选：D.
2．（2025 高二·辽宁沈阳·期末）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】先求函数
单调性，即可得最值.
【解析】根据题意，函数
的定义域为
，
且由于
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递增，
所以函数
在区间
上单调递增，
所以
．
故选：D．
3．（2025 高三·湖南永州·开学考试）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】利用换元法，令
，可将原函数转化为
，再根据对勾函数的单调性，
即可求出结果.
【解析】令
，所以
;
所以
转化为
；
即
又函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，
取到最小值为；
即当
时，
取到最小值，最小值为.
故选：D.
考向2 根据函数最值求参数
【典例1】【多选】（2024·高一课时练习）已知
在区间
上的最小值为
，则
可
能的取值为（ ）
A．
B．3
C．
D．1
【答案】BC
【详解】解：因为函数
，函数的对称轴为
，开口向上，
又
在区间
上的最小值为
，
所以当
时，
，解得
（舍去）或
；
当
，即
时，
，解得
（舍去）或
；
当
，即
时，
．
综上，
的取值集合为
．
故选：BC．
【典例2】（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数
若
存在最小值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若
时，
，
；
若
时，当
时，
单调递增，当
时，
，故
没有最小值；
若
时，
时，
单调递减，
，当
时，
，若函数
有最小值，需
或
，解得
.
故选：B
解题策略:
解决这类问题的本质是“通过函数最值的定量条件，反向推导参数的取值或范围”，核心流程可概括为四
步：
定性质：明确函数的定义域（是否含参数限制）、函数类型（如二次函数、分式函数），判断函数的单调
性、奇偶性等性质，确定求最值的方法（如配方法、导数法、基本不等式法）；
求最值：根据函数类型，用含参数的表达式表示出函数的最值（注意区分“最大值”“最小值”，以及最
值是否在定义域内取得）；
建关系：根据题目给出的“最值等于某值”或“最值满足某不等式”，建立关于参数的方程或不等式；验
结果：求解参数后，需代入原函数验证：①最值是否符合题意（如二次函数在闭区间上的最值是否在端点
或顶点处取得）；②参数是否使定义域有效（如分式分母不为0、对数真数大于0）。
【巩固训练】
1．（2025 高二·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数
在区间
上的最大值为3，则实数
（ ）
A．
B．1
C．3
D．
【答案】C
【分析】先分离变量
，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【解析】函数
，
当
时，
在
上单调递减，最大值为
；
当
时，
在
上单调递增，最大值为
，解得
，不合题意，
所以实数
.
故选：C
2．（2025 高一·全国·课后作业）已知函数
在闭区间
上有最大值3，最小值2，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可知当
时，函数取得最小值2，而
，再结合二次函数图象的对称性可求
出
的取值范围.
【解析】因为
，
所以当
时，函数取得最小值2，
因为
，而函数闭区间
上有最大值3，最小值2，
所以
.
故选：D
3．（2025 高二·北京大兴·期末）若函数
在区间
上有最大值，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据单调性画出函数
的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案．
【解析】解：令
，
，则
，
令
，解得
；令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
又
，作出函数
的大致图象，
结合图象，由题意可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，
．
故选：
．
1．已知函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 .
(1)
;
(2)
;
(3)
在区间
上有最大值,而且
是最大值;
(4)
与
的大小关系不确定;
(5)
在区间
上有最小值;
(6)
在区间
上的最小值是
.
【答案】(1)(3)(4)(5) .
【解析】根据单调性的定义逐个判断后可得正确的选项.
【详解】∵
在区间
上递增，∴
，故(1)正确.
函数
∵
在区间
上递减，∴
，故(2)错误.
函数
∵
在区间
上递增，在区间
上递减，函数
∴
在区间
上有最大值，也有最小值，
且
是最大值，
或
是最小值，故(3)(5)正确，(6)不正确，而
与
的大小不确定，故(4)
正确.
故答案为:(1)(3)(4)(5).
【点睛】本题考查对单调性的理解以及函数的最值，注意当知晓函数的单调性后，可由自变量的大小得到
函数值的大小，另外函数的最值可依据函数的单调性来求，本题属于基础题.
2．判断下列说法是否正确，对的填“正确”，错的填“错误”.
（1）若定义在
上的函数
满足
，则函数
是
上的增函数；
（2）若定义在
上的函数
满足
，则函数
在
上不是减函数；
（3）若定义在
上的函数
在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，则函数
在
上是增函数；
（4）若定义在
上的函数
在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，则函数
在
上是增函数.
【答案】 错误 正确 正确 错误
【分析】根据函数单调性，逐项进行分析判断即可得解.
【详解】对（1）某两个确定值之间的大小关系不能判断单调性，故（1）错误；
对（2）若函数
在
上是减函数，则有
，
反之，若
，则函数
在
上不是减函数，故（2）正确；
对（3）由函数
在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，
这两个递增区间在
处相交，故在
上是增函数正确，故（3）正确；
（4），在某两个区间上分别单调，且不相交，故不能判断在并集上单调，故（4）错误.
故答案为：错误；正确；正确；错误
3．若
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】试题分析： 因为当
时，
为单调递减函数，所以当
时，
也为单调
递减函数，因此
且
考点：分段函数单调性
4．已知
是定义在区间
上的增函数，且
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由增函数的定义求解．
【详解】由题意，得
解得
①.
因为
是定义在区间
上的增函数，且
，
所以
，解得
②.由①②得
.
所以满足题设条件的
的取值范围为
.
故答案为：
5．已知函数f(x)＝
，若f(x)是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据条件，一是要使每一个区间上是单调函数，二是要使整体上是单调函数，从而建立不等式组
即可求解.
【详解】因为f(x)是R 上的增函数，所以
解得
.
故答案为：
6．函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别讨论
和
时的两种情况即可.
【详解】①
时，
在R 上单调递减
∴
满足条件；
②
时，
对称轴为
，
解得
.
由①②得
，故
的取值范围是
.
故答案为：
7．证明函数
在区间
上单调递增.
【答案】见解析.
【解析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成
即可.
【详解】证明：
，且
，
则
.
，
.
又
，
.
，即
.
函数
∴
在区间
上单递增.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.
8．已知函数
，求函数在区间
上的最大值和最小值.
【答案】
，
.
【解析】首先证明函数在给定的区间上的单调性，即可得到函数的最值.
【详解】解：
，且
，则
.
，
.
又
，
.
，即
.
在
上是减函数，
，
.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，函数单调性的应用，属于基础题.
9．已知函数
，
.
（1）求
、
的单调区间；
（2）求
、
的最小值.
【答案】（1）函数
的减区间为
，增区间为
，函数
的增区间为
；
（2）函数
的最小值为
，函数
的最小值为
.
【分析】（1）分析二次函数
图象的开口方向和对称轴，可得出函数
的减区间和增
区间，以及函数
的增区间；
（2）由函数
和函数
的单调性可得出这两个函数的最小值.
【详解】（1）
函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，函数
的增区间为
；
（2）由（1）知，函数
在
处取得最小值
，
由于函数
在定义域
上单调递增，则函数
在
处取得最小值
.
【点睛】本题考查二次函数的单调区间与最值的求解，解题时要分析二次函数的图象的开口方向和对称轴
及函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．（1）根据函数单调性的定义证明函数
在区间
上单调递增.
（2）讨论函数
在区间
上的单调性.
（3）讨论函数
在区间
上的单调性.
【答案】（1）证明见解析（2）讨论见解析（3）讨论见解析
【解析】利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可.
【详解】（1）证明
且
，
则
.
.
又
即
.
在区间
上单调递增.
（2）解：
且
.
.
①当
时，
，又
，
即
.
在
上为减函数.
②当
时，
，又
.
即
在
上为增函数.
（3）
且
，
则
.
①当
时，
，又
，
即
.
在
上为减函数.
②当
时
，又
，
，即
.
在
上为增函数.
【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题.
11．设函数
的定义域为I，区间
，记
.证明：
（1）函数
在区间D 上单调递增的充要条件是：
，都有
；
（2）函数
在区间D 上单调递减的充要条件是：
，都有
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出
在D 上单调递增，再证必要
性，不妨设
，则
，由函数
在D 上单调递增，得出
，即
可证明
；
（2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出
在D 上单调递减，再证必要性，不妨
设
，则
，由函数
在D 上单调递减，得出
，即可证明
；
【详解】证明：（1）充分性：不妨设
，则
即
在D 上单调递增.
必要性：若
在D 上单调递增.
则
，不妨设
，则
.
.
即
，都有
.
（2）充分性：不妨设
，则
，
，即
，
在D 上单调递减.
必要性：若
在D 上单调递减.
，不妨设
，则
.
即
，都有
.
【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档
题.
12．求
的单调区间,并求这个函数的最值.
【答案】
在
上是减函数，
在
上是增函数，
.
【解析】利用二次函数的单调性可得
的单调区间和最值.
【详解】
图象的对称轴为
，开口向上，
因此
在
上是增函数，在
上是减函数，
∴
，而
，
所以
，
.
【点睛】本题考查二次函数的单调性与最值，可依据对称轴的位置来讨论，本题为基础题.
13．画出函数
的图象，并根据图象写出
的单调区间.
【答案】图象见解析；单调递减区间为
，单调递增区间为
.
【分析】将函数解析式写成分段函数的形式，进而结合一次函数的图象即可作出函数
的图象，然后数
形结合即可求出单调区间.
【详解】因为
，作出函数图象如图所示：
结合图象可知，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
14．求函数
在
上的最大值和最小值.
【答案】1；-80
【分析】根据二次函数的图象开口方向，对称轴与区间的位置关系，即可得到答案；
【详解】
图象开口向下，对称轴为
，
对称轴穿过区间，
，
，
15．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：
（1）
；
（2）
，
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
.
【答案】（1）图象见详解，单调递减区间为
，递减区间为
最大值为
；
（2）图象见详解，单调递减区间为
，最小值为
，最大值为
；
（3）图象见详解，单调递增区间为
，无最大值和最小值；
（4）图象见详解，单调递减区间为
，最大值为
；
（5）图象见详解，单调递减区间为
，单调递增区间为
，最小值为
，无最大值；
（6）图象见详解，单调递增区间为
，无最大值和最小值.
【分析】根据解析式，由对应的函数画出函数图象，即可求得单调性和最值.
【详解】（1）图象如题所示：
，
单调递减区间为
，递减区间为
最大值为
，无最小值；
（2）图象如图所示：
，
单调递减区间为
，最小值为
，最大值为
；
（3）图象如图所示：
，
单调递增区间为
，无最大值和最小值；
（4）图象如图所示：
，
单调递减区间为
，最大值为
；
（5）图象如图所示：
，
单调递减区间为
，单调递增区间为
，最小值为
，无最大值；
（6）图象如图所示：
，
单调递增区间为
，无最大值和最小值.
16．证明：函数
在区间
上是增函数.
【答案】证明见解析.
【分析】设
，且
，然后对
进行因式分解进而判断其正负，然后结果函数
单调性的概念即可得出结论.
【详解】设
，且
，
而
因为
，则
，
所以
，即
，
所以函数
在区间
上是增函数.
17．讨论函数f(x)＝
在(－2，＋∞)上的单调性.
【答案】答案见解析.
【解析】对
分离常数，利用单调性的定义，对参数
进行分类讨论，即可判断函数单调性.
【详解】f(x)＝
＝a＋
，
设任意x1，x2 (
∈－2，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝
－
＝(1－2a)
，
－
∵
2<x1<x2，∴x2－x1>0，又(x2＋2)(x1＋2)>0.
（1）若a<
，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数.
（2）若a>
，则1－2a<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数.
综上，当a<
时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>
时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数.
【点睛】本题考查利用函数单调性的定义判断函数单调性，属基础题.
18．求下列函数的最大值和最小值：
（1）
，
；
（2）
，
．
【答案】（1）最大值
，最小值
；（2）最大值是2，最小值是
.
【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可.
（2）首先利用换元法得到
，
，再根据反比例函数的单调性求解即可.
【详解】（1）
，
因为
，由二次函数图象和性质可知：
当
时，
取最小值
；
当
时，
取最大值
.
（2）
，
，
令
得：
，
.
因为
在区间
为减函数，
所以当
时，
取最小值
；
当
时，
取最大值
.
19．求下列函数的最小值：
（1）
（2）
，
．
【答案】（1）最小值为f(1)＝－3；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用图像法求出最小值；
（2）分类讨论，研究f(x)在
上的单调性，利用单调性法求出最小值.
【详解】（1）函数f(x)的图象如图所示，由图可知：当x＝1 时，f(x)取最小值，最小值为f(1)＝－3.
（2）f(x)＝x2＋ax＋3＝
.函数f(x)的图象是开口向上，且以直线x＝－
为对称轴的抛物线．
① 当－
≤0，即a≥0 时，f(x)在[0， 1]上为增函数，此时当x＝0 时，函数取得最小值3；
② 当0<－
<1，即－2<a<0 时，f(x)在
上为减函数，在
上为增函数，此时当x＝－
时，
函数取最小值－
a2＋3；
当－
③
≥1，即a≤－2 时，f(x)在[0，1]上为减函数，此时当x＝1 时，函数取最小值4＋a.
所以
20．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
【答案】(1)图象，单调性见解析，最大值是
，最小值是
；
(2)图象，单调性见解析，最小值为
，无最大值；
(3)图象，单调性见解析，最小值为
，最大值为.
【分析】（1）根据一次函数图象即可；
（2）根据二次函数图象即可；
（3）根据分段函数图象即可.
【详解】（1）一次函数
的图象是一条直线，
在闭区间
上单调递减，最大值是
，最小值是
；
（2）
在
上是单调递增的,
当
时,
取得最小值
,函数无最大值.
（3）
，
画出函数
在
内的图象，如图所示：
在
、
上单调递减，在
、
上单调递增，
所以
的最小值为
，最大值为
.
21．已知函数
在区间
上具有单调性，求实数a 的取值范围.
【答案】
【分析】求得函数的对称轴，根据二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，画出草图如图所示.
由图象可知函数在
和
上都具有单调性，
因此要使函数
在区间[1，2]上具有单调性，只需
或
，
从而实数a 的取值范围是
.
22．若函数
在区间
上单调递减，求实数
的取值范围．
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】二次函数
的对称轴为：
，
因为函数
在区间
上单调递减，
所以
，
所以实数
的取值范围为
.
