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专题01 集合
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题01 集合
命题解读
命题预测
复习建议
集合是历年高考的必考点，
集合常出现在选择题的第一
或第二次小题，题目以集合
的运算为主，主要是集合的
交、并、补的运算。从题目
的难易度来看属于基础题，
但从历年高考题来看，在集
合的考察中穿查不等式的求
解，因此在做集合题时要注
意不等式的求解。高考注重
的基础知识的灵活运用，集
合题目简单，考查内容、题
型稳定，考查的覆盖面会进
一步加大。
预计2024 年的高考仍然会以
考查集合间的关系、集合的
基本运算为主，还是以选择
题的形式出现，全国卷中与
不等式结合的可能性比较
大，要多注意。
集合复习策略：
1.掌握集合的含义以及基本
关系；
2.理解集合的基本运算；
3.掌握不等式的求解。
→➊考点精析←
一、集合的基本概念
1．元素与集合的关系：
.
2．集合中元素的特征：
确定性
一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是
该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及
的总体是否能构成集合
互异性
集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是
不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的
未知元素
无序性
集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c 组成的集合与b，c，a 组成的
集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作
.
4．常用数集及其记法：
集合
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
或
2
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注意：实数集
不能表示为{x|x 为所有实数}或{
}，因为“{ }”包含“所有”“全体”
的含义.
5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；
三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.
二、集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
图示
基
本
基
本
关
系
子集
集合A 中任意一个元素都
是集合B 的元素
（或
）
真子集
集合A 是集合B 的子集，
且集合B 中至少有一个元
素不在集合A 中
（或
）
相等
集合A，B 中元素相同或
集合A，B 互为子集
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的
真子集
，
必记结论：
（1）若集合A 中含有n 个元素，则有
个子集，有
个非空子集，有
个真子
集，有
个非空真子集．
（2）子集关系的传递性，即
.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先
考虑空集的情况，否则会造成漏解.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏
3
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解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
三、集合的基本运算
1．集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn 图
交集
由属于集合A 且属
于集合B 的所有元
素组成的集合
并集
由所有属于集合A
或属于集合B 的元
素组成的集合
补集
由全集U 中不属于
集合A 的所有元素
组成的集合
2、集合的运算性质
（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
（2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB
（3）A∩(∁UA)＝∅，A (
∪∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA) (
∪∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。
(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集
合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算.
解决集合新定义问题的关键是
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结
合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结
合集合的相关性质求解.
4
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(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养.
→➋真题精讲←
1.（2023 全国理科甲卷） 设全集
,集合
，
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
2. （2023 全国文科甲卷）设全集
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集
，集合
，所以
，
5
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又
，所以
，
故选：A.
3. （2023 全国理科乙卷）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
即可.
【详解】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
4. （2023 全国文科乙卷）设全集
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得
的值，然后计算
即可.
6
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【详解】由题意可得
，则
.
故选：A.
5.（2023 高考北京卷） 已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合
，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.
故选：A
6. （2023 高考数学天津卷）已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由
，而
，
所以
.
故选：A
7.（2023 全国课标Ⅰ卷） 已知集合
，
，则
7
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（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
8. （2023 全国课标Ⅱ卷）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A. 2 B. 1 C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
8
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综上所述：
.
故选：B.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已集合
，若
，则实数a 的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用子集的定义即可求解.
【详解】
，
∴当
时，
，满足
；
当
时，若
，则
时，
时，
．
的取值集合是
．
故选：C．
2．（2023·山东济南·统考三模）已知全集
，则图中
阴影部分代表的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据Venn 图，由集合运算可解.
【详解】由题意
，而阴影部分为
.
故选：C
9
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3．（2023·江苏南京·统考二模）集合
的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】确定
，再计算子集个数得到答案.
【详解】
，故子集个数为
.
故选：B
4．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若集合
，
，则集合
中的元素个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】用列举法表示集合
，再根据交集的定义求出
，即可判断.
【详解】因为
，
又
，
所以
，即集合
中含有
个元素.
故选：C
5．（2023·江苏常州·校考二模）已知集合
和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简集合
，根据集合的交集，并集及包含关系判断即可.
【详解】
，
,
10
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A、B 选项错误；
，
，故C 错误，D 正确.
故选：D
6．（2023·山东德州·三模）已知集合
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简集合
，根据
，即可得到
的取值范围.
【详解】
，
，
因为
，
所以
，解得
.
故选：B.
7．（2023·山东聊城·统考三模）已知集合
，
，若对于
，都有
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得A
B
可得答案.
【详解】若对于
，都有
，则
，
由已知可得
.
故选：B.
8．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知集合
，
11
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，则
为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：因为
，则
或
，
所以
或
，
或
故选：C
→➍专题训练←
一、元素的意义
1.已知集合
2
2
,
1
A
x y x
y
，
,
B
x y
y
x
，则集合A
B
的子集的个数为
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】解
2
2
1
x
y
y
x
得，
2
2
2
2
x
y
或
2
2
2
2
x
y
；
2
2
2
2
,
,
,
2
2
2
2
A
B
,即A
B
中有2 个元素；
A
B
子集个数为4．故选：
B．
2.已知集合
2
2
( , )
1
A
x y x
y
，
( , )
B
x y y
x
，则A
B
中元素的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
12
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【解析】由题意，可知集合A 表示以
0,0 为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集
合，集合B 表示直线y
x
上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1
x
y
与直线y
x
相交于
两点
2
2
,
2
2
，
2
2
,
2
2
，则A
B
中有2 个元素.故选B.
3.若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（ ）
A．M∪N=M
B．M∪N=N
C．M∩N=M
D．M∩N=∅
【答案】A
【解析】根据集合的表示法知集合M 表示直线，集合N 表示一个点且点在直线上，得到两
集合的并集．
详解：N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}
(0,0)
，且点(0,0)满足直线x+y=0.
所以M∪N=M ，故选A.
二、集合的互异性
1.已知集合
2
0,1,
A
a
，
1,0,3
2
B
a
，若A
B
，则a 等于（ ）
A．1 或2
B．1
或2
C．2
D．1
【答案】C
【解析】因为A
B
，所以
2
3
2
a
a
，解得
1
a 或
2
a
.
当
1
a 时，
2
1
a
，与集合元素互异性矛盾，故
1
a 不正确.经检验可知
2
a
符合.故选：
C
2.
2
2,2
5 ,12
A
a
a
a
其3
A
，则由a 的值构成的集合是（ ）
A．
B．
3
1,
2
C．
-1
D．
3
2
【答案】D
【解析】
3
A
，当
2
3
a
，即
1
a 时，
3, 3,12
A
，集合中有相同元
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素，舍去；
当
2
2
5
3
a
a
，即
1
a （舍）或
3
2
a
时，
7 , 3,12
2
A
，符合，
故由a 的值构成的集合是
3
2
.故选：D
三、子集为空集与取等
1.已知集合
3
2
1
x
A
x x
，
2
2
1
B
x a
x
a
，若A
B
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．
1 ,1
2
B．
1 ,1
2
C．
1 ,1
2
D．
1 ,1
2
【答案】B
【解析】（1）因为
3
3
2
2
2
2
0
0
1
2
1
1
1
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
x
x
x
，
又
2
2
1
B
x a
x
a
，A
B
，所以
2
1
2
1
2
a
a
，解得
1
1
2
a
.故选：B.
2.已知集合
2
{ |
1}
M
x x
，
{ |
1}
N
x ax
，若N
M
，则实数a 的取值集合为（
）
A．{1}
B．{ 1,1}
C．{1,0}
D．{1, 1,0}
【答案】D
【解析】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0 时，N=∅，成立；
当a≠0 时，N={
1
a }，∵N⊆M，∴
1
1
a
或
1
a =1．解得a=﹣1 或a=1，
综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D．
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3.若集合
3
|
0
1
x
A
x x
，
{ |
1
0}
B
x ax
，若B
A
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
1 ,1
3
B．
1 ,1
3
C．(
, 1)
[0,
)
D．
1
[
,0)
(0,1)
3
【答案】A
【解析】因为
3
0
1
x
x
，所以
1
0
3
1
0
x
x
x
，所以
1
x 或
3
x
，
所以
|
1
A
x x
或
3
x
，
当
0
a
时，1
0
不成立，所以B ，所以B
A
满足，
当
0
a
时，因为
1
0
ax
，所以
1
x
a
，
又因为B
A
，所以
1
1
a
，所以0
1
a
，
当
0
a
时，因为
1
0
ax
，所以
1
x
a
，
又因为B
A
，所以
1
3
a
，所以
1
0
3
a
，
综上可知：
1 ,1
3
a
.故选：A.
四、集合的新定义问题
1、.若x∈A，则∈A，就称A 是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系
的集合的个数是( )
A.1
B.3
C.7
D.31
15
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【答案】B
【解析】：具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3 个：{－
1}，，.
2.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A 为闭集合，给
出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②
【解析】：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2
＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，
k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集
合，所以③不正确．
五、综合训练
1.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实
数a 的值.
【详解】求解二次不等式
可得
，
求解一次不等式
可得
.
由于
，故
，
解得
.
故选B．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
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2.已知集合
，
，则
中元素的个数为
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
采用列举法列举出
中元素的即可.
【详解】由题意，
中的元素满足
，且
，
由
，得
，
所以满足
的有
，
故
中元素的个数为4.
故选C．
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
3.已知集合
，
，若
，则
A．
或
B．
或
C．或
D．或
【答案】B
【解析】因为
,所以
,所以
或
.
若
，则
,满足
.
若
，解得
或
.若
，则
，满足
.若
，
显然不成立，综上
或
，故选B．
4.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=
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A．{x|2<x≤3}
B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1<x<4}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
.
故选C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
5.已知集合
，
，则
中元素的个数是
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
【答案】C
【解析】
，解得
或
，故
中有两个元素.故选C．
6.已知集合
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，B，再用交集的定义求解.
，
或
，
所以
，
故选：D．
7.已知集合
则
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得
，得到结果.
【详解】由
解得
，
所以
，
又因为
，所以
，
故选D．
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求
集合，集合的交运算，属于基础题目.
8.设全集
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知
，则
.
故选C．
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
19
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9.已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】
，
故选D．
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.已知集合P=
，Q=
，则P
Q=
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解
【详解】
.
故选B.
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
11.已知集合
，则
_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
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【详解】∵
,
，
∴
.
故答案为
.
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
12.设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a
的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1]∪{1}
【解析】因为A＝{0，－4}，A∩B＝B，所以B⊆A，分以下三种情况：
①当B＝A 时，B＝{0，－4}，由此可知，0 和－4 是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两个
根，由根与系数的关系，得解得a＝1；
②当B≠
且
∅
B
A 时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝
时，
∅
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1。
综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}。
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