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专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定义法求轨迹方程...........................................................2
题型二：直接法..............................................................................5
题型三：代入法（相关点法）.......................................................8
题型四：点差法............................................................................14
三、专项训练.....................................................................................18
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线
与方程
之间有以下两个关系：
①曲线
上的点的坐标都是方程
的解；
②以方程
的解为坐标的点都是曲线
上的点．
此时，把方程
叫做曲线
的方程，曲线
叫做方程
的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为
；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标
y
x、表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1 定义法：
如果动点
的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定
1
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义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2 直接法：
如果动点
的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点
满足的等量
关系易于建立，则可以先表示出点
所满足的几何上的等量关系，再用点
的坐标
表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3 代入法（相关点法）：
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标
满足某已知曲线方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点
的轨迹方程。
3.4 点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得
，
，
，
等关系式，由于弦
的中点
的坐标满足
，
且直线
的斜率为
，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（23-24 高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点
，并且在定圆B：
的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，动圆
的半径为，由圆与圆的位置关系可得
，判断
出
的轨迹为以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出
的轨迹方程.
【详解】设动圆圆心为
，动圆
的半径为，则
，
因为动圆
在定圆
：
的内部与其相内切，
所以
,所以
，即
，
2
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因为
，
,所以
，
由椭圆的定义可知：
的轨迹为以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以
，
所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
故选：A
2．（23-24 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆
过动点
，并且在定圆
：
的内部与其相内切，则动圆圆心
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，动圆
的半径为，由圆与圆的位置关系可得
，判断
出
的轨迹为以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出
的轨迹方程.
【详解】设
，动圆
的半径为，则
，
因为动圆
在定圆
：
的内部与其相内切，
所以
,
所以
，即
，
因为
，
,所以
,
由椭圆的定义可知：
的轨迹为以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以
，
所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
故选：A
3．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知动圆P 与圆M：
，圆N：
均外切，记圆心P 的运动轨迹为曲线C，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】B
【分析】设圆P 的半径为r，外切关系可得
，
，进而得
，从而利用双曲线的定义即可求解.
【详解】由圆M：
，得圆心
，半径
，
由圆N：
，得圆心
，半径
．
设圆P 的半径为r，则有
，
．
两式相减得
，
所以圆心P 的运动轨迹为以
、
为焦点的双曲线的左支，
又
，所以C 的方程为
．
故选：B．
4．（23-24 高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆
过定点
，且与已知圆
：
相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两圆相切，得
，结合
，得动点
的轨迹是以
、
为焦点的双曲线，再根据
求出
，可得结果.
【详解】圆
：
的圆心
，半径为，
当动圆
与圆
相外切时， 则
，即
当动圆
与圆
相内切时，因为定点
在圆
外，所以只能是圆
内切于动圆
，
所以
，即
综上所述：
，又
，
所以动点
的轨迹是以
、
为焦点的双曲线，
因为
，
，所以
，
，
所以
，
所以动圆圆心P 的轨迹方程是
.
故选：D
5．（23-24 高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆
：
相内切，且
4
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与定直线
相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M 的几何条件，再根据
抛物线的定义确定动点M 的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．
【详解】设动圆M 的半径为r，依题意：
，
点M 到定直线
的距离为
，
所以动点M 到定点
的距离等于到定直线
的距离，
即M 的轨迹为以F 为焦点，
为准线的抛物线，
所以此动圆的圆心M 的轨迹方程是
.
故选：D．
6．（23-24 高二上·全国·课前预习）已知动圆M 与直线y=2 相切，且与定圆
外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据动圆M 与直线y=2 相切，且与定圆
外切，可得动点M 到C
（0，-3）的距离与到直线y=3 的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是抛物线，由
此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M 到C(0，－3)的距离与到直线y＝
3 的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3 为准线的一条抛物
线，
所以
，其方程为
，
故选：A
5
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题型二：直接法
1．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知
，若动点P 满足直线
与直线
的斜率之积为
，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出动点
，利用条件直接建立关系
，化简得出
，从而得出结论.
【详解】设
，因为
，所以
，
又因为直线
与直线
的斜率之积为
，所以
，
整理得
.
故选：C.
2．（23-24 高一上·安徽六安·期末）已知点
的坐标分别为
，直线
相交于点
,且直线
的斜率与直线
的斜率的差是1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，分别求出直线
的斜率，结合题意列出方程，整理即可得解.
【详解】解：设
，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，有
直线
的斜率与直线
的斜率的差是1，所以
，
通分得：
，整理得：
，
6
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即点
的轨迹方程为
.
故选：B.
3．（23-24 高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点
，
，
直线
与直线
的斜率之积为-4，则动点
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设动点P 的坐标为（x，y），则由条件得
即
（x≠0）．
所以动点P 的轨迹C 的方程为
故选A．
4．（23-24 高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，
，动点
P 满足
则P 点的轨迹Γ 为圆 ，过点A 的直线交圆Γ 于两点C，D，且
，则
.
【答案】
【分析】设
，根据
可得圆的方程，利用垂径定理可求
.
【详解】设
，则
，整理得到
，
即
.
因为
，故
为
的中点，过圆心
作
的垂线，垂足为
，
则
为
的中点，则
，故
，
解得
，
故答案为：
，
.
7
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5．（2024 高三·全国·专题练习）已知点
，
，直线PM，PN 的斜率乘积
为
，P 点的轨迹为曲线C，则曲线C 的方程为 .
【答案】
【分析】有已知条件结合斜率公式求解即可
【详解】设P 点坐标为
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴曲线C 的方程为
.
故答案为：
.
题型三：代入法（相关点法）
1．（23-24 高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线
的两个焦点分别为
，离心
率等于
，设双曲线的两条渐近线分别为直线
；若点
分别在
上，且满足
，则线段
的中点
的轨迹
的方程为
A．
B．
8
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C．
D．
【答案】A
【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为
．设
，
，线段
的中点
，根据
得到轨迹方程.
【详解】由已知
，求得
，得双曲线方程为
，
从而其渐近线方程为
．
设
，
，线段
的中点
，
由已知不妨设
，
，
从而
，
，
由
得
，
所以
，即
，
则M 的轨迹C 的方程为
．
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
2．（23-24 高二下·江西宜春·期中）已知圆
与
轴交于点
、
，过圆上动点
(
不与
、
重合)作圆
的切线，过点
、
分别作
轴的垂线，与切线分别交于
点
，直线
与
交于点
，
关于
的对称点为
，则点
的轨迹方程为
【答案】
【分析】相关点法求轨迹方程：设
，先根据条件，求出
，
两点的坐标，再联立
直线
和
求出交点
，根据
，
两点关于
对称，确定用
，
表示点
的坐
标，再由点
在圆上，列方程整理即可.
9
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【详解】
依题意作图，有
，
，设
(
)，
.
过点
的圆
的切线的方程为
，
所以
，
.
联立
解得
，所以点
.
又点
，
关于点
对称，所以
，即
，
又点
在圆
上，所以
，
把
代入整理得，
，又
，
所以点
的轨迹方程
(
).
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故答案为：
(
).
3．（23-24 高二下·江西上饶·期末）已知椭圆
的左右焦点为
、
，点
为椭
圆上任意一点，过
作
的外角平分线的垂线，垂足为点
，过点
作
轴的垂线，
垂足为
，线段
的中点为
，则点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】先利用椭圆的几何性质得到
的轨迹方程为：
，再根据
的坐标与
的坐标关系可得
的轨迹方程.
【详解】
如图，延长
交
的延长线于，连接
.
因为
为
的平分线且
，
故
为等腰三角形且
，
，
所以
.
在
中，因为
，所以
，
故
的轨迹方程为：
.
令
，则
，所以
即
，
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨
迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的
轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.
4．（23-24 高二上·四川成都·期中）点M 为椭圆
上一点，
为椭圆的两个焦
点，则
的内心轨迹方程为 .
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【答案】
【分析】设
的内心为
，连接
交
轴于点
，由内角平分线性质定理得到
，设
，再由焦半径公式及内角平分线定理得到
，则
，然后利用向量关系把
的坐标用
的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【详解】如图，设
的内心为
，连接
交
轴于点
，连接
在
中
是
的角平分线.
根据内角平分线性质定理得到
.
同理可得
.
所以
，根据等比定理得：
在椭圆
中，
所以
设
，则
同理
又
，则
，可得
所有
由
，得
，
所以
，代入椭圆
方程.
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得
，由
，则
.
所以
的内心轨迹方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
5．（22-23 高二上·广东·阶段练习）已知圆
上的动点M 在x 轴上的投影为N，
点C 满足
．
(1)求动点C 的轨迹方程C；
【答案】(1)
【分析】（1）设出点，根据已知列式得出点
与点
坐标的关系，即可根据点
是圆
上的动点，代入化简即可得出答案；
【详解】（1）设
，
，则
，
则
，
，
，
，即
，
点
是圆
上的动点，
，整理得
，
则动点C 的轨迹方程C 为：
.
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A，B 的坐标分别为
，
，平面内两点G，M 同时满足以下3 个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交
点：②M 是△ABC 的外心；③
(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；
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【答案】(1)
；
【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；
【详解】（1）设C（x，y），G（
，
），M（
，
），
因为M 是△ABC 的外心，所以
所以M 在线段AB 的中垂线上，所以
，
因为
，所以
，
又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，
所以
，
所以
，
又
，
所以
，
化简得
，
所以顶点C 的轨迹方程为
；
题型四：点差法
1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，过点
且斜率为1 的直线交椭圆于
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用点差法可得
的关系，从而可求得
，即可的解.
【详解】设
，则
，
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由已知有，
，
作差得
，
则
，
所以
，解得
，
则
的方程为
.
故选：D．
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆
四个顶点构成的四边形的
面积为
，直线
与椭圆C 交于A，B 两点，且线段
的中点为
，
则椭圆C 的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
代入椭圆方程相减，利用
，
，
，
得出
等量关系，即可求解.
【详解】设
，
，则
，
，两式作差并化简整理得
，因为线段AB 的中点为
，所以
，
，
所以
，由
，得
，又因为
，解得
，
，
所以椭圆C 的方程为
．
故选：A．
3．（23-24 高二上·浙江杭州·阶段练习）焦距为
，并且截直线
所得弦的中点
的横坐标是
的椭圆的标准方程为（ ）
15
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A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】设椭圆方程为
，且
，及交点
，将两
点代入椭圆方程可得
，根据弦中点坐标关系可得
，结合直线方程得
，再由椭圆的焦距求得
的值，即可得椭圆标准方
程.
【详解】解：设椭圆方程为
，且
设直线
与椭圆相交的两点坐标为
，由题意可知
，即
，
所以
，
又
在椭圆上，可得：
，两式相减得
，
整理得：
，则
，所以
，
又直线
的斜率为
，所以
，即
，所以
椭圆
的焦距为
，所以
，则
，
故可得：
解得
，故椭圆的标准方程为：
.
故选：A.
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线
：
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线E 于A、B 两点.若
的中点坐标为
，则E 的方程为
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，由
，利用点差法求解.
【详解】解：设
，
则
，两式相减得
，
即
，化简得
，
又
，解得
，
所以双曲线的方程为：
.
故选：D.
5．（23-24 高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线
的中心为原点，
是
的焦
点，过
的直线与
相交于
，
两点，且
的中点为
，则
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据
，
，的关系得出
，设出
，
两点的坐标，代入双曲线方
程，两式相减利用中点坐标公式，求出
，再根据直线过点
，
求出
，即可得出
，进而求出
，
得出双曲线的标准方程.
【详解】解：设双曲线
的标准方程为：
，
由题意知：
，
即
①
设
，
，
17
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的中点为
，
，
，
又
，
在双曲线上，
则
，
两式作差得：
，
即
，
即
，
又
，
即
，
解得：
②，
由①②解得：
，
，
双曲线的标准方程为：
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及
“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.
6．（23-24 高二·全国·课后作业）过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
、
两点，
则线段
的中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知直线
不与
轴重合，设点
、
，设直线
的方程为
，将直线
的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段
的中点坐
标，进而可得出线段
的中点的轨迹方程.
【详解】抛物线
的焦点为
，设点
、
，
18
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若直线
与
轴重合，则直线
与抛物线
只有一个交点，不合乎题意，
设直线
的方程为
，联立
可得
，
，由韦达定理可得
，所以，
，
设线段
的中点为
，则
，
，则
，
所以，
，化简可得
.
因此，线段
的中点的轨迹方程为
.
故选：D.
三、专项训练
1．（23-24 高三下·重庆·期中）长为2 的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴上滑
动，则点
关于点
的对称点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出
、
、
点坐标，由题意可得
、
两点坐标间的关系，用
点的横纵坐
标替换
、
点坐标代入计算即可得.
【详解】设
、
，
，
则有
，
，即
，
，
由题意可得
，即
，即
.
故选：D.
2．（23-24 高三下·江西·开学考试）已知面积为的正方形
的顶点
、
分别在
轴
和
轴上滑动，
为坐标原点，
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
19
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【答案】C
【分析】设点
、
、
，由平面向量的坐标运算可得出
，由
正方形的面积公式可得出
，将
代入等式
整理可得出点
的轨
迹方程.
【详解】设点
、
、
，
由
，
所以，
，可得
，
因为正方形
的面积为
，即
，即
，
整理可得
，因此，动点
的轨迹方程为
.
故选：C.
3．（23-24 高二上·广东佛山·期末）长为
的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴
上滑动，则点
关于点
的对称点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设点
、
、
，由已知条件可得出
，分析可知，
为
的中点，可得出
，代入等式
化简可得出点
的轨迹方程.
【详解】设点
、
、
，则
，可得
，
因为点
关于点
的对称点为
，则
为
的中点，
所以，
，可得
，
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将
代入
可得
，即
，
因此，点
的轨迹方程为
.
故选：C.
4．（23-24 高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点
到定点
的距离比点
到
轴
的距离大
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】设点
，可得出
，分
、
两种情况讨论，化简
可得出点
的轨迹方程.
【详解】设点
，因为平面上动点
到定点
的距离比点
到
轴的距离大
，
则
，
当
时，则有
，即
，
等式
两边平方整理可得
；
当
时，则有
，即
，
等式
两边平方可得
.
综上所述，点
的轨迹方程为
或
.
故选：D.
5．（23-24 高二上·河南·期中）已知动点P 在曲线
上，则点
与点P 连线的
中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
的中点为
，根据中点坐标公式可得
，进而将
点的坐标
代入曲线方程即可求解.
【详解】设
的中点为
，
因为
，则
，
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因为点P 在曲线
上，
所以将
代入曲线
，
则
，即
，
所以
的中点的轨迹方程是
.
故选：C.
6．（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P 是圆
上的动点，作
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出中点
，利用几何关系建立与点P 坐标的关系，代入圆方程即可整理
出轨迹方程.
【详解】如下图所示：
不妨设
，则满足
；
易知
，
又线段
的中点为
，可得
；
即
，代入方程
可得
，
整理得
.
故选：D
7．（23-24 高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线
：
于
轴异侧两点
，
，且
，过
向
作垂线，垂足为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】B
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【分析】设直线方程
，代入抛物线消去x，由
和韦达定理，解得可
得直线经过定点
，由
可知
在以
为直径的圆上，可求轨迹方程.
【详解】设直线
，将它与抛物线方程联立得：
，
则
，
设
，则
，
所以
，故
或
，
当
时，
在直线上，故舍去，所以
，
所以直线经过定点
，由
可知
在以
为直径的圆
（原点
除外）上.
故选：B.
8．（23-24 高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为
，若抛物线过点A（﹣1，
0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出切线方程，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B 到准线的距离等
于其到焦点的距离，然后两式平方后消去a 求得x 和y 的关系式即可．
【详解】设切点为（a，b），∴
，
则切线为：
，即
，当
时也成立，
设焦点（x，y），由抛物线定义可得：
①，
②，
②-①得
，代入②得
化简可得抛物线的焦点轨迹方程为
，（依题意焦点不能与A，B 共线，
∴y≠0．）
故选：C
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9．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知
，
，
，第三个顶点C 在曲
线
上移动，则
的重心的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，由题可得重心坐标为：
，后由横纵坐标间关系
可得答案.
【详解】设
，因
，则
.
因
，
，则重心坐标为
.
设
，则
，则
.
故重心轨迹方程为：
.
故答案为：
.
10．（23-24 高二上·上海·期末）已知椭圆
上有一点
，
是
轴上的定
点，若有一点
满足
，则
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设
，
，根据题意，得到
，代入椭圆方程，即可求
解.
【详解】解：设
是所求轨迹上的一点，且
，
因为
，且
，可得
，
即
，可得
，
代入椭圆
，可得
，整理得
，
所以点
的轨迹方程为
.
故答案为：
.
11．（23-24 高二·全国·课后作业）已知点
是曲线
上任意一点，
，连接
并延长至
，使得
，求动点Q 的轨迹方程 ．
【答案】
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【分析】设出动点
和相关点
，再根据条件
，
，再代入即可
得出结果.
【详解】设动点
的坐标
，点P 坐标
，
，
因为
，所以
，
，
可得
，
，
代入
，得
，整理得
，
所以动点Q 的轨迹方程为
．
故答案为：
12．（23-24 高二上·全国·课后作业）设圆
的圆心为A，点P 在圆
上，则PA 的中点M 的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】设
，P（x0，y0），利用中点坐标公式得出
，然后结合点
在圆
上即可求解.
【详解】圆
可化为
，
则
，设
，P（x0，y0），所以
整理得
,即
，
将点
代入圆的方程得
，
即为
.
故答案为：
.
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