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专题01 三角函数与三角恒等变换
一、三角函数
1．如图，P ,Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 A(1,0)出发，沿逆时针方向作匀
角速度运动,其角速度分别为 π
3 , π
6 （单位：弧度/秒），M为线段 PQ的中点，记经过x秒后(其中
0≤x ≤6)，f ( x)=|OM |
(I)求y = f ( x)的函数解析式；
(II)将f ( x)图象上的各点均向右平移2 个单位长度，得到 y = g( x)的图象，求函数 g= g( x)的单调递减区
间．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝cos π
12x，（0≤x≤6），（Ⅱ）[2，8]．
【分析】（Ⅰ）依题意可知∠POA= π
3 x，∠QOA= π
6 x，∠MOQ=
π
3 x−π
6 x
2
= π
12
x，从而求得f（x）＝|OM|
＝cos∠MOQ 的解析式；
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cos（π
12x−π
6 ）（2≤x≤8），由2kπ≤π
12x−π
6 ≤2kπ+π，求得x 的范围，可得函
数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间．
【详解】解：（Ⅰ）依题意可知∠POA= π
3 x，∠QOA= π
6 x．
∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|•cos∠MOQ＝cos∠MOQ，
∴∠MOQ=
π
3 x−π
6 x
2
= π
12
x，∴f（x）＝|OM|＝cos π
12x（0≤x≤6），
1
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即 f（x）＝cos π
12x，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cos π
12（x
2
﹣）＝cos（π
12x−π
6 ）（2≤x≤8），
由2kπ≤π
12x−π
6 ≤2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．
【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于基
础题．
2．设函数f ( x)= 4 cos x sin( x−π
3 )+√3，x∈R.
（Ⅰ）当x∈[0,π
2 ]时，求函数f ( x)的值域；
（Ⅱ）已知函数y = f ( x)的图象与直线
有交点，求相邻两个交点间的最短距离.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）π
3
【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数
f ( x)=2sin(2 x−π
3 )再根据基本三角函数性质求其值域；（Ⅱ）先根据方程解出交点坐标，再根据交点
间距离求最小值
试题解析：（Ⅰ）解：因为
=2sin(2 x−π
3 )，
因为 0≤x≤π
2 ，
所以−π
3 ≤2 x−π
3 ≤2π
3 ，
2
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所以 −√3
2 ≤sin(2 x−π
3 )≤1，
即−√3≤f ( x)≤2，
其中当x = 5 π
12 时，
取到最大值2；当
时，
取到最小值
，
所以函数f ( x)的值域为
.
（Ⅱ）依题意，得2sin(2 x−π
3 )=1，sin(2 x−π
3 )= 1
2，
所以2 x−π
3 =π
6 +2kπ或 2 x−π
3 = 5 π
6 +2kπ，
所以x =π
4 +kπ或 x = 7 π
12 + kπ (k ∈Z )，
所以函数y = f ( x)的图象与直线
的两个相邻交点间的最短距离为π
3 .
考点：两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函数性质
3．已知tanα = 1
2，且α是第三象限角，
（1）求sin α的值；
（2）求sin
2( π
2 +α )+sin α ⋅cos(π −α )的值.
【答案】(1)−√5
5
;(2)2
5.
【解析】（1）由同角三角函数的关系可得2sinα =cosα，结合sin
2α +cos
2α =1，α是第三象限角可得
sinα，cosα的值；
（2）利用诱导公式将原式化简，代入sinα，cosα的值可得答案.
【详解】解：(1)由tanα= 1
2，可得tanα= sinα
cosα = 1
2，即2sinα =cosα，
可得¿，由α是第三象限角，可得¿，
故sinα的值为−√5
5
;
(2) sin
2(
π
2 +α)+ sinα ⋅cos(π −α )=cos
2α −sinα ⋅cosα,
代入sinα =−√5
5 ，cosα =−2√5
5
的值，
3
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可得原式= 4
5 −2
5 = 2
5.
【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.
4．如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函
数y = A sin(ωx + 2π
3 )( A ＞0，ω＞0)，x∈[−4，0]时的图象，且图象的最高点为B(−1，2)，赛
道的中间部分为长√3千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
(1)求ω的值和∠DOE 的大小；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在
半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P 点的位置．
【答案】（1）ω= π
6 ；∠DOE = π
4 （2）Smax =3√2−3；(√2√6+2√3
2
, √2√6−2√3
2
)
【分析】(1)依题意,得A =2, T
4 =3，根据周期公式T = 2π
ω 可得ω,把B 的坐标代入结合已知可得φ，从而可
求∠DOE的大小
(2)由(1)可知OD =OP，矩形草坪的面积S 关于θ的函数，有0<θ≤π
4 ，结合正弦函数的性质可求S 取得最
大值
【详解】(1)由条件可得A =2，T
4 =3，∵T = 2π
ω ，∴ω= π
6 ，∴曲线段FBC 的解析式为
y =2sin(
π
6 x + 2π
3 )，当x =0时，y =OC =√3，又CD =√3，∴∠COD = π
4 ,∠DOE = π
4
(2)由(1)，可知OD =√6，又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE 上，
4
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故OP =√6，设∠POE =θ ,0<θ≤π
4 ， “矩形草坪”的面积为
S =√6 sinθ(√6cosθ−√6 sinθ)=6(sinθcosθ−sin
2θ)
=6(
1
2 sin 2θ+ 1
2 cos2θ−1
2)=3√2sin(2θ+ π
4)−3
∵0<θ≤π
4 ,故当2θ+ π
4 = π
2 时，θ = π
8 时，S取得最大值Smax =3√2−3，
此时x p=√6cos π
8 , y p=√6sin π
8
故面积最大值为：Smax =3√2−3，P点坐标为（√2√6+2√3
2
, √2√6−2√3
2
）
【点睛】本题主要考查了实际问题中，由y = Asin(ωx +φ)的部分图象确定函数的解析式，常规步骤为：
由函数的最值确定A 的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点(一般
用最值点)的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解，解题关键是要把
实际问题转化为数学问题来求解
5． 在△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别为a,b,c.已知b+c =2a，3c sin B = 4 asinC.
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin(2B+ π
6)的值.
【答案】(Ⅰ) −1
4 ；
(Ⅱ) −3√5+7
16
.
【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值
5
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(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B ,cos2B的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin(2B+ π
6)的值.
【详解】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理b
sinB =
c
sinC 得bsinC =csinB，
又由3csinB = 4 asinC，得3bsinC = 4 asinC，即3b= 4 a.
又因为b+c =2a，得到b= 4
3 a，c = 2
3 a.
由余弦定理可得cosB = a
2+c
2−b
2
2ac
=
a
2+ 4
9 a
2−16
9 a
2
2⋅a⋅2
3 a
=−1
4 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB =√1−cos
2B = √15
4 ，
从而sin 2B =2sinBcosB =−√15
8 ，cos2B =cos
2B−sin
2B =−7
8.
故sin(2B+ π
6)=sin 2Bcos π
6 +cos2Bsin π
6 =−√15
8 × √3
2 −7
8 × 1
2 =−3√5+7
16
.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正
弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
6．已知函数f ( x)=2cos
2ωx −1+2√3sin ωx cosωx(0<ω<1)，直线x = π
3 是函数f(x)的图象的一条对称
轴.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，然后再向左平移2π
3 个
单位长度得到的，若g(2α + π
3 )= 6
5 , α ∈(0, π
2 ),求sin α的值.
【答案】（1）[−2π
3 +2kπ , π
3 +2kπ],k ∈Z；（2）4√3−3
10
【解析】（1）首先化简函数f (x)=2sin(2ωx + π
6)，再根据x = π
3 是函数的一条对称轴，代入求ω，再求
函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到g(x)=2cos 1
2 x，并代入g(2α + π
3 )= 6
5后，得
6
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cos(α + π
6)= 3
5，再利用角的变换求sinα的值.
【详解】（1）f (x)=cos2ωx +√3sin 2ωx =2sin(2ωx + π
6)，
当x = π
3 时，ω× 2π
3 + π
6 = π
2 +kπ ,k ∈Z，得ω= 1
2 + 3k
2 ,k ∈Z，
∵0<ω<1，∴ω= 1
2，
即f (x)=2sin(x + π
6)，令−π
2 +2kπ ≤x + π
6 ≤π
2 +2kπ，
解得：−2π
3 +2kπ ≤x ≤π
3 +2kπ，k ∈Z，
函数的单调递增区间是[−2π
3 +2kπ , π
3 +2kπ],k ∈Z；
（2）g(x)=2sin[
1
2(x + 2π
3 )+ π
6]=2cos 1
2 x，
g(2α + π
3)=2cos(α + π
6)= 6
5 ，得cos(α + π
6)= 3
5，
∵α ∈(0, π
2)，α + π
6 ∈(
π
6 , 2π
3 )，sin(α + π
6)=√
1−cos
2(α + π
6)= 4
5
，
sinα =sin[(α + π
6)−π
6]=sin(α + π
6)cos π
6 −cos(α + π
6)sin π
6
= 4
5 × √3
2 −3
5 × 1
2 = 4√3−3
10
【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及y = Asin(ωx +φ)的性质，属于中档题型，
y = Asin(x +φ)的横坐标伸长（或缩短）到原来的1
ω倍，得到函数的解析式是y = Asin(ωx +φ)，若
y = Asinωx向右（或左）平移φ（φ>0）个单位，得到函数的解析式是y = Asin[ω(x−φ)]或
y = Asin[ω(x +φ)].
7
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7．已知函数f ( x)=2sin(2ωx + π
6 )+1．
(1)若f (x1)≤f (x)≤f (x2)，|x1−x2|min=π
2 ，求f ( x)的对称中心；
(2)已知0<ω<5，函数f ( x)图象向右平移π
6 个单位，得到函数g(x)的图象，x =π
3 是g(x)的一个零点，
若函数g(x)在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10 个零点，求n−m的最小值；
(3)已知函数h( x)=acos(2 x−π
6 )−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,π
4 ]，存在
x2∈[0,π
4 ]，使得h( x1)= g( x2)成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(−π
12 + kπ
2 ,1)(k ∈Z)或(
π
12 −kπ
2 ,1)(k ∈Z);
(2)13π
9
;
(3)(0, 8
3].
【分析】（1）由f (x1)≤f (x)≤f (x2)，|x1−x2|min=π
2 可求得函数f (x)的最小正周期，进而确定参数ω的
值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得g(x)的解析式，再由零点的定义
确定参数ω的值，结合图象可得n−m的最小值；（3）将所给条件转化为h( x)和g( x)的值域的包含关系，
即可求得参数a的取值范围．
【详解】（1）∵f ( x)=2sin(2ωx + π
6 )+1的最小正周期为T = 2π
|2ω|，
又∵f (x1)≤f (x)≤f (x2)，|x1−x2|min=π
2 ，∴f (x)的最小正周期是π，
故T = 2π
|2ω|= π，解得ω=±1，
当ω=1时，f (x)=2sin(2 x +π
6 )+1，由2 x +π
6 =kπ (k ∈Z)⇒x =−π
12 + kπ
2
(k ∈Z)，f (x)的对称中
心为(−π
12 + kπ
2 ，1)(k ∈Z)；
8
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当ω=−1时，f (x)=2sin(−2 x +π
6 )+1，由−2 x +π
6 =kπ (k ∈Z)⇒x =π
12 −kπ
2
(k ∈Z)，f (x)的对称
中心为(
π
12 −kπ
2 ，1)(k ∈Z)；
综上所述，f (x)的对称中心为(−π
12 + kπ
2 ,1)(k ∈Z)或(
π
12 −kπ
2 ,1)(k ∈Z).
（2）∵函数f (x)图象向右平移π
6 个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g( x)=2sin(2ωx +π
6 −π
3 ω)+1.
又∵x =π
3 是g(x)的一个零点，
g(π
3 )=2sin(
2π
3 ω+π
6 −π
3 ω)+1=0，即sin(
π
3 ω+π
6 )=- 1
2，
∴π
3 ω+π
6 =7π
6 +2kπ或π
3 ω+π
6 =11π
6
+2kπ ，k ∈Z，
解得ω=3+6k (k ∈Z)或ω=5+6k (k ∈Z)，
由0<ω<5可得ω=3
∴g( x)=2sin(6 x−5π
6 )+1，最小正周期T =π
3 .
令g(x)=0，则sin(6 x−5π
6 )=−1
2
即6 x−5π
6 =−π
6 +2k1π或6 x−5π
6 =−5π
6 +2k2π，k∈Z，解得x = k1π
3
+π
9 或x = k2π
3
，
k1,k2∈Z；
若函数g(x)在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10 个零点，故4T <n−m<6T
要使n−m最小，须m、n恰好为g(x)的零点，故(n−m)min= 4×π
3 +π
9 =13π
9
.
（3）由（2）知g( x)=2sin(6 x−5π
6 )+1，对任意x1∈[0,π
4 ]，存在x2∈[0,π
4 ]，使得
h( x1)= g( x2)成立，则{y|y=h(x)}⊆{y|y=g(x)}，
当x2∈[0,π
4 ]时，6 x−5π
6 ∈[−5π
6 ,2π
3 ],sin(6 x−5π
6 )∈[−1,1], g(x2)∈[−1,3]，
当x1∈[0,π
4 ]时，2 x−π
6 ∈[−π
6 ,π
3 ],cos(2 x−π
6 )∈[
1
2 ,1],h(x1)∈[−3
2 a+3,−a+3]，
9
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由{y|y=h(x)}⊆{y|y=g(x)}可得¿，解得a∈(0, 8
3]，
故实数a的取值范围为(0, 8
3].
【点睛】本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：
一般地，已知函数y = f (x), x∈[a,b]，y = g(x), x∈[c ,d]
（1）若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c ,d]，总有f (x1)<g(x2)成立，故f (x)max<g(x2)min；
（2）若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c ,d]，有f (x1)<g(x2)成立，故f (x)max< g(x2)max；
（3）若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c ,d]，有f (x1)<g(x2)成立，故f (x)min< g(x2)max；
（4）若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c ,d]，有f (x1)= g(x2)，则f (x)的值域是g(x)值域的子集．
8．已知函数g( x)=sin(x−π
6)，h( x)=cos x，从条件①f ( x)= g( x)⋅h( x)、条件②
f ( x)= g( x)+h( x)这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)f ( x)的最小正周期；
(2)f ( x)在区间[0, π
2]上的最小值.
【答案】(1)选条件①π；选条件②2π
(2)选条件①−1
2；选条件②1
2
【分析】选条件①：f ( x)= g( x)⋅h( x)；
（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得f ( x)= 1
2 sin(2 x−π
6 )−1
4 ，
由周期公式可得答案；
（2）根据x的范围求得sin(2 x−π
6)的范围可得答案；
选条件②：f ( x)= g( x)+h( x).
（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得f ( x)= sin(x + π
6)，
由周期公式可得答案；
10
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（2）根据x的范围求得sin(x + π
6)的范围可得答案.
【详解】（1）选条件①：f ( x)= g( x)⋅h( x)；
（1）f ( x)=sin(x−π
6)cosx =(
√3
2 sinx−1
2 cosx)cosx = √3
2 sinxcosx −1
2 cos
2 x
= √3
2 × 1
2 sin 2 x−1
2 × 1+cos2 x
2
= √3
4 sin 2 x−1
4 cos2 x−1
4
= 1
2 sin(2 x−π
6)−1
4 ，
所以f ( x)的最小正周期是π.
选条件②：f ( x)= g( x)+h( x).
f ( x)=sin(x−π
6)+cosx =(
√3
2 sinx−1
2 cosx)+cosx
= √3
2 sinx + 1
2 cosx
=sin(x + π
6)，
所以f ( x)最小正周期是2π.
（2）选条件①：f ( x)= g( x)⋅h( x)；
因为0≤x ≤π
2 ，
所以−π
6 ≤2 x−π
6 ≤5 π
6 ，
所以−1
2≤sin(2 x−π
6)≤1，
所以−1
2≤1
2 sin(2 x−π
6)−1
4 ≤1
4 ，
当2 x−π
6 =−π
6 ，即x =0时，f ( x)有最小值−1
2.
选条件②：f ( x)= g( x)+h( x).
因为0≤x ≤π
2 ，
11
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所以π
6 ≤x + π
6 ≤2π
3 ，
所以1
2≤sin(x + π
6)≤1，
当x + π
6 = π
6 ，即x =0时，f ( x)有最小值1
2.
9．在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B = a
c −b
2c ．
(1)求C；
(2)若c =2a，求sin B．
【答案】(1)π
3
(2)√3+√39
8
【分析】（1）首先利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角即可得到sinA，再根据同角三角函数的基本关系求出cosA，最后根据
sinB =sin ( A +C)利用两角和的正弦公式计算可得；
【详解】（1）解：因为cosB = a
c −b
2c ，
即2ccosB =2a−b，由正弦定理可得2sinCcosB =2sinA −sinB，
又sinA =sin[π −(B+C )]=sin (B+C )，
即2sinCcosB =2sin (B+C)−sinB，
所以2sinCcosB =2sinBcosC +2cosBsinC −sinB，
即2sinBcosC = sinB，因为sinB>0，所以cosC = 1
2，又C ∈(0,π )，所以C = π
3
（2）解：因为c =2a，所以sinA = 1
2 sinC = 1
2 × √3
2 = √3
4 ，
因为c>a，所以cosA =√1−sin
2 A = √13
4 ，
所以sinB =sin ( A +C)= sinAcosC +cosAsinC = √3
4 × 1
2 + √13
4 × √3
2 = √3+√39
8
10．已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2)，x = π
6 是函数f ( x)的对称轴，且f ( x)在区间
12
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(
π
6 , 2π
3 )上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f ( x)的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数f ( x)的图象经过点A(0, 1
2)；
条件②：(
π
3 ,0)是f ( x)的对称中心；
条件③：(
5π
12 ,0)是f ( x)的对称中心.
(2)根据（1）中确定的f ( x)，求函数y = f ( x)(x∈[0, π
2])的值域．
【答案】(1)f ( x)=sin(2 x + π
6 )
(2)[−1
2 ,1]
【分析】（1）根据题意得到0<ω≤2和π
6 ×ω+φ =kπ + π
2
(k ∈Z)，
再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出2 x + π
6 所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.
【详解】（1）因为f ( x)在区间(
π
6 , 2π
3 )上单调，所以T
2 ≥2π
3 −π
6 = π
2 ，
因为T = 2π
|ω|，且ω>0，解得0<ω≤2；又因为x = π
6 是函数f ( x)的对称轴，
所以π
6 ×ω+φ =kπ + π
2
(k ∈Z)；
若选条件①：因为函数f ( x)的图象经过点A(0, 1
2)，所以sinφ = 1
2，
因为|φ|< π
2 ，所以φ = π
6 ， 所以π
6 ×ω+ π
6 =kπ+ π
2 ，即ω=6k +2(k ∈Z)，
当k =0时，ω=2，满足题意，故f ( x)=sin(2 x + π
6 ).
若选条件②：因为(
π
3 ,0)是f ( x)的对称中心，所以π
3 ×ω+φ =mπ (m∈Z)，
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所以¿，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为(
5π
12 ,0)是f ( x)的对称中心，所以5 π
12 ×ω+φ =mπ (m∈Z)，
所以¿，解得¿，所以f ( x)=sin(2 x + π
6 ).
（2）由（1）知，f ( x)=sin(2 x + π
6 )，
所以y = f ( x)(x∈[0, π
2])等价于f ( x)=sin(2 x + π
6 )，x∈[0, π
2]，
所以2 x + π
6 ∈[
π
6 , 7 π
6 ]，所以sin(2 x + π
6 )∈[−1
2 ,1]，
即函数y = f ( x)(x∈[0, π
2])的值域为：[−1
2 ,1].
11．已知向量⃑a=(sin x , 3
4),⃑b=(cos x ,−1)．
(1)当⃑a//⃑b时，求cos
2 x−sin2 x的值；
(2)设函数f ( x)=2(⃑a+⃑b)⋅⃑b，已知在△ ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，若
a=√3,b=2,sin B = √6
3 ，求f ( x)+ 4 cos(2 A + π
6) (x∈[0，π
3])的取值范围．
【答案】(1)8
5
(2)[
√3
2 −1,√2−1
2]
【分析】（1）由⃑a//⃑b，可得tanx =−3
4 ，化简cos
2 x−sin 2 x可得cos
2 x−sin2 x = 1−2tanx
1+ tan
2 x ，再代值计
算即可，
（2）由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得f ( x)=√2sin(2 x + π
4)+ 3
2，再利用
正弦定理可求得A = π
4 ，从而可得f ( x)+ 4 cos(2 A + π
6) =√2sin(2 x + π
4)−1
2，由x∈[0，π
3]，得
14
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2 x + π
4 ∈[
π
4 ，11π
12 ]，再利用正弦函数的性质可求得其范围
【详解】（1）因为⃑a=(sinx , 3
4),⃑b=(cosx ,−1)，⃑a//⃑b，
所以sinx
cosx =−3
4 ，所以tanx =−3
4 ，
所以cos
2 x−sin2 x =cos
2 x−2sinxcosx = cos
2 x−2sinxcosx
sin
2 x +cos
2 x
= 1−2tanx
1+ tan
2 x
=
1+2× 3
4
1+ 9
16
= 8
5
（2）因为⃑a=(sinx , 3
4),⃑b=(cosx ,−1)，
所以⃑a+⃑b=(sinx +cosx ,−1
4)，
所以f ( x)=2(⃑a+⃑b)⋅⃑b=2[cosx(sinx +cosx)+ 1
4]
=2sinxcosx +2cos
2 x + 1
2
=sin 2 x +cos2 x + 3
2
=√2sin(2 x + π
4)+ 3
2，
在△ ABC 中，a=√3,b=2,sinB = √6
3 ，
所以由正弦定理得a
sinA =
b
sinB ，
√3
sinA = 2
√6
3
，得sinA = √2
2 ，
因为a<b，所以角A为锐角，所以A = π
4 ，
所以f ( x)+ 4 cos(2 A + π
6)
=√2sin(2 x + π
4)+ 3
2 + 4 cos(2× π
4 + π
6)
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=√2sin(2 x + π
4)−1
2，
因为x∈[0，π
3]，所以2 x + π
4 ∈[
π
4 ，11π
12 ]，
所以sin 11π
12 ≤sin(2 x + π
4)≤sin π
2 ，
因为sin 11π
12 =sin(
2π
3 + π
4)=sin 2π
3 cos π
4 +cos 2π
3 sin π
4 = √6−√2
4
，
所以√6−√2
4
≤sin(2 x + π
4)≤1，
所以√3−1
2
≤√2sin(2 x + π
4)≤√2，
所以√3−1
2
−1
2 ≤√2sin(2 x + π
4)−1
2 ≤√2−1
2，
所以f ( x)+ 4 cos(2 A + π
6) (x∈[0，π
3])的取值范围为[
√3
2 −1,√2−1
2]
12．已知3 π
4 <α <π， tanα ＋
1
tan a =−10
3 .
(1)求tan α的值；
(2)求sin α +cosα
sin α −cosα 的值；
(3)求2sin
2α −sinα cosα −3cos
2α .的值
【答案】(1)−1
3
(2)−1
2
(3)−11
5
【分析】（1）根据tanα＋
1
tana =−10
3 可得3tan
2α ＋10tana+3=0，解方程并结合角的范围求得tanα；
（2）利用弦化切，将sinα +cosα
sinα −cosα 化为tanα +1
tanα −1，可得答案；
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（3）利用1=sin
2α +cos
2α，将2sin
2α −sinαcosα −3co s
2α化为2sin
2α −sinαcosα −3co s
2α
sin
2α +cos
2α
，继而
化为2tan
2α −tanα −3
tan
2α +1
，求得答案.
【详解】（1）由tanα＋
1
tana =−10
3 得3tan
2α ＋10tana+3=0，
解得tanα =−3或−1
3 ，
因为3 π
4 <α <π，故−1<tanα <0，则tanα =−1
3；
（2）sinα +cosα
sinα −cosα = tanα +1
tanα −1 =
−1
3 +1
−1
3 −1
=−1
2；
（3）2sin
2α −sinαcosα −3co s
2α = 2sin
2α −sinαcosα −3co s
2α
sin
2α +cos
2α
= 2tan
2α −tanα −3
tan
2α +1
=
2(−1
3 )
2
+ 1
3 −3
(−1
3 )
2
+1
=−11
5 .
13．已知函数f (x)=2sin x⋅sin(x + π
6)．
(1)求f (x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈[t , π
3]，都有|f (x)−√3
2 |≤√3
2 ，求实数t的取值范围．
【答案】(1)[−π
12 + kπ , 5 π
12 +kπ],k ∈Z
(2)[0, π
3)
【分析】（1）f (x)的解析式可化简为f (x)=sin(2 x−π
3)+ √3
2 ，令−π
2 +2kπ ≤2 x−π
3 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z，
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即可解得f (x)的单调递增区间
（2）对恒成立的不等式等价转化后，结合2 x−π
3 的范围可得−π
3 ≤2t −π
3 < π
3 ，从而解得t的范围
【详解】（1）f (x)=2sinx⋅sin(x + π
6)=2sinx(
√3
2 sinx + 1
2 cosx)
= sinxcosx +√3sin
2 x = 1
2 sin 2 x + √3
2
(1−cos2 x)=sin(2 x−π
3)+ √3
2
令−π
2 +2kπ ≤2 x−π
3 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z
解之得 −π
12 +kπ ≤x ≤5 π
12 + kπ ,k ∈Z
∴f (x)的单调递增区间为[−π
12 +kπ , 5 π
12 +kπ],k ∈Z
（2）对任意x∈[t , π
3]，都有|f (x)−√3
2 |≤√3
2 ⇔|sin(2 x−π
3)|≤√3
2 ，
∵2 x−π
3 ∈[2t −π
3 , π
3]，
∴−π
3 ≤2t −π
3 < π
3 ，
∴0≤t < π
3 ，
∴实数t的范围为[0, π
3)．
14．已知函数f (x)=sin(2 x + π
3)+cos(2 x + π
6)−2sin x cos x .
(1)求函数f (x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数y = f (x)的图象向左平移π
12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2
倍，得到函数y = g(x)的图象，求y = g(x)在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为π，对称轴方程为x =−π
12 + kπ
2 ，k ∈Z
(2)[0, 2π
3 ],[
5 π
3 ,2π]
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【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得f (x)=2cos(2 x + π
6)，再根据周期的公
式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得g(x)=2cos(x + π
3)，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【详解】（1）f (x)= 1
2 sin2x+ √3
2 cos2x+ √3
2 cos2x- 1
2 sin2x-sin2x，
f (x)=√3cos2x-sin2x=2(
√3
2 cos2x- 1
2 sin2x)
=2(cos2xcos π
6 −sin 2 xsin π
6)=2cos(2 x + π
6)，
所以函数f (x)的最小正周期为π，
令2 x + π
6 =kπ，k ∈Z，得函数f (x)的对称轴方程为x =−π
12 + kπ
2 ，k ∈Z .
（2）将函数y = f (x)的图象向左平移π
12个单位后所得图象的解析式为
y =2cos[2(x + π
12)+ π
6]=2cos(2 x + π
3)，
所以g(x)=2cos(2× 1
2 x + π
3)=2cos(x + π
3)，
令2kπ ⩽x + π
3 ⩽π +2kπ，
所以−π
3 +2kπ ⩽x⩽2π
3 +2kπ ,k ∈Z.又x∈[0,2π ]，
所以y = g(x)在[0,2π ]上的单调递减区间为[0, 2π
3 ],[
5 π
3 ,2π].
15．已知函数f ( x)=⃗b⋅(⃗a+⃗c)，其中向量⃗a=(sin x ,−3cos x),⃗b=(sin x ,−cos x)，⃗
c =(−cos x ,sin x), x∈R．
(1)求f ( x)的解析式及对称中心和单调减区间；
(2)不等式|f ( x)−m|<3在x∈[
π
8 ,π
2 ]上恒成立，求实数m 的取值范围．
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【答案】(1)f (x)=2+√2sin(2 x + 3 π
4 )，对称中心为(
kπ
2 −3 π
8 ,2),k ∈Z，单调减区间是
[−π
8 +kπ , 3 π
8 + kπ],k ∈Z
(2)(−1,5−√2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得f ( x)，再利用正弦函数的性质即可求
解；
(2)由题意可得：f ( x)−3<m<f ( x)+3在x∈[
π
8 ,π
2 ]上恒成立，求出f ( x)的最值，转化为¿，解之即可.
【详解】（1）f ( x)=⃗b⋅(⃗a+⃗c)=(sinx ,−cosx)⋅(sinx −cosx ,sinx −3cosx)
=sin
2 x−2sinxcosx +3cos
2 x =1−sin 2 x +2cos
2 x
=2+cos2 x−sin 2 x =2+√2sin(2 x + 3 π
4 )
令2 x + 3 π
4 =kπ ⇔x = kπ
2 −3 π
8 ，对称中心(
kπ
2 −3 π
8 ,2),k ∈Z
又令π
2 +2kπ ≤2 x + 3 π
4 ≤3 π
2 +2kπ ⇒−π
8 +kπ ≤x ≤3 π
8 +kπ，
所以单调减区间是[−π
8 +kπ , 3 π
8 +kπ],k ∈Z
（2）∵不等式|f ( x)−m|<3在x∈[
π
8 ,π
2 ]上恒成立，
∴−3<f ( x)−m<3，即f ( x)−3<m<f ( x)+3在x∈[
π
8 ,π
2 ]上恒成立，
∴f ( x)max−3<m<f ( x)min+3，
因为 x∈[
π
8 ,π
2 ]，所以2 x + 3 π
4 ∈[ π , 7 π
4 ]，
当2 x + 3 π
4 = 3 π
2 ，即x = 3 π
8 时，f ( x)取得最小值，
最小值为f ( x)min=2+√2sin 3 π
2 =2−√2，
当2 x + 3 π
4 = π，即x = π
8 时，f ( x)取得最大值，
最大值为f ( x)max =2，
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即¿，得−1<m<5−√2，
即实数m 的取值范围是(−1,5−√2)
16．已知函数f (x)=2sin
2(x +π
4 )+√2cos(x−π
4 )(sin x−cos x)．
(1)求函数f (x)的对称中心及最小正周期；
(2)若θ∈(−π
8 , 3π
8 )，f (θ)= 6
5 ，求tanθ的值．
【答案】(1)函数f (x)的对称中心为(
kπ
2 + π
8 ,1)，k ∈Z，函数f (x)的最小正周期为π；
(2)tanθ = 1
2.
【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数f (x)的解析式，结合正弦函数性质求函数f (x)的对称中心及最
小正周期；(2)由(1)可得sin(2θ−π
4)= √2
10 ，结合两角差正弦函数，二倍角公式，同角关系化简可求tanθ.
【详解】（1）
f (x)=2sin
2(x +π
4 )+√2cos(x−π
4 )(sinx−cosx)
=1−cos(2 x +π
2 )+√2cos(x−π
4 )√2sin(x−π
4 )
=1+sin 2 x +2sin(x−π
4 )cos(x−π
4 )
=1+sin 2 x +sin(2 x−π
2 )，
=1+sin2 x−cos2 x，
=√2sin(2 x−π
4)+1，
令2 x−π
4 =kπ，k ∈Z，可得x = kπ
2 + π
8 ，k ∈Z，
又f(
kπ
2 + π
8)=√2sin (kπ )+1=1，
所以函数f (x)的对称中心为(
kπ
2 + π
8 ,1)，k ∈Z，
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函数f (x)的最小正周期T = 2π
2 = π；
（2）因为f (θ)= 6
5 ，所以√2sin(2θ−π
4)+1= 6
5 ，
所以sin(2θ−π
4)= √2
10 ，
所以√2
2 sin 2θ−√2
2 cos2θ = √2
10 ，
所以sin 2θ−cos2θ = 1
5，
所以10 sinθcosθ−5(cos
2θ−sin
2θ)=sin
2θ+cos
2θ，
所以4 sin
2θ+10 sinθcosθ−6cos
2θ =0，
因为θ∈(−π
8 , 3 π
8 )，所以cosθ>0，
故2tan
2θ+5tanθ−3=0，
所以(2tanθ−1)(tanθ+3)=0，
所以tanθ=−3或tanθ = 1
2，
又θ∈(−π
8 , 3 π
8 )，故tanθ = 1
2.
17．已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)+ B(A >0,ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示.
(1)求函数f ( x)的解析式；
(2)将函数y = f ( x)图象上所有的点向右平移π
4 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
2 倍（纵坐标不变），得到函数y = g( x)的图象.当x∈[0, 13π
6 ]时，方程g( x)−a=0恰有三个不相等的
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实数根，x1, x2, x3(x1< x2< x3)，求实数a 的取值范围以及x1+2 x2+ x3的值.
【答案】(1)f ( x)=2sin(2 x +π
3 )+3
(2)a∈[2,3]，x1+2 x2+ x3= 14 π
3
【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出A =2,B =3，得到最小正周期，求出ω= 2π
T =2，
再代入特殊点的坐标，求出φ =π
3 ，得到函数解析式；
（2）先根据平移变换和伸缩变换得到g( x)=2sin(x−π
6 )+3，令t = x−π
6 ∈[−π
6 ,2π]，换元后利用
整体法求出函数的单调性和端点值，得到a∈[2,3]，再根据对称性得到
t1+t2=2×π
2 = π ,t2+t3=2×3π
2 =3 π，相加后得到(x1−π
6 )+2(x2−π
6 )+(x3−π
6 )= 4 π，求出答案.
【详解】（1）由图示得：¿，解得：A = 5−1
2
=2,B = 5+1
2
=3，
又T
2 = 7
12 π- 1
12 π=π
2 ，所以T = π，所以ω= 2π
T =2，
所以f ( x)=2sin(2 x +φ)+3.
又因为f ( x)过点(
π
12 ,5)，所以5=2sin(2×π
12 +φ)+3，即sin(
π
6 +φ)=1，
所以π
6 +φ=π
2 +2kπ ,k ∈Z，解得φ=π
3 +2kπ ,k ∈Z，
又|φ|< π
2 ，所以φ=π
3 ，所以f ( x)=2sin(2 x +π
3 )+3.
（2）y = f ( x)图象上所有的点向右平移π
4 个单位长度，得到
f ( x)=2sin[2(x−π
4 )+π
3 ]+3=2sin(2 x−π
6 )+3，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到g( x)=2sin(x−π
6 )+3，
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当x∈[0, 13 π
6 ]时，x−π
6 ∈[−π
6 ,2π]，
令t = x−π
6 ∈[−π
6 ,2π]，则2sin(x−π
6 )+3=2sint +3，
令h(t )=2sint +3，在t ∈[−π
6 ,π
2 ]上单调递增，在t ∈(
π
2 ,3π
2 ]上单调递减，
在t ∈(
3π
2 ,2π]上单调递增，
且h(−π
6 )=2sin(−π
6 )+3=2,h(
π
2 )=2sinπ
2 +3=5，
h(
3 π
2 )=2sin 3 π
2 +3=1,h(2π )=2sin 2π +3=3,
所以a∈[2,3]时，.当x∈[0, 13 π
6 ]时，方程g( x)−a=0恰有三个不相等的实数根.
因为h(t )−a=0有三个不同的实数根t1,t2,t3(t1<t2<t3)，
且t1,t2关于t =π
2 对称，t2,t3关于t =3π
2 对称，
则t1+t2=2×π
2 = π ,t2+t3=2×3π
2 =3 π，
两式相加得：t1+2t2+t3= 4 π，
即(x1−π
6 )+2(x2−π
6 )+(x3−π
6 )= 4 π，所以x1+2 x2+ x3= 14 π
3
.
18．已知y = f (x)为奇函数，其中f (x)=cos(2 x +θ),θ∈(0,π).
(1)求函数y = f (x)的最小正周期和f (x)的表达式；
(2)若f(
α
2)=−4
5 ,α ∈(
π
2 ,π)，求sin(α +π
3 )的值.
【答案】(1)π，f (x)=−sin 2 x
(2)4−3√3
10
【分析】（1）根据2cos2 xcosθ =0列关于θ的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根据f(
α
2)=−4
5 ,α ∈(
π
2 ,π)，求出sinα= 4
5 ，与cosα然后再求解.
【详解】（1）因为y = f (x)为奇函数，
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所以f (x)+ f (−x)=0，
化简得到求出2cos2 xcosθ =0
θ∈(0,π )，所以θ =π
2
f (x)=−sin 2 x，最小正周期是π；
（2）若f(
α
2)=−4
5 ,∴sinα = 4
5
∵α ∈(
π
2 ,π),∴cosα =−3
5
所以sin(α +π
3 )= sinαcosπ
3 +cosαsinπ
3 = 4−3√3
10
19．已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,0<φ<π
2 )同时满足下列四个条件中的三个：①
f (−π
6 )=0；②f (0)=−1；③最大值为2；④最小正周期为π.
(1)给出函数f ( x)的解析式，并说明理由；
(2)求函数f ( x)的单调递减区间.
【答案】(1)f ( x)=2sin(2 x +π
3 ），理由见解析
(2)[kπ +π
12 ,kπ + 7 π
12 ](k ∈Z )
【分析】（1）由A >0,0<φ<π
2 可以排除条件②，再利用条件①③④根据特殊值、最值与周期公式即可求
解；
（2）运用整体思想直接代入正弦函数的单调递减区间即可求解.
【详解】（1）依题意，
若函数f ( x)满足条件②，则f (0)= Asinφ =−1，
这与A >0,0<φ<π
2 矛盾，所以f ( x)不能满足条件②，
所以f ( x)应满足条件①③④
由条件④得2π
|ω|=π，且ω>0，所以ω=2，
由条件③得A =2，
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再由条件①得f (−π
6 )=2sin(−π
3 +φ）=0，
且0<φ<π
2 ， 所以φ=π
3 ，
所以f ( x)=2sin(2 x +π
3 ）；
（2）由2kπ +π
2 ≤2 x +π
3 ≤2kπ + 3 π
2 ,(k ∈Z )，
得kπ +π
12 ≤x ≤kπ + 7 π
12 ,(k ∈Z )，
所以f ( x)的单调递减区间为[kπ +π
12 ,kπ + 7 π
12 ](k ∈Z ).
20．已知函数f (x)=2sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π
2 ）的部分图象如图所示.
(1)求f (x)的解析式，并求f (x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈[t ,π
3 ]，都有|f (x)f(x−π
6 )−1|≤1，求实数t的取值范围.
【答案】(1)f (x)=2sin(2 x +π
3 )，单调递增区间为[kπ −5 π
12 ,kπ +π
12](k ∈Z)
(2)[
π
4 ,π
3 )
【分析】（1）先求出f (x)的周期，再代点进去求出φ，从而得到f (x)的解析式后，进而利用整体法即可求
得f (x)的单调递增区间；
（2）先根据三角恒等变换化简绝对值内的表达式，再利用正弦函数的性质进行解不等式即可.
【详解】（1）由图象可得f (x)的最小正周期T = 4(
7 π
12 −π
3 )= π，∴|ω|= 2π
T =2，又ω>0可知ω=2，
26
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由2× 7 π
12 +φ = 3 π
2 +2kπ，k ∈Z解得φ=π
3 +2kπ，k ∈Z，
又因为|φ|<π
2 ，得φ=π
3 ，∴f (x)=2sin(2 x +π
3 ).
由2kπ −π
2 ≤2 x +π
3 ≤2kπ +π
2 ，k ∈Z，解得kπ −5 π
12 ≤x ≤kπ +π
12，k ∈Z，
所以函数f (x)的单调递增区间为[kπ −5 π
12 ,kπ +π
12](k ∈Z).
（2）f (x)f(x−π
6 )=2sin(2 x +π
3 )⋅2sin 2 x = 4(
1
2 sin 2 x + √3
2 cos2 x)⋅sin 2 x
=2sin
22 x +2√3sin 2 xcos2 x =√3sin 4 x−cos 4 x +1=2sin(4 x−π
6 )+1.
由|f (x)f(x−π
6 )−1|≤1得|2sin(4 x−π
6 )|≤1，−1
2 ≤sin(4 x−π
6 )≤1
2.
∵x∈[t ,π
3 ]，∴4t −π
6 ≤4 x−π
6 ≤7 π
6 ，
作出y = sinx的部分图像如下：
结合图像可知：5 π
6 ≤4t −π
6 < 7 π
6 ，解得π
4 ≤t <π
3 .
所以实数t的取值范围为[
π
4 ,π
3 ).
二、三角恒等变换
21．已知函数f ( x)=
cos2 x
sin( x +π
4 )．
(1)如果f (α )= 4
3 ，试求sin 2α的值；
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(2)求函数f ( x)的单调区间．
【答案】(1)1
9；
(2)递增区间是(2kπ −5π
4 ,2kπ −π
4 )(k ∈Z )，递减区间是(2kπ −π
4 ,2kπ +3π
4 )(k ∈Z ).
【分析】（1）利用二倍角公式、和角的正弦公式及辅助角公式变形函数f ( x)，再利用诱导公式、二倍角
公式求解作答.
（2）根据给定函数的定义域，结合余弦函数的单调性求解作答.
【详解】（1）函数f ( x)=
cos2 x
sin( x +π
4 )中，x +π
4 ≠kπ ,k ∈Z，即x≠kπ −π
4 ,k ∈Z，
f ( x)= cos
2 x−sin
2 x
√2
2 (sinx +cosx)
=√2(cosx −sinx)=2cos( x +π
4 )，由f (α )= 4
3 ，得cos(α +π
4 )= 2
3，
所以sin2α =−cos(2α +π
2 )=−cos2(α +π
4 )=−2cos
2(α +π
4 )+1=−2×( 2
3 )
2
+1= 1
9
.
（2）由（1）知，函数f ( x)的定义域为{x∈R| x≠kπ −π
4 ,k ∈Z }，即有cos( x +π
4 )≠±1，
由2kπ −π < x +π
4 <2kπ ,k ∈Z，得2kπ −5π
4 < x<2kπ −π
4 ,k ∈Z，
由2kπ < x +π
4 <2kπ + π ,k ∈Z，得2kπ −π
4 < x<2kπ +3π
4 ,k ∈Z，
所以函数f ( x)的递增区间是(2kπ −5π
4 ,2kπ −π
4 )(k ∈Z )，递减区间是
(2kπ −π
4 ,2kπ +3π
4 )(k ∈Z ).
22．设f (x)=sin x +cos x (x∈R).
(1)判断函数y =[f(x +π
2 )]
2
的奇偶性，并写出最小正周期；
(2)求函数y = f (x)f(x−π
4 )在[0,π
2 ]上的最大值.
【答案】(1)非奇非偶函数，π
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(2)1+ √2
2
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简y =[f(x +π
2 )]
2
，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，
即可求得答案；
（2）化简y = f (x)f(x−π
4 )，结合x∈[0,π
2 ]，求得2 x−π
4 ∈[−π
4 ,3π
4 ]，结合正弦函数的性质，
即可求得答案.
【详解】（1）由题意得f (x)= sinx +cosx =√2sin( x +π
4 )，
故y =[f(x +π
2 )]
2
=[√2sin( x +π
2 +π
4 )]
2
=2sin
2( x +3π
4 )
=1−cos(2 x +3π
2 )=1−sin2 x，令g( x)=1−sin 2 x，x∈R,
由于g(−x)=1−sin 2(−x)=1+sin 2 x不恒等于g( x)，也不等于−g( x)，
故y =[f(x +π
2 )]
2
为非奇非偶函数，
其最小正周期为2π
2 = π；
（2）由题意可得y = f (x)f(x−π
4 )=[√2sin( x +π
4 )](√2sinx)
=√2sin
2 x +√2sinxcosx = √2(1−cos2 x)
2
+ √2
2 sin 2 x
=sin(2 x−π
4 )+ √2
2 ，
因为x∈[0,π
2 ]，所以2 x−π
4 ∈[−π
4 ,3π
4 ]，故sin(2 x−π
4 )∈[−√2
2 ,1]，
故sin(2 x−π
4 )+ √2
2 的最大值为1+ √2
2 ，
即函数y = f (x)f(x−π
4 )在[0,π
2 ]上的最大值为1+ √2
2
.
23．设函数f (x)= A sin ωx cosωx +cos
2ωx ( A >0,ω>0)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
29
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两个作为已知，使得f (x)存在.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)当x∈[0,π
2 ]，若函数g(x)= f (x)−m恰有两个零点，求m的取值范围.
条件①：f (x)= f (−x)；
条件②：f (x)的最小值为−1
2；
条件③：f (x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π
2 .
【答案】(1)选择条件②③，f (x)=sin(2 x +π
6 )+ 1
2
(2)[1, 3
2)
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简f (x)，再根据正弦
函数的图象和性质即可求解；
（2）根据x的取值范围得到2 x +π
6 的取值范围，再求出函数f (x)在[0,π
2 ]上的单调性，依题意y = f (x)
的图象与直线y =m在[0,π
2 ]上有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）若选择条件①，
因为f (x)= A
2 sin2ωx +cos
2ωx，所以f (−x)= A
2 sin (−2ωx)+cos
2(−ωx)=−A
2 sin2ωx +cos
2ωx，
由f (x)=f(−x)可得Asin2ωx =0对x∈R恒成立，与A >0,ω>0矛盾，
所以选择条件②③.
由题意可得f (x)= A
2 sin 2ωx + 1
2 cos2ωx + 1
2 = √A
2+1
2
sin (2ωx +φ)+ 1
2
，
其中cosφ =
A
√A
2+1
，sinφ =
1
√A
2+1
，
因为f (x)的最小值为−1
2，所以−√A
2+1
2
+ 1
2 =−1
2
，解得A =√3，
所以sinφ= 1
2，设−π
2 <φ<π
2 ，则φ =π
6 ，
由f (x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π
2 ，可得T
2 =π
2 ，
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所以T = 2π
2ω = π，解得ω=1，
所以f (x)=sin(2 x +π
6 )+ 1
2.
（2）当x∈[0,π
2 ]时，2 x +π
6 ∈[
π
6 ,7π
6 ]，
令π
6 ≤2 x +π
6 ≤π
2 ，解得0≤x ≤π
6 ，所以f (x)在[0,π
6 ]上单调递增，
且1
2 ≤sin(2 x +π
6 )≤1，则1≤f (x)≤3
2，
令π
2 ≤2 x +π
6 ≤7π
6 ，解得π
6 ≤x ≤π
2 ，所以f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上单调递减，
且−1
2 ≤sin(2 x +π
6 )≤1，则0≤f (x)≤3
2，
因为函数g(x)= f (x)−m恰有两个零点，所以y = f (x)与y =m在[0,π
2 ]上有两个交点，
所以1≤m< 3
2，即实数m的取值范围为[1, 3
2).
24．已知函数f ( x)=2sin ωx cosφ+2sin φ−4 sin
2 ωx
2 sin φ(ω>0,|φ|<π)，其图象的一条对称轴与相邻
对称中心的横坐标相差π
4 ，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数f (x)的图象向
左平移π
3 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称且f (0)<0；②函数f (x)的图象的一个对称中心为(
π
12 ,0)
且f(
π
6 )>0.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标变为原来的1
t
(t >0)倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x)的图象，若函
数y = g(x)在区间[0,π
3 ]上恰有3 个零点，求t 的取值范围.
【答案】(1)f ( x)=2sin(2 x−π
6 )
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(2)[
13
4 , 19
4 )
【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得f ( x)=2sin(ωx +φ)，根据最小正周期求出ω，若选①，则根
据三角函数的图象平移变换求得φ，可得解析式；若选②，则根据三角函数的对称性求得φ，即得解析式；
（2）根据三角函数的伸缩变换可得g(x)=2sin(2tx −π
6 )，结合x 的取值范围，确定
2tx−π
6 ∈[−π
6 , 2πt
3 −π
6 ]，结合函数的零点个数即可求得t 的取值范围.
【详解】（1）由题意可得f ( x)=2sinωxcosφ+2sinφ−4 sin
2 ωx
2 sinφ
=2sinωxcosφ+2sinφ−sinφ(2−2cosωx)=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ，
=2sin(ωx +φ)，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π
4 ，故T = 4×π
4 = 2π
ω ,∴ω=2,
故f ( x)=2sin(2 x +φ).
若选①，函数f (x)的图象向左平移π
3 个单位长度后得到的图象对应的函数为y =2sin[2( x +π
3 )+φ]，
由题意知该函数为偶函数，故2
3 π+φ=π
2 +kπ ,k ∈Z ,∴φ=−π
6 +kπ ,k ∈Z，
由于|φ|<π且f (0)<0，即sinφ<0，故φ =−π
6 ，
故f ( x)=2sin(2 x−π
6 )；
若选②，函数f (x)的图象的一个对称中心为(
π
12 ,0)且f(
π
6 )>0，
则π
6 +φ =kπ ,∴φ =kπ −π
6 ,k ∈Z，
由于|φ|<π且f(
π
6 )>0，即sin(π
3 +φ)>0，故φ =−π
6 ，
故f ( x)=2sin(2 x−π
6 )；
（2）由题意可得g(x)=2sin(2tx−π
6 ),x∈[0,π
3 ],∴2tx−π
6 ∈[−π
6 , 2πt
3 −π
6 ]，
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由于y = g(x)在区间[0,π
3 ]上恰有3 个零点，故2π ≤2πt
3 −π
6 <3 π，
即t ∈[
13
4 , 19
4 ).
25．设函数f (x)=2sin
2ωx +2√3sin ωx cosωx的图象关于直线x =π对称，其中ω为常数且ω∈(
1
2 ,1)
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)在△ABC中，已知f ( A)=3，且B =2C，求cos A cosC的值．
【答案】(1)f ( x)=2sin( 5
3 x−π
6 )+1；
(2)1
4 .
【分析】（1）应用倍角正余弦公式化简函数式，根据对称轴有2ωπ −π
6 =π
2 +kπ且k ∈Z，结合参数范
围求参数值，即可得函数解析式；
（2）由题设得sin( 5
3 A −π
6 )=1求得A =2π
5 ，根据已知求得B =2π
5 ,C =π
5 ，然后利用三角恒等变换结
合条件即得.
【详解】（1）因为f (x)=2sin
2ωx +2√3 sinωxcosωx，
所以f (x)=1−cos(2ωx)+√3sin(2ωx)=2sin(2ωx−π
6 )+1，
由题意2ωπ −π
6 =π
2 +kπ且k ∈Z，则ω=1
3 + k
2且k ∈Z，
由ω∈(
1
2 ,1)，则k =1，故ω=1
3 + 1
2 = 5
6，
所以f ( x)=2sin( 5
3 x−π
6 )+1.
（2）由f ( A )=2sin( 5
3 A −π
6 )+1=3，则sin( 5
3 A −π
6 )=1，0< A <π，
所以5
3 A −π
6 ∈(−π
6 ,3π
2 )，故5
3 A −π
6 =π
2 ，可得A =2π
5 ，
所以B+C = π −A =3π
5 ，而B =2C，故B =2π
5 ,C =π
5 ，
所以sinC =sin 4C，且A =2C，
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所以cosAcosCsinC =cos2CcosCsinC = 1
4 sin 4C，
所以cosAcosC = 1
4 .
26．已知扇形OAB 的半径为1，∠AOB =π
3 ，P 是圆弧上一点（不与A，B 重合），过P 作
PM ⊥OA , PN ⊥OB，M，N 为垂足．
(1)若PM = 1
2，求PN 的长；
(2)设∠AOP= x，PM，PN 的线段之和为y，求y 的取值范围．
【答案】(1)1
2；
(2)( √3
2 ,1].
【分析】（1）在直角△POM与直角△PON中，利用锐角三角函数的定义求解作答.
（2）由（1）中信息，把y 用x 的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.
【详解】（1）在△POM中，PM ⊥OA，则sin∠POM = PM
OP = 1
2，显然∠POM ∈(0,π
3 )，
则∠POM =π
6 ，从而∠PON =∠AOB−∠POM =π
3 −π
6 =π
6 ，
在△PON中，PN ⊥OB，所以PN =OPsin∠PON =1×sinπ
6 = 1
2.
（2）依题意，∠PON =∠AOB−∠POM =π
3 −x , x∈(0,π
3 )
PM =OPsin∠POM = sinx , PN =OPsin∠PON =sin(π
3 −x)，
因此y = sinx +sin(π
3 −x)= sinx + √3
2 cosx −1
2 sinx = 1
2 sinx + √3
2 cosx =sin( x +π
3 )，
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显然x +π
3 ∈(π
3 ,2π
3 )，于是sin( x +π
3 )∈( √3
2 ,1]，
所以y 的取值范围是( √3
2 ,1].
27．设函数f (x)= √3
2 sin2ωx +cos
2ωx，其中0<ω<2.
(1)若f (x)的最小正周期为π，求f (x)的单调增区间；
(2)若函数f (x)图像在(0,π
3 ]上存在对称轴，求ω的取值范围.
【答案】(1)[−π
3 + kπ ,π
6 + kπ]，k ∈Z
(2)1
2 ≤ω<2
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函数的
单调性求解；
（2）利用正弦函数y = sinx的对称轴公式求参数的范围.
【详解】（1）由题意，
f (x)= √3
2 sin2ωx+cos
2ωx = √3
2 sin2ωx+ 1
2 (cos2ωx +1)=sin(2ωx +π
6 )+ 1
2，
又0<ω<2，于是2π
2ω = π，则ω=1，则f (x)=sin(2 x +π
6 )+ 1
2，
根据正弦函数的单调递增区间，令2 x +π
6 ∈[2kπ −π
2 ,2kπ +π
2 ],k ∈Z，
解得[−π
3 +kπ ,π
6 +kπ]，k ∈Z,即为f ( x)的单调递增区间.
（2）当x∈(0,π
3 ]，2ωx +π
6 ∈(
π
6 , 2πω
3
+π
6 ]，
注意到题干0<ω<2，则2πω
3
+π
6 ∈(
π
6 , 3 π
2 )，
根据正弦函数y = sinx的对称轴x =kπ +π
2 ,k ∈Z，
显然只有k =0时一条对称轴x =π
2 ∈(
π
6 , 3 π
2 )，
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于是2πω
3
+π
6 ≥π
2 ，解得ω≥1
2，
结合0<ω<2可得1
2 ≤ω<2
28．在①函数y = f ( x)的图像关于直线x =π
3 对称；
②函数y = f ( x)的图像关于点P(
π
6 ,0)对称；
③函数y = f ( x)的图像经过点Q(
2π
3 ,−2)；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数f ( x)=2sin ωx cosφ+2cosωx sin φ(ω>0,|φ|<π
2 )最小正周期为π，
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值和最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）首先得出f ( x)=2sin(ωx +φ)，根据最小正周期为π得出ω，选①：根据y = sinx的对称轴
x =kπ +π
2 (k ∈Z )，结合φ的范围即可求得f ( x)；选②：根据y = sinx的对称中心(kπ ,0)(k ∈Z )，结
合φ的范围即可求得f ( x)；选③：将点的坐标代入f ( x)，得出φ =2kπ +π
6 (k ∈Z )，再结合φ的范围即
可求得f ( x)；
（2）根据函数解析式，求出2 x +φ的范围，结合y = sinx的图像，即可求出f ( x)的最大值与最小值．
【详解】（1）由题意得f ( x)=2(sinωxcosφ+cosωxsinφ)=2sin(ωx +φ)，
因为f ( x) 最小正周期为π，
所以ω= 2π
T =2，即f ( x)=2sin(2 x +φ)，
选①：函数y = f ( x)的图像关于直线x =π
3 对称，
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则2×π
3 +φ=kπ +π
2 (k ∈Z )，即φ=kπ −π
6 (k ∈Z )，
又因为|φ|<π
2 ，
所以φ=−π
6 ，即f ( x)=2sin(2 x−π
6 )；
选②：函数y = f ( x)的图像关于点P(
π
6 ,0)对称，
则2×π
6 +φ=kπ(k ∈Z )，即φ=kπ −π
3 (k ∈Z )
又因为|φ|<π
2 ，
所以φ=−π
3 ，即f ( x)=2sin(2 x−π
3 )；
选③：函数y = f ( x)的图像经过点Q(
2π
3 ,−2)，
则f (2π
3 )=2sin(4π
3 +φ)=−2，即sin(π
3 +φ)=1，
所以φ=2kπ +π
6 (k ∈Z )，
又因为|φ|<π
2 ，
所以φ=π
6 ，即f ( x)=2sin(2 x +π
6 )，
综上所述，选①f ( x)=2sin(2 x−π
6 )；选②f ( x)=2sin(2 x−π
3 )；选③f ( x)=2sin(2 x +π
6 )．
（2）选①，f ( x)=2sin(2 x−π
6 )，
当x∈[
π
6 ,π
2 ]时，2 x−π
6 ∈[π
6 ,5π
6 ]，
所以f ( x)∈[1,2]，
所以函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为2和最小值为1；
选②，f ( x)=2sin(2 x−π
3 )，
当x∈[
π
6 ,π
2 ]时，2 x−π
3 ∈[0,2π
3 ]，
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所以f ( x)∈[0,2]，
所以函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为2和最小值为0；
选③，f ( x)=2sin(2 x +π
6 )，
当x∈[
π
6 ,π
2 ]时，2 x +π
6 ∈[π
2 ,7π
6 ]，
所以f ( x)∈[−1,2]，
所以函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为2和最小值为−1；
综上所述，选①，函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为2和最小值为1；
选②，函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为2和最小值为0；
选③，函数f (x)在[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为2和最小值为−1．
29．已知函数f (x)=2sin ωx cosφ+2sin φ−4 sin
2 ωx
2 sin φ (ω>0,|φ|<π)，其图像的一条对称轴与相邻
对称中心的横坐标相差π
4 ，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.
①函数f (x)的图像向左平移π
3 个单位长度后得到的图像关于y 轴对称且f (0)<0；
②函数f (x)的图像的一个对称中心为(
π
12 ,0)且f(
π
6 )>0.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若关于x 的方程f (x)+ 1
2 f(2 x−π
3 )=2m有实根，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)f (x)=2sin(2 x−π
6 )
(2)[−3
4 , 3
2]
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简，然后由条件可得ω，根据正弦型函数的性质结合条件即可
求得φ；
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（2）根据题意，将方程根问题转化为两函数交点问题，再结合换元法求得 y = f (x)+ 1
2 f(2 x−π
3 )的值
域，即可得到结果.
【详解】（1）因为f (x)=2sinωxcosφ+2sinφ−4 sin
2 ωx
2 sinφ
=2sinωxcosφ+2sinφ−2(1−cosωx)sinφ
=2sinωxcosφ+2cosωxsinφ =2sin (ωx +φ)，
又其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π
4 ，
所以T
4 =π
4 ，即T = π，所以ω=2，即f (x)=2sin (2 x +φ)，
若选①，则函数向左平移π
3 个单位长度后为y =2sin(2 x + 2π
3 +φ)，
又其为偶函数，所以2π
3 +φ=π
2 +kπ ,k ∈Z，即φ =−π
6 + kπ ,k ∈Z，
又因为|φ|<π，且f (0)<0，所以φ=−π
6
，所以f (x)=2sin(2 x−π
6 )；
若选②，因为函数f (x)的图像的一个对称中心为(
π
12 ,0)，
则sin(2×π
12 +φ)=0，即π
6
+φ=kπ ,k ∈Z，所以φ=−π
6
+kπ ,k ∈Z，
又因为|φ|<π，且f(
π
6 )>0，所以φ=−π
6
，所以f (x)=2sin(2 x−π
6 )，
故无论选①还是选②，都有f (x)=2sin(2 x−π
6 )
（2）因为f (x)+ 1
2 f(2 x−π
3 )=2sin(2 x−π
6 )+sin[2(2 x−π
3 )−π
6 ]
=2sin(2 x−π
6 )+sin[2(2 x−π
6 )−π
2 ]=2sin(2 x−π
6 )−cos[2(2 x−π
6 )]
=2sin
2(2 x−π
6 )+2sin(2 x−π
6 )−1，令sin(2 x−π
6 )=t，则t ∈[−1,1]，
即y =2t
2+2t −1,t ∈[−1,1]，则y ∈[−3
2 ,3]
则方程f (x)+ 1
2 f(2 x−π
3 )=2m有实根，即y1=2t
2+2t +1,t ∈[−1,1]与y2=2m有交点，所以
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2m∈[−3
2 ,3]，则m∈[−3
4 , 3
2]
30．已知函数f (x)=[sin(ωx +φ)−√3cos(ωx +φ)]cos(ωx +φ)+ √3
2 (ω>0,0<φ< π
2)为奇函数，且其图
象相邻两对称轴间的距离为π
2 .
(1)求ω和φ；
(2)当x∈[−π
12 ,π]时，记方程2ωf(x + φ
2)=m的根为x1，x2，x3(x1< x2< x3)，求m⋅x2+ x3
x1−x3
的范围.
【答案】(1)ω=1，φ = π
6
(2)[−4
3 ,0]
【分析】（1）根据三角恒等变换得f (x)=sin(2ωx +2φ−π
3)，再利用相邻对称轴的距离求出ω，根据其
为奇函数，利用f (0)=0即可求出φ；
（2）由（1）得sin(2 x + π
6)= m
2 ，利用整体换元法和三角函数图象知m∈[0,1]，再根据三角函数的对称
性和周期性得x2+ x3= 4 π
3 ，x3−x1= π，最后即可得其范围.
【详解】（1）f (x)=sin (ωx +φ)cos(ωx +φ)−√3cos
2(ωx +φ)+ √3
2
= 1
2 sin(2ωx +2φ)−√3
2 [2cos
2(ωx +φ)−1]= 1
2 sin(2ωx +2φ)−√3
2 cos(2ωx +2φ)
=sin(2ωx +2φ−π
3)，
因为函数f (x)图象的相邻两对称轴间的距离为π
2 ，所以T = π，可得2π
2ω = π ,ω=1.
又因为函数f (x)=sin(2 x +2φ−π
3)为奇函数，
所以f (0)=sin(2φ−π
3)=0，则2φ−π
3 =kπ，k ∈Z，解得φ= kπ
2 + π
6 .
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由0<φ< π
2 得φ = π
6 .
此时f (x)=sin 2 x，易知其为奇函数.
（2）由（1）知，2ωf(x + φ
2)=m⇒2sin(2 x + π
6)=m，即sin(2 x + π
6)= m
2 .
因为x∈[−π
12 ,π]，可得2 x + π
6 ∈[0, 13 π
6 ]，
结合正弦函数图象知，m
2 ∈[0, 1
2]，即m∈[0,1].
且2 x2+ π
6 +2 x3+ π
6 =3 π，2 x3+ π
6 −(2 x1+ π
6)=2π，
则x2+ x3= 4 π
3 ，x3−x1= π，
故m⋅x2+ x3
x1−x3
∈[−4
3 ,0].
31．已知函数f ( x)= tan x⋅tan 2 x
tan 2 x−tan x +√3(sin
2 x−cos
2 x).
(1)求函数f ( x)的定义域；
(2)若x∈(0,π
4 )∪(
π
4 ,π
2 )，求函数f ( x)的单调区间.
【答案】(1){x|x≠kπ
4 ,k ∈Z}
(2)f ( x)的单调递增区间为(0,π
4 ),(
π
4 , 5 π
12)，单调递减区间为(
5 π
12 ,π
2 )
【分析】（1）先列出关于x 的不等式组，解之即可求得函数f ( x)的定义域；
（2）先化简f ( x)的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数f ( x)的单调区间.
【详解】（1）tan 2 x−tanx ≠0，即2tanx
1−tan
2 x
−tanx ≠0，则tanx ≠0，即x≠kπ ,k ∈Z，
又tan2 x ,tanx有意义，则¿，k ∈Z，
综上可得，x≠kπ
4 ，k ∈Z，则函数f ( x)的定义域为{x|x≠kπ
4 ,k ∈Z}
（2）f ( x)= tanx⋅tan2 x
tan2 x−tanx +√3(sin
2 x−cos
2 x)
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=
sinx
cosx ⋅sin 2 x
cos2 x
sin 2 x
cos2 x −sinx
cosx
−√3(cos
2 x−sin
2 x)
=
sinxsin2 x
cosxsin2 x−sinxcos2 x −√3cos2 x
=
sinx⋅2sinx⋅cosx
cosx ⋅2sinx⋅cosx −sinxcos2 x −√3cos2 x
=
2sinx⋅cosx
cosx ⋅2cosx −cos2 x −√3cos2 x
=
sin2 x
2cos
2 x−cos2 x
−√3cos2 x =sin 2 x−√3cos2 x
=2⋅(
1
2 sin 2 x−√3
2 cos2 x) =2sin(2 x−π
3 )(x≠kπ
4 ,k ∈Z)
∵x∈(0,π
4 )∪(
π
4 ,π
2 )，则2 x−π
3 ∈(−π
3 ,π
6 )∪(
π
6 ,2π
3 )，
由2 x−π
3 ∈(−π
3 ,π
6 )∪(
π
6 ,π
2 )，解得x∈(0,π
4 )∪(
π
4 , 5 π
12)，
由2 x−π
3 ∈(
π
2 , 2π
3 )，解得x∈(
5 π
12 ,π
2 )，
即f ( x)的单调递增区间为(0,π
4 ),(
π
4 , 5 π
12)，单调递减区间为(
5 π
12 ,π
2 )
32．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3 tan A tanC = tan A + tanC +√3.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A +cosC的取值范围.
【答案】(1)B =π
3
(2)(
√3
2 ,1]
【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，
（2）根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）tan ( A +C)= tanA +tanC
1−tanAtanC = √3tanAtanC −√3
1−tanAtanC
= −√3(1−tanAtanC )
1−tanAtanC
=−√3，
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又A +C = π −B,所以tan ( A +C)= tan (π-B)=−tanB =−√3⇒tanB =√3,
由于B为三角形的内角，所以B =π
3 ,
（2）由于B =π
3 ，所以A =2π
3 −C,
故cosA +cosC =cos(
2π
3 −C)+cosC =−1
2 cosC + √3
2 sinC +cosC = 1
2 cosC + √3
2 sinC =cos(C −π
3 ),
由于△ABC为锐角三角形，所以A =2π
3 −C ∈(0,π
2 )且C ∈(0,π
2 )，故C ∈(
π
6 ,π
2 )，
则C −π
3 ∈(−π
6 ,π
6 )，故cos(C −π
3 )∈(
√3
2 ,1]，
故cosA +cosC的取值范围为(
√3
2 ,1]
33．已知f (x)=sin ωx −√3cosωx，ω>0．
(1)若函数f (x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π
2 ，求f(
3π
2 )的值；
(2)若函数f (x)的图象关于(
π
3 ,0)对称，且函数f (x)在[0,π
4 ]上单调，求ω的值．
【答案】(1)√3
(2)1
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意1
2 T =π
2 ，即可求出ω，从而得到函数解析式，再代入
计算可得；
（2）由对称性得到ω=3k +1，k ∈Z，再由函数在区间上的单调性求出ω的范围，即可得解.
【详解】（1）因为f (x)= sinωx −√3cosωx =2(
1
2 sinωx −√3
2 cosωx)=2sin(ωx −π
3 )，
因为函数f (x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π
2 ，
所以1
2 T =π
2 ，则T = π，所以T = 2π
ω = π，解得ω=2，
所以f (x)=2sin(2 x−π
3 )，所以f(
3 π
2 )=2sin(2× 3 π
2 −π
3 )=2sinπ
3 =2× √3
2 =√3.
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（2）由f (x)=2sin(ωx −π
3 )，函数f (x)的图象关于(
π
3 ,0)对称，
所以πω
3
−π
3 =kπ，k ∈Z，所以ω=3k +1，k ∈Z，
由x∈[0,π
4 ]，ω>0，则ωx −π
3 ∈[−π
3 ,πω
4
−π
3 ]，
又函数f (x)在[0,π
4 ]上单调，所以¿，解得0<ω≤10
3 ，
所以当k =0时ω=1.
34．已知函数f ( x)=asin x cos x +cos(2 x +π
6 )，且f(
π
4 )= 1
2．
(1)求a的值和f ( x)的最小正周期；
(2)求f ( x)在[0,π]上的单调递增区间．
【答案】(1)a=2，T = π
(2)[0,π
12]，[
7π
12 ,π]
【分析】（1）根据f(
π
4 )= 1
2代入求出a，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为f ( x)=asinxcosx +cos(2 x +π
6 )，且f(
π
4 )= 1
2，
所以f(
π
4 )=asinπ
4 cosπ
4 +cos(2×π
4 +π
6 )=a× √2
2 × √2
2 −1
2 = 1
2，解得a=2，
所以f ( x)=2sinxcosx +cos(2 x +π
6 ) =sin 2 x +cos2 xcosπ
6 −sin 2 xsinπ
6
=sin 2 x + √3
2 cos2 x−1
2 sin 2 x = √3
2 cos2 x + 1
2 sin 2 x =sin(2 x +π
3 )，
即f (x)=sin(2 x +π
3 )，所以f (x)的最小正周期T = 2π
2 = π；
（2）由−π
2 +2kπ ≤2 x +π
3 ≤π
2 +2kπ，k ∈Z，
解得−5π
12 + kπ ≤x ≤π
12 + kπ，k ∈Z，
所以f (x)=sin(2 x +π
3 )的单调递增区间为[−5π
12 +kπ ,π
12 +kπ]，k ∈Z，
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当k =0时f (x)的单调递增区间为[−5π
12 ,π
12]，
当k =1时f (x)的单调递增区间为[
7π
12 ,13π
12 ]，
所以f (x)在[0,π ]上的单调递增区间为[0,π
12]，[
7π
12 ,π].
35．已知⃗a=(sin x +cos x ,2cosθ),⃗b=(2sinθ , 1
2 sin 2 x).
(1)若⃗c =(−3,4)且 x =π
4 ,θ∈(0,π)时，⃗a与⃗c的夹角为钝角，求cosθ的取值范围；
(2)若θ =π
3 ，函数f (x)=⃗a⋅⃗b，求f (x)的最小值.
【答案】(1)(−1,−2√2
3
)∪(−2√2
3
, 3√2
8
)；
(2)1
2 −√6.
【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出cosθ范围作答.
（2）利用数量积的坐标表示求出函数f (x)，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.
【详解】（1）当 x =π
4 时， ⃗a=(√2,2cosθ)，⃗a与⃗c的夹角为钝角，
于是⃗a⋅⃗c<0，且⃗a与⃗c不共线，
则 ⃗a⋅⃗c =−3√2+8cosθ<0，解得cosθ< 3√2
8
，又θ∈(0,π )，即cosθ∈(−1,1)，
则有−1<cosθ< 3√2
8
，又当⃗a与⃗c共线时，4√2+6cosθ =0，解得cosθ =−2√2
3
，
因此⃗a与⃗c不共线时，cosθ≠−2√2
3
，
所以cosθ的取值范围是(−1,−2√2
3
)∪(−2√2
3
, 3√2
8
).
（2）依题意，当θ =π
3 时，f (x)=⃗a⋅⃗b=(sinx +cosx ,1)⋅(√3, 1
2 sin 2 x)
=√3 sinx +√3cosx + 1
2 sin 2 x =√3(sinx +cosx)+ sinxcosx，
令t = sinx +cosx =√2sin( x +π
4 )∈[−√2,√2]，则sinxcosx = t
2−1
2
，
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于是f (x)=√3t + t
2−1
2
= 1
2 (t +√3)
2−2，而函数y = 1
2 (t +√3)
2−2在t ∈[−√2,√2]上为增函数，
则当t =−√2时，y 有最小值1
2 −√6，
所以f (x)的最小值为1
2 −√6.
36．在△ABC中，A ,B ,C对应的边分别为a,b,c，且A ,B<π
2 ．且
2sinC +cos2 A +cos2B =2
(1)求C；
(2)若a=b=2，BC上有一动点P（异于B、C），将△ABP沿AP 折起使BP 与CP 夹角为π
4 ，求AB与平
面ACP所成角正弦值的范围．
【答案】(1)π
2
(2)(0, 1
2)
【分析】（1）方法一：边角转化得到sin
2 A +sin
2B = sinC之后，分类讨论A + B和π
2 的大小；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量来求线面角；
方法二：利用等体积法结合几何体中的数据关系表示出线面角的正弦进行求解.
【详解】（1）方法一：由2sinC +cos2 A +cos2B =2，结合二倍角公式可得，
2sinC +1−2sin
2 A +1−2sin
2B =2，
即sin
2 A +sin
2B = sinC.
若A + B<π
2 ，则A <π
2 −B，于是0< A <π
2 −B<π
2 ，
根据正弦函数y = sinx在(0,π
2 )上递增可得，
sinA <sin(
π
2 −B)=cosB，类似的有sinB<sin(
π
2 −A)=cosA，
于是sin
2 A +sin
2B<sinAcosB + sinBcosA =sin( A + B)=sin(π −C )= sinC，
这与sin
2 A +sin
2B = sinC矛盾；
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若A + B>π
2 ，则A >π
2 −B，于是0<π
2 −B< A <π
2 ，
根据正弦函数y = sinx在(0,π
2 )上递增可得，
sinA >sin(
π
2 −B)=cosB，
类似的有sinB>sin(
π
2 −A)=cosA，于是
sin
2 A +sin
2B>sinAcosB + sinBcosA =sin( A + B)=sin(π −C )= sinC，
这与sin
2 A +sin
2B = sinC矛盾；
若A + B =π
2 ，即C =π
2 ，此时sin
2 A +sin
2B =sin
2 A +sin
2(
π
2 −A)=sin
2 A +cos
2 A =1=sinπ
2 = sinC
确实成立.
综上所述，C =π
2 .
方法二：将A + B = π −C代入2sinC +cos2 A +cos2B =2可得
2sin ( A + B)+cos2 A +cos2B =2，
再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得
sin
2 A +sin
2B−sinAcosB−cosAsinB =0
所以sinA (sinA −cosB)+ sinB (sinB−cosA)=0，
即sinA[sinA −sin(
π
2 −B)]+ sinB[sinB−sin(
π
2 −A)]=0，
再由和差化积公式可得：
2sinAcos(
A −B
2
+π
4 )sin(
A + B
2
−π
4 )+2sinBcos(
B−A
2
+π
4 )sin(
A + B
2
−π
4 )=0，
所以2sin(
A + B
2
−π
4 )[sinAcos(
A −B
2
+π
4 )+ sinBcos(
B−A
2
+π
4 )]=0
不妨设A ≥B，则π
4 ≤A −B
2
+π
4 <π
2 ,0< B−A
2
+π
4 ≤π
4 ，
所以sinA >0,sinB>0,cos(
A −B
2
+π
4 )>0,cos(
B−A
2
+π
4 )>0，
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即sin(
A + B
2
−π
4 )=0，又−π
4 < A + B
2
−π
4 <π
4 ，所以A + B
2
−π
4 =0，
可得A + B =π
2 ，所以C =π
2 .
（2）
由题意，折叠后的几何体如下，设CP =a，则BP =2−a (0<a<2)
在△BCP中，若∠BPC =π
4 ，由余弦定理得，
BC
2=a
2+(2−a)
2−2a(2−a)cosπ
4 =(2+√2)(a
2−2a+ 4−2√2).
下以C为原点，CP,CA分别为x , y轴，过C垂直于平面△APC的直线为z轴.
设B( x , y , z)，则A(0,2,0)，P(a,0,0)，由
BC
2= x
2+ y
2+ z
2=(2+√2)(a
2−2a+ 4−2√2)①
B A
2= x
2+( y −2)
2+ z
2=8②
B P
2=( x−a)
2+ y
2+ z
2=(2−a)
2③，
由①②解得：y =(
1
2 + √2
4 )a
2−(1+ √2
2 )a，
由①③解得：x =(1+ √2
2 )a−√2，
根据线面角的定义，（不妨取z是正数），
则AB与平面ACP所成角正弦值为z
AB =
z
2√2.
记t = √2+2
4
，则x
2+( y −2)
2= 4 t
2a
2−4√2ta+t
2a
2(a−2)
2−4ta(a−2)+6
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=t
2a
4−4 t
2a
3+(8t
2−4 t )a
2+ 4 t(2−√2)a+6=h(a)，
注意到2
t = 4(2−√2)，于是h(a)=t
2a
4−4 t
2a
3+(8t
2−4 t )a
2+2a+6，
又h
'(a)=2(2t
2a
3−6t
2a
2+(8t
2−4 t )a+1)
h
'(2)=2(8t
2−8t +1)，而t = √2+2
4
，
故(4 t −2)
2=2⇔8t
2−8t =−1，故h
'(2)=0，
根据多项式除法，2t
2a
3−6t
2a
2+(8t
2−4 t )a+1约去因式(a−2)，
得到(2t
2a
2−2t
2a−1
2)，即h
'(a)=2(2t
2a
2−2t
2a−1
2)(a−2)=(4 t
2a
2−4t
2a−1)(a−2)，
根据求根公式可得，4 t
2a
2−4 t
2a−1=0的正实根为4t
2+√16t
4+16t
2
8t
2
≈1.27，
故h(a)在(0,1.27)上递增，在(1.27,2)上递减，
经计算得到h(2)>h(0)，故h(a)= x
2+( y −2)
2在(0,2)上的值域为(h(0),h(1.27)]=(6,8.35]，注意到
x
2+( y −2)
2+ z
2=8，
故x
2+( y −2)
2<8，于是x
2+( y −2)
2∈(6,8)，故z
2∈(0,2)，即z∈(0,√2)，
于是直线AB与平面ACP所成角正弦值的范围是z
2√2 ∈(0, 1
2).
在△BCP中，若∠BPC =3π
4 ，同理可得，直线AB与平面ACP所成角正弦值的范围是z
2√2 ∈(0, 1
2).
方法二：
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作BO⊥底面ACP，垂足为O，连接AO，设B到平面ACP的距离为h，A到平面BCP的距离为d，
CP=2−m,BP =m，由题意知0<m<2.
先说明AC和平面BCP不可能垂直，否则由AC ⊥平面BCP可得AC ⊥BC，由AB =2√2，AC =2可得
BC =2，这与CP =2−m,BP =m矛盾，于是AC是平面BCP的斜线，即d < AC =2.
由V B−ACP=V A −BCP可得，1
3 ×h×S△ACP= 1
3 ×d ×S△BCP，即
h= d ⋅S△BCP
S△ACP
=
1
2 ⋅m⋅(2−m)⋅sin 45
∘⋅d
1
2 ⋅2⋅(2−m)
= √2md
4
< √2m
4
⋅2= √2m
2
.
设∠BAO=θ，根据线面角的定义，θ即为AB与平面ACP所成角.
于是sinθ = h
AB =
h
2√2 <
√2
2 m
2√2 = m
4 < 1
2
，即sinθ∈(0, 1
2).
37．已知函数f (x)=2√3sin ωx cosωx−2sin
2ωx +1(0<ω<2).在下面两个条件中选择其中一个，完成下
面两个问题：
条件①：在f (x)图象上相邻的两个对称中心的距离为π
2 ；
条件②：f (x)的一条对称轴为x =π
6 .
(1)求ω；
(2)将f (x)的图象向右平移π
3 个单位（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π
3 ,π
3 ]上
的值域.
【答案】(1)ω=1
(2)[−2,1]
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【分析】（1）由三角函数的恒等变换对f ( x)进行化简，再分别由条件①②求ω的值．
（2）由三角函数的平移变换得g( x)的解析式，再由函数的定义域求值域即可．
【详解】（1）f (x)=2√3 sinωxcosωx−2sin
2ωx +1
=√3sin 2ωx +cos2ωx
=2sin(2ωx +π
6 )
选①：f ( x)图象上相邻两个对称中心的距离为π
2 ，
则T = π = 2π
2ω，则ω=1，
选②：f ( x)的一条对称轴为x =π
6 ，
则2ω⋅π
6 +π
6 =kπ +π
2 ，k ∈Z，
∴ω=3k +1，又0<ω<2，则ω=1，
于是f ( x)=2sin(2 x + π
6)
（2）将f ( x)=2sin(2 x + π
6 )的图象向右移π
3 个单位长度（纵坐标不变），
得到函数g( x)=2sin[2( x−π
3 )+π
6 ]=2sin(2 x−π
2 )=−2cos2 x的图象
∵ x∈[−π
3 ,π
3 ]，
∴ 2 x∈[−2π
3 , 2π
3 ]，
∴ cos2 x∈[−1
2 ,1]，
∴g( x)的值域为[−2,1]．
38．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度
不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：V (t )= A sin (2πft +φ)，
其中V (t )表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而A >0表示正弦
信号的幅度，f 是正弦信号的频率，相应的T = 1
f 为正弦信号的周期，φ为正弦信号的初相.由于正弦信号是
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一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）
去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路
中有四个电阻，电阻值分别为R1，R2，R3，R4（单位：Ω）.V 1(t )和V 2(t )是两个输入信号，V 0(t )表示的
是输出信号，根据加法器的工作原理，V 0(t )与V 1(t )和V 2(t )的关系为：
V 0(t )=(1+ R4
R3)⋅R2⋅V 1(t )+ R1⋅V 2(t )
R1+ R2
.例如当R1= R2= R3= R4=1Ω，输入信号V 1(t )=sin t，
V 2(t )=cost时，输出信号：V 0(t )=(1+ 1
1)⋅1⋅sin t +1⋅cost
1+1
=sin t +cost.
(1)若R1= R2= R3= R4=1Ω，输入信号V 1(t )=sin t，V 2(t )=cost，求V 0(t )的最大值；
(2)已知R2=1Ω，R3=2Ω，R4=3Ω，输入信号V 1(t )=sin(t +π
6 )，V 2(t )=cos(t +π
3 ).若
V 0(t )= A sin(t +π
3 )（其中A >0），求R1；
(3)已知R3=1Ω，R4=1Ω，0< R2< R1≤1Ω，且V 1(t )=sin t，V 2(t )=cos2t.若V 0(t )的最大值为3
2，求满
足条件的一组电阻值R1，R2.
【答案】(1)√2
(2)R1= 1
2 Ω
(3)R1=1Ω, R2=3−√7Ω
【分析】（1）利用辅助角公式计算即可；
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（2）将数值代入公式，待定系数法求值；
（3）利用三角恒等变换化简得：V 0(t )=
2
R1+ R2[−2 R1(sint −R2
4 R1)
2
+ 8 R1
2+ R2
2
8 R1 ]，再由条件确定一组
R1，R2即可.
【详解】（1）由题意得，V 0(t )=(1+ 1
1)⋅1⋅sint +1⋅cost
1+1
= sint +cost =√2sin(t +π
4 )，则V 0(t )的最
大值为√2；
（2）由题意知，Asin(t +π
3 )=(1+ 3
2)⋅
1⋅sin(t +π
6 )+ R1⋅cos(t +π
3 )
R1+1
，
整理得A
2 sint + √3 A
2
cost =
5
2(R1+1)(
√3
2 sint + 1
2 cost + R1
2 cost −√3 R1
2
sint)，
即A
2 sint + √3 A
2
cost = 5√3(1−R1)
4(R1+1)
sint + 5
4 cost，则¿，解得R1= 1
2 Ω；
（3）由题意得，V 0(t )=(1+ 1
1)⋅R2⋅sint + R1⋅cos2t
R1+ R2
=
2
R1+ R2 [R2⋅sint + R1⋅(1−2sin
2t)]
=
2
R1+ R2 (−2 R1sin
2t + R2sint + R1)=
2
R1+ R2[−2 R1(sint −R2
4 R1)
2
+ 8 R1
2+ R2
2
8 R1 ]，
又0< R2< R1≤1Ω，则
R2
4 R1
∈(0, 1
4)，当sint = R2
4 R1
时，V 0(t )取得最大值
2
R1+ R2
⋅8 R1
2+ R2
2
8 R1
=
8 R1
2+ R2
2
4 R1
2+ 4 R1 R2
，
则
8 R1
2+ R2
2
4 R1
2+ 4 R1 R2
= 3
2，整理得2 R1
2−6 R1 R2+ R2
2=0，即(
R2
R1)
2
−6⋅R2
R1
+2=0，解得
R2
R1
=3±√7，
又0< R2< R1≤1Ω，则
R2
R1
=3−√7，取R1=1, R2=3−√7即满足题意，则R1=1Ω, R2=3−√7Ω（答案
不唯一）.
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39．如图是函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的部分图象，已知⃗AB⋅⃗AC =2．
(1)求ω；
(2)若f (2)−f(
4
3)=−√3
2 ，求φ．
【答案】(1)ω=π
2
(2)φ=π
3
【分析】（1）设A(x0,0)，则B(x0+ T
4 ,1),C(x0+ 3T
4 ,−1)，再根据⃗AB⋅⃗AC =2求得周期T，即解；
（2）根据f (2)−f(
4
3)=−√3
2 结合三角恒等变换化简计算即可的解.
【详解】（1）设A(x0,0)，函数的最小正周期为T，则B(x0+ T
4 ,1),C(x0+ 3T
4 ,−1)，
则⃗AB =(
T
4 ,1),⃗AC =(
3T
4 ,−1)，
故⃗AB⋅⃗AC =(
T
4 ,1)⋅(
3T
4 ,−1)= 3
16 T
2−1=2，解得T = 4(负值舍去)，
所以2π
ω = 4，所以ω=π
2 ；
（2）由（1）得f ( x)=sin(
π
2 x +φ)(0<φ<π
2 )，
f (2)−f(
4
3)=−√3
2 ，得sin (π+φ)−sin(
2π
3 +φ)=−√3
2 ，
即−sinφ−√3
2 cosφ+ 1
2 sinφ =−sin(φ+π
3 )=−√3
2 ，
所以sin(φ+π
3 )= √3
2 ，
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又因0<φ<π
2 ，则π
3 <φ+π
3 <5π
6 ，
所以φ+π
3 =2π
3 ，所以φ=π
3 .
40．在①8cos x cos(x +π
3 )；②−4 sin
2 x−4√3sin x⋅cos x + 4；③8cos
2 x−4 sin(2 x +π
6 )−2这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数f ( x)=______．
(1)求函数f ( x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，S 为△ABC的面积．若f ( x)在x = A处有最小值
−a，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)最小正周期π，单调递减区间为[kπ −π
6 ,kπ +π
3 ](k ∈Z )
(2)√3
【分析】（1）三个条件中任选一个，利用三角恒等变换化简f ( x)，根据三角函数的性质求解；
（2）根据f ( x)的解析式及三角函数的性质求得A =π
3 ，a=2．由余弦定理结合基本不等式可得bc≤4，
从而可得△ABC面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①：
f ( x)=8cosxcos(x +π
3 ) =8cosx(
1
2 cosx −√3
2 sinx) = 4 cos
2 x−4√3 sinxcosx
=−2√3sin 2 x +2cos2 x +2 =−4 sin(2 x−π
6 )+2．
所以函数f ( x)的最小正周期T = 2π
2 = π．
令2kπ −π
2 ≤2 x−π
6 ≤2kπ +π
2 (k ∈Z )，解得kπ −π
6 ≤x ≤kπ +π
3 (k ∈Z )，
所以函数f ( x)的单调递减区间为[kπ −π
6 ,kπ +π
3 ](k ∈Z )．
选择条件②：
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f ( x)=−4 sin
2 x −4√3 sinxcosx + 4 =−2√3sin 2 x +2cos2 x +2 =−4 sin(2 x−π
6 )+2，
所以函数f ( x)的最小正周期T = 2π
2 = π．
令2kπ −π
2 ≤2 x−π
6 ≤2kπ +π
2 (k ∈Z )，解得kπ −π
6 ≤x ≤kπ +π
3 (k ∈Z )，
所以函数f ( x)的单调递减区间为[kπ −π
6 ,kπ +π
3 ](k ∈Z )．
选择条件③：
f ( x)=8cos
2 x−4 sin(2 x +π
6 )−2 = 4 cos2 x−2√3sin 2 x−2cos2 x +2
=−2√3sin 2 x +2cos2 x +2 =−4 sin(2 x−π
6 )+2，
所以函数f ( x)的最小正周期T = 2π
2 = π．
令2kπ −π
2 ≤2 x−π
6 ≤2kπ +π
2 (k ∈Z )，解得kπ −π
6 ≤x ≤kπ +π
3 (k ∈Z )，
所以函数f ( x)的单调递减区间为[kπ −π
6 ,kπ +π
3 ](k ∈Z )．
（2）因为f ( x)=−4 sin(2 x−π
6 )+2，
所以当2 x−π
6 =2kπ +π
2 (k ∈Z )，即x =kπ +π
3 (k ∈Z )时，f ( x)min=−4 +2=−2．
因为f ( x)在x = A处有最小值−a，且0< A <π，所以A =π
3 ，a=2．
由余弦定理a
2=b
2+c
2−2bccosA可得4 =b
2+c
2−bc≥2bc−bc =bc，
所以S = 1
2 bcsinA = √3
4 bc≤√3，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为．
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