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专题01 三角函数与三角恒等变换
一、三角函数
1．如图，P ,Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 A(1,0)出发，沿逆时针方向作匀
角速度运动,其角速度分别为 π
3 , π
6
（单位：弧度/秒），M为线段 PQ的中点，记经过x秒后(其中
0≤x ≤6)，f ( x)=|OM |
(I)求y = f ( x)的函数解析式；
(II)将f ( x)图象上的各点均向右平移2 个单位长度，得到 y = g( x)的图象，求函数 g= g( x)的单调递减区
间．
2．设函数f ( x)= 4 cos x sin( x−π
3 )+√3，x∈R.
（Ⅰ）当x∈[0,π
2 ]时，求函数f ( x)的值域；
（Ⅱ）已知函数y = f ( x)的图象与直线
有交点，求相邻两个交点间的最短距离.
3．已知tanα = 1
2
，且α是第三象限角，
（1）求sin α的值；
1
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（2）求sin
2( π
2 +α )+sin α ⋅cos(π −α )的值.
4．如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函
数y = A sin(ωx + 2π
3 )( A ＞0，ω＞0)，x∈[−4，0]时的图象，且图象的最高点为B(−1，2)，赛
道的中间部分为长√3千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
(1)求ω的值和∠DOE 的大小；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在
半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P 点的位置．
5． 在△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别为a,b,c.已知b+c =2a，3c sin B = 4 asinC.
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin(2B+ π
6)的值.
6．已知函数f ( x)=2cos
2ωx −1+2√3sin ωx cosωx(0<ω<1)，直线x = π
3
是函数f(x)的图象的一条对称
轴.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，然后再向左平移2π
3
个
2
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单位长度得到的，若g(2α + π
3 )= 6
5 , α ∈(0, π
2 ),求sin α的值.
7．已知函数f ( x)=2sin(2ωx + π
6 )+1．
(1)若f (x1)≤f (x)≤f (x2)，|x1−x2|min=π
2
，求f ( x)的对称中心；
(2)已知0<ω<5，函数f ( x)图象向右平移π
6
个单位，得到函数g(x)的图象，x =π
3
是g(x)的一个零点，
若函数g(x)在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10 个零点，求n−m的最小值；
(3)已知函数h( x)=acos(2 x−π
6 )−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,π
4 ]，存在
x2∈[0,π
4 ]，使得h( x1)= g( x2)成立，求实数a的取值范围．
8．已知函数g( x)=sin(x−π
6)，h( x)=cos x，从条件①f ( x)= g( x)⋅h( x)、条件②
f ( x)= g( x)+h( x)这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)f ( x)的最小正周期；
(2)f ( x)在区间[0, π
2]上的最小值.
9．在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B = a
c −b
2c
．
(1)求C；
(2)若c =2a，求sin B．
3
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10．已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2)，x = π
6 是函数f ( x)的对称轴，且f ( x)在区间
(
π
6 , 2π
3 )上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f ( x)的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数f ( x)的图象经过点A(0, 1
2)；
条件②：(
π
3 ,0)是f ( x)的对称中心；
条件③：(
5π
12 ,0)是f ( x)的对称中心.
(2)根据（1）中确定的f ( x)，求函数y = f ( x)(x∈[0, π
2])
的值域．
11．已知向量⃑a=(sin x , 3
4),⃑b=(cos x ,−1)．
(1)当⃑a//⃑b时，求cos
2 x−sin2 x的值；
(2)设函数f ( x)=2(⃑a+⃑b)⋅⃑b，已知在△ ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，若
a=√3,b=2,sin B = √6
3 ，求f ( x)+ 4 cos(2 A + π
6) (x∈[0，π
3])的取值范围．
12．已知3 π
4 <α <π， tanα ＋
1
tan a =−10
3
.
(1)求tan α的值；
(2)求sin α +cosα
sin α −cosα
的值；
(3)求2sin
2α −sinα co sα −3co s
2α .的值
4
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13．已知函数f (x)=2sin x⋅sin(x + π
6)．
(1)求f (x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈[t , π
3]
，都有|f (x)−√3
2 |≤√3
2
，求实数t的取值范围．
14．已知函数f (x)=sin(2 x + π
3)+cos(2 x + π
6)−2sin x cos x .
(1)求函数f (x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数y = f (x)的图象向左平移π
12
个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2
倍，得到函数y = g(x)的图象，求y = g(x)在[0，2π]上的单调递减区间.
15．已知函数f ( x)=⃗b⋅(⃗a+⃗c)，其中向量⃗a=(sin x ,−3cos x),⃗b=(sin x ,−cos x)，⃗
c =(−cos x ,sin x), x∈R．
(1)求f ( x)的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式|f ( x)−m|<3在x∈[
π
8 ,π
2 ]上恒成立，求实数m 的取值范围．
16．已知函数f (x)=2sin
2(x +π
4 )+√2cos(x−π
4 )(sin x−cos x)．
(1)求函数f (x)的对称中心及最小正周期；
(2)若θ∈(−π
8 , 3π
8 )，f (θ)= 6
5，求tanθ的值．
5
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17．已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)+ B(A >0,ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示.
(1)求函数f ( x)的解析式；
(2)将函数y = f ( x)图象上所有的点向右平移π
4
个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
2 倍（纵坐标不变），得到函数y = g( x)的图象.当x∈[0, 13π
6 ]时，方程g( x)−a=0恰有三个不相等的
实数根，x1, x2, x3(x1< x2< x3)，求实数a 的取值范围以及x1+2 x2+ x3
的值.
18．已知y = f (x)为奇函数，其中f (x)=cos(2 x +θ),θ∈(0,π).
(1)求函数y = f (x)的最小正周期和f (x)的表达式；
(2)若f(
α
2)=−4
5 ,α ∈(
π
2 ,π)，求sin(α +π
3 )的值.
19．已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,0<φ<π
2 )同时满足下列四个条件中的三个：①
f (−π
6 )=0；②f (0)=−1；③最大值为2；④最小正周期为π.
6
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(1)给出函数f ( x)的解析式，并说明理由；
(2)求函数f ( x)的单调递减区间.
20．已知函数f (x)=2sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π
2
）的部分图象如图所示.
(1)求f (x)的解析式，并求f (x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈[t ,π
3 ]
，都有|f (x)f(x−π
6 )−1|≤1，求实数t的取值范围.
二、三角恒等变换
21．已知函数f ( x)=
cos2 x
sin( x +π
4 )
．
(1)如果f (α )= 4
3
，试求sin 2α的值；
(2)求函数f ( x)的单调区间．
22．设f (x)=sin x +cos x (x∈R).
(1)判断函数y =[f(x +π
2 )]
2的奇偶性，并写出最小正周期；
(2)求函数y = f (x)f(x−π
4 )在[0,π
2 ]上的最大值.
7
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23．设函数f (x)= A sin ωx cosωx +cos
2ωx ( A >0,ω>0)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
两个作为已知，使得f (x)存在.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)当x∈[0,π
2 ]，若函数g(x)= f (x)−m恰有两个零点，求m的取值范围.
条件①：f (x)= f (−x)；
条件②：f (x)的最小值为−1
2
；
条件③：f (x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π
2
.
24．已知函数f ( x)=2sin ωx cosφ+2sin φ−4 sin
2 ωx
2 sin φ(ω>0,|φ|<π)，其图象的一条对称轴与相邻
对称中心的横坐标相差π
4
，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数f (x)的图象向
左平移π
3 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称且f (0)<0；②函数f (x)的图象的一个对称中心为(
π
12 ,0)
且f(
π
6 )>0.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标变为原来的1
t
(t >0)倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x)的图象，若函
数y = g(x)在区间[0,π
3 ]上恰有3 个零点，求t 的取值范围.
8
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25．设函数f (x)=2sin
2ωx +2√3sin ωx cosωx的图象关于直线x =π对称，其中ω为常数且ω∈(
1
2 ,1)
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)在△ABC中，已知f ( A)=3，且B =2C，求cos A cosC的值．
26．已知扇形OAB 的半径为1，∠AOB =π
3
，P 是圆弧上一点（不与A，B 重合），过P 作
PM ⊥OA , PN ⊥OB，M，N 为垂足．
(1)若PM = 1
2
，求PN 的长；
(2)设∠AOP = x，PM，PN 的线段之和为y，求y 的取值范围．
27．设函数f (x)= √3
2 sin2ωx +cos
2ωx，其中0<ω<2.
(1)若f (x)的最小正周期为π，求f (x)的单调增区间；
(2)若函数f (x)图像在(0,π
3 ]上存在对称轴，求ω的取值范围.
28．在①函数y = f ( x)的图像关于直线x =π
3
对称；
②函数y = f ( x)的图像关于点P(
π
6 ,0)对称；
9
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③函数y = f ( x)的图像经过点Q(
2π
3 ,−2)；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数f ( x)=2sin ωx cosφ+2cosωx sin φ(ω>0,|φ|<π
2 )最小正周期为π，
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值和最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
29．已知函数f (x)=2sin ωx cosφ+2sin φ−4 sin
2 ωx
2 sin φ (ω>0,|φ|<π)，其图像的一条对称轴与相邻
对称中心的横坐标相差π
4
，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.
①函数f (x)的图像向左平移π
3
个单位长度后得到的图像关于y 轴对称且f (0)<0；
②函数f (x)的图像的一个对称中心为(
π
12 ,0)且f(
π
6 )>0.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若关于x 的方程f (x)+ 1
2 f(2 x−π
3 )=2m有实根，求实数m 的取值范围.
30．已知函数f (x)=[sin(ωx +φ)−√3cos(ωx +φ)]cos(ωx +φ)+ √3
2 (ω>0,0<φ< π
2)为奇函数，且其图
象相邻两对称轴间的距离为π
2
.
(1)求ω和φ；
(2)当x∈[−π
12 ,π]
时，记方程2ωf(x + φ
2)=m的根为x1
，x2
，x3(x1< x2< x3)，求m⋅x2+ x3
x1−x3
的范围.
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31．已知函数f ( x)= tan x⋅tan2 x
tan2 x−tan x +√3(sin
2 x−cos
2 x).
(1)求函数f ( x)的定义域；
(2)若x∈(0,π
4 )∪(
π
4 ,π
2 )，求函数f ( x)的单调区间.
32．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3 tan A tanC = tan A + tanC +√3.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A +cosC的取值范围.
33．已知f (x)=sin ωx −√3cosωx，ω>0．
(1)若函数f (x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π
2 ，求f(
3π
2 )的值；
(2)若函数f (x)的图象关于(
π
3 ,0)对称，且函数f (x)在[0,π
4 ]上单调，求ω的值．
34．已知函数f ( x)=asin x cos x +cos(2 x +π
6 )，且f(
π
4 )= 1
2．
(1)求a的值和f ( x)的最小正周期；
(2)求f ( x)在[0,π]上的单调递增区间．
35．已知⃗a=(sin x +cos x ,2cosθ),⃗b=(2sinθ , 1
2 sin 2 x).
(1)若⃗c =(−3,4)且 x =π
4 ,θ∈(0,π)时，⃗a与⃗c的夹角为钝角，求cosθ的取值范围；
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(2)若θ =π
3 ，函数f (x)=⃗a⋅⃗b，求f (x)的最小值.
36．在△ABC中，A ,B ,C对应的边分别为a,b,c，且A ,B<π
2
．且
2sinC +cos2 A +cos2B =2
(1)求C；
(2)若a=b=2，BC上有一动点P（异于B、C），将△ABP沿AP 折起使BP 与CP 夹角为π
4
，求AB与平
面ACP所成角正弦值的范围．
37．已知函数f (x)=2√3sin ωx cosωx−2sin
2ωx +1(0<ω<2).在下面两个条件中选择其中一个，完成下
面两个问题：
条件①：在f (x)图象上相邻的两个对称中心的距离为π
2
；
条件②：f (x)的一条对称轴为x =π
6
.
(1)求ω；
(2)将f (x)的图象向右平移π
3 个单位（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π
3 ,π
3 ]上
的值域.
38．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度
不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：V (t )= A sin (2πft +φ)，
其中V (t )表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而A >0表示正弦
信号的幅度，f 是正弦信号的频率，相应的T = 1
f
为正弦信号的周期，φ为正弦信号的初相.由于正弦信号是
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一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）
去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路
中有四个电阻，电阻值分别为R1
，R2
，R3
，R4
（单位：Ω）.V 1(t )和V 2(t )是两个输入信号，V 0(t )表示的
是输出信号，根据加法器的工作原理，V 0(t )与V 1(t )和V 2(t )的关系为：
V 0(t )=(1+ R4
R3)⋅R2⋅V 1(t )+ R1⋅V 2(t )
R1+ R2
.例如当R1= R2= R3= R4=1Ω，输入信号V 1(t )=sin t，
V 2(t )=cost时，输出信号：V 0(t )=(1+ 1
1)⋅1⋅sin t +1⋅cost
1+1
=sin t +cost.
(1)若R1= R2= R3= R4=1Ω，输入信号V 1(t )=sin t，V 2(t )=cost，求V 0(t )的最大值；
(2)已知R2=1Ω，R3=2Ω，R4=3Ω，输入信号V 1(t )=sin(t +π
6 )，V 2(t )=cos(t +π
3 ).若
V 0(t )= A sin(t +π
3 )（其中A >0），求R1；
(3)已知R3=1Ω，R4=1Ω，0< R2< R1≤1Ω，且V 1(t )=sin t，V 2(t )=cos2t.若V 0(t )的最大值为3
2
，求满
足条件的一组电阻值R1，R2.
39．如图是函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的部分图象，已知⃗AB⋅⃗AC =2．
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(1)求ω；
(2)若f (2)−f(
4
3)=−√3
2 ，求φ．
40．在①8cos x cos(x +π
3 )；②−4 sin
2 x−4√3sin x⋅cos x + 4；③8cos
2 x−4 sin(2 x +π
6 )−2这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数f ( x)=______．
(1)求函数f ( x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，S 为△ABC的面积．若f ( x)在x = A处有最小值
−a，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
14
