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解答题专题02 数列
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............................................................5
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...........................................................7
...........................................................8
............................................................9
..........................................................10
【典例】1．（25-26 高三上·江苏连云港·期中）设等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【典例】2．（25-26 高三上·江苏徐州·期中）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【典例】3．（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知数列
的前 n 项和为
，
且
.数列
为等比数列，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，
，求数列
的前 n 项和为
．
【典例】4．（25-26 高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列
的前
项为
，且
.正项等比数
列
的首项为1，
为其前
项和，且
.
(1)求
，
；
(2)当
时，若
对任意的
恒成立，求实数
的最大值.
【典例】5．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列，求出数列
的通项公式；
(2)记
（
为参数），若
，求出
，
并求出数列
的前
项和
.
【典例】6．（25-26 高三上·江苏徐州·月考）在①
，②
，③
这三个
条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列
的前
项和为
，___________，
___________，设等比数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
．
【典例】7．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知函数
在
处有极值
为-2.
(1)求
；
(2)已知数列
的前
项和
，满足
=
，记
求
.
【典例】8．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知数列
的前
项和为
，且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
①证明：
；
②
表示不超过
的最大整数，如
，设
，求数列
的前
项和.
【典例】9．（24-25 高三上·江苏·期末）若数列
满足：对任意
，总存在、
，使
得
，则称
是融积数列．
(1)判断数列
是否为融积数列，并说明理由；
(2)若等差数列
是融积数列，求
的通项公式；
(3)若融积数列
单调递增，
，
，求使
成立的
的最值．
【典例】10．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列
中，
为数列
的前n 项和，满足
，设
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)令
，在
和
之间插入k 个数构成一个新数列
：
，其中插
入的所有数依次构成数列
，通项公式
，求数列的
前30 项和
．
11．（25-26 高三上·江苏镇江·月考）已知
与
为公差相同的等差数列，且
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
为数列
的前n 项和，求
．
12．（25-26 高三上·江苏连云港·月考）设
是等差数列，
是等比数列，且
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
13．（25-26 高三上·江苏·月考）已知
是公差为2 的等差数列，
是公比为4 的等比数列，满足
，
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)记
，
的前n 项和分别为
，
，若
，求m 的值.
14．（25-26 高三上·江苏·月考）已知数列
的前
项和
，且
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
15．（25-26 高三上·江苏淮安·月考）已知数列
是等差数列，公差
，
，数列
的前n 项
和为
．
(1)求
及
；
(2)求数列
的前
项和
．
16．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列
的各项均为正数，前n 项和为
，且
，
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，不等式
对任意正整数n 恒成立，求实数
的
取值范围．
17．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
是首项和公差均为1 的等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的最小值.
18．（2025·江苏扬州·三模）已知
是等差数列，公差不为
，其前
项和为
.若
，
，
构成
等比数列，
.
(1)求
及
；
(2)数列
满足
，
，
，
为数列
的前
项和，求
.
19．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)记
的前
项和为
，证明：
.
20．（2025·江苏·三模）已知数列
是等差数列，记其前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)将数列
与
的所有项从小到大排列得到数列
．
①求
的前20 项和；
②证明：
．
21．（2025·江苏·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，其中
，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若数列
的通项
，其前n 项和为
，求
（用n 表示）．
22．（2025·江苏·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)证明：
是等差数列；
(2)记[x]表示不超过
的最大整数，
分别为
和
的前
项和，求
.
23．（2025·江苏南通·模拟预测）某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段
任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概
率为
，分配到复杂任务的概率为
.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为
，且
各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记
为该机器人在完成第
个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求
；
②证明：数列
单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当
时，系统停止分配任务，求该机
器人最多能挑战多少个阶段的任务.
24．（2025·江苏苏州·模拟预测）若数列
满足
，则称
为“阶跃数
列”.
(1)若
，判断
是否为“阶跃数列”；
(2)在“阶跃数列”
中，若
，求实数
的取值范围；
(3)记“阶跃数列”
的前
项和为
，证明：数列
是“阶跃数列”.
25．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴
趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公
差不为0 的等差数列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数
列
是“二阶等差数列”．定义：若数列
是“
阶等差数列”，则称原数列
为“
阶等
差数列”．例如：数列
，它的后项与前项之差组成新数列
，新数列
是公差为的
等差数列，则称数列
为二阶等差数列．
(1)若数列
满足
，
，且
，求证：数列
为二阶等差数列；
(2)若三阶等差数列
的前
项依次为
，求
的前
项和
；
（50 分钟）
26．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知数列
的首项
，且满足递推关系
.
(1)求证：
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，若
，求
.
27．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知数列
的前
项和为
，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
28．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知数列
的前
项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．
(1)求数列
的通项公式
(2)记
，数列
前
项和为
，求证：
．
29．（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知正项数列
的前
项和为
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式．
30．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知正项数列的
的前n 项为
，且满足
，等比
数列
是递增数列，
，
为其前n 项和，且满足
．
(1)分别求
，
的通项公式；
(2)当
时，若
对任意的
恒成立，求实数
的最大值．
（50 分钟）
31．（24-25 高三下·江苏南通·月考）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
32．（2025·江苏苏州·二模）在数列
中，已知
，且当
为奇数时，
；当
为偶数
时，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
33．（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
34．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）对于数列
，记
，称数列
为数
列
的差分数列．
(1)已知
，证明：
的差分数列为等差数列；
(2)已知
的差分数列为
，求
的通项公式．
35．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且满足
，数列
为公比大于0 的等比数列，且
．
(1)求
；
(2)若在
与
之间插入
个1，由此构成一个新的数列
，记
的前
项和
，求
的值．
（60 分钟）
36．（24-25 高三下·江苏盐城·月考）已知数列
的前n 项和
，数列
的前n 项和
．
(1)求
，
的通项公式；
(2)若
，求
的前n 项和
．
37．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）已知数列
中，
，
(1)求数列
的前
项和
；
(2)证明：
．
38．（2025·江苏南通·二模）已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求证：
.
39．（2025·江苏南京·一模）已知数列
的前
项和
满足
为常数，且
.
(1)求的值；
(2)证明：
为等差数列；
(3)若
，求
的取值范围.
40．（2025·江苏·一模）在①
；②
；③
这三个条件中，
请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题．
已知数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且对任意正整数
，有______．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
（80 分钟）
41．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）设数列
的前
项和为
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，求证：
42．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知数列
：
，
，
，…，
的各项均为正整数，设集合
，记T 的元素个数为
．
(1)若数列
：2，4，6，7，求集合T，并写出
的值；
(2)若A 是递增数列，求证：“A 为等差数列”的充要条件是“
”；
(3)已知数列A：2，
，
，…，
，求证：
．
43．（2025·江苏·二模）若无穷数列
满足：，
，
，则称
为“均值递减数列”.
(1)已知无穷数列
的前
项和为
，若
为“均值递减数列”，求证：
，
；
(2)若数列
的通项公式
，判断
是否为“均值递减数列”，并说明理由；
(3)若两个正项数列
和
均为“均值递减数列”，证明：数列
也为“均值递减数列”.
44．（2025·江苏·模拟预测）
两人手中各有3 张《哪吒2》纪念卡片，其中
手中的3 张卡片为1
张红色和2 张蓝色，
手中的3 张卡片都是红色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1 张，去与对方交
换，重复n 次操作，记
手中蓝色卡片
张，恰有2 张蓝色卡片的概率为
，恰有1 张蓝色卡片的概率为
．
(1)分析操作几次后
手中蓝色卡片就可能首次出现0 张，并求首次出现这种情况的概率
．
(2)记
．证明：数列
为等比数列．
45．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)若
为等差数列，且
，
，求数列
的通项公式；
(2)若对任意
，都有
．
①求证：
是等差数列；
②设
，
，
，求
的公差
的值．
