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淘宝：学思创想
专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP，取AP 中点Q，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？
P
Q
A
B
C
N
C
B
A
Q
P
M
解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN
始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ 中AP=AQ，∠PAQ 为定值，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？
解析：当AP 与AQ 夹角固定且AP:AQ 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始
位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。
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【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为
其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一
点，过点C 作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是（
）
A．24
B．22
C．20
D．18
【答案】B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG 可得BH＝CG，可得四边形ACGH 的周长即为AB+AC+GH，进而可确定
当MH⊥AB 时，四边形ACGH 的周长有最小值，证明四边形ACGH 为矩形可得HG 的长，进而可求解．
【详解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M 是BC 的中点，∴BM＝CM，
在△BMH 和△CMG 中，
，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH 的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH 最小时，即MH⊥AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH 为矩形，∴GH＝8，
∴四边形ACGH 的周长最小值为14+8＝22，故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH 的值是解题的关键．
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例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
是边长为的等边三角形，点
为高
上的动
点．连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
．连接
，
，
，则
周长的最小值是
．
【答案】
/
【分析】根据题意，证明
，进而得出
点在射线
上运动，作点
关于
的对称点
，
连接
，设
交
于点
，则
，则当
三点共线时，
取得最小值，即
，进而求得
，即可求解．
【详解】解：∵
为高
上的动点．∴
∵将
绕点
顺时针旋转
得到
．
是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴
，∴
点在射线
上运动，如图所示，
作点
关于
的对称点
，连接
，设
交
于点
，则
在
中，
，则
，
则当
三点共线时，
取得最小值，即
∵
，
，
∴
∴
在
中，
,
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∴
周长的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD 中，
，
，
，点E 在
线段BC 上运动（含B、C 两点）．连接AE，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF，连接
DF，则线段DF 长度的最小值为______．
【答案】
【分析】以AB 为边向右作等边△ABG，作射线GF 交AD 于点H，过点D 作DM⊥GH 于M．利用全等三
角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F 在平行于AB 的射线GH 上运动，求出DM 即可．
【详解】解：如图，以AB 为边向右作等边△ABG，作射线GF 交AD 于点H，过点D 作DM⊥GH 于M．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△ABG 是等边三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴点F 在平行于AB 的射线GH 上运动，
∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG 是等边三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH•sin60°
，
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根据垂线段最短可知，当点F 与M 重合时，DF 的值最小，最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直
角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点
F 的在射线GH 上运动，属于中考填空题中的压轴题．
例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形
的边
，E 为
上一点，且
，F
为
边上的一个动点，连接
，若以
为边向右侧作等腰直角三角形
，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】过点G 作GH⊥AB 于H，过点G 作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可
得点G 在平行AB 且到AB 距离为1 的直线MN 上运动，则当F 与D 重合时，CG 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G 作GH⊥AB 于H，过点G 作MN∥AB，
∵四边形ABCD 是矩形，AB＝
，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝
，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝
，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G 在平行AB 且到AB 距离为1 的直线MN 上运动，
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∴当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG 的最小值＝
，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键．
例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变
量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为
，
将点
代入得：
，整理得
∵t 为任意实数，等式恒成立，∴
，
∴
，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是直
线l，求直线l 的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知
，
，且
，
，则点C
的坐标为_________．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点
，Q 是直线
上的一个动点，连接
，过点P 作
，且
，连接
，求线段
的最小值．
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【答案】(1)直线l 的函数表达式为
;(2)点C（-7，3）；(3)OQ′最小值为
．
【分析】（1）利用待定系数法将点P 代入解析式，利用恒等性质得出
，
，求出直线解析
式即可；（2）设C 点坐标为（m，n）过C 作CE 垂直x 轴于E，过B 作BF⊥x 轴于F，证明△CAE≌△ABF
（AAS）得出CE=AF，EA=FB，根据点B（5，9）点A（2，0）求出点F（5，0）即可；
（3）过Q 作QG⊥x 轴于G，过Q′作Q′H⊥x 轴于H，先证△QPG≌△PQ′H（AAS），设Q（a，
）分三
种情况，当a≤1 时，点Q′（
，1 - a）OQ′=
，当1≤a≤4，点Q′（
，1-a），OQ′=
，当a≥4 时，点Q′（
，1-a）OQ′=
，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可．
【解析】(1)解：设这条直线的函数表达式为
，将点
代入得：
，整
理得
，∵t 为任意实数，等式恒成立，∴
，
，
∴
，
，∴这条直线的函数表达式为
，
∴随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，
直线l 的函数表达式为
．
(2)解:设C 点坐标为（m，n）过C 作CE 垂直x 轴于E，过B 作BF⊥x 轴于F，∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∴∠ECA=∠FAB，
在△CAE 和△ABF 中，
，∴△CAE≌△ABF（AAS），∴CE=AF，EA=FB，
∵点B（5，9）点A（2，0），∴点F（5，0）∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点C（-7，3）；
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(3)解：过Q 作QG⊥x 轴于G，过Q′作Q′H⊥x 轴于H，
∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°，∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°，∴∠QPG=∠HQ′P，
在△QPG 和△PQ′H 中，
，∴△QPG≌△PQ′H（AAS），∴PG=Q′H，QG=PH，
∵Q 是直线
上的一个动点，设Q（a，
），
当a≤1 时，∴QG=PH=
，PG= QH=1 - a，∴点Q′（
，1 - a），
∵OQ′=
，
∵
时，OQ′随a 的增大而减小，当a=1 时最小OQ′=
，
当1≤a≤4，∴QG=PH=
，PG= QH= a-1，∴点Q′（
，1-a），
∵OQ′=
，∵
，a=2 时，OQ′最小=
，
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当a≥4 时，∴QG=PH=
，PG= QH= a-1，∴点Q′（
，1-a），
∵OQ′=
，∵
，a＞2 时，OQ′随a 的增大而增大，
a=4 时，OQ′最小=
， ∵
＞3＞
，∴OQ′最小值为
．
【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最
值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，
函数的最值，分类思想的运用是解题关键．
例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形
中，
，E、F 分别是边
上的动点，
连接
，G、H 分别为
的中点，连接
．若
的最小值为3，则
的长为__________．
【答案】
【分析】连接
，利用中位线的性质
，要使
最小，只要
最小，当
时，
最
小为6，由
确定
为等腰直角三角形，得出
，由勾股定理得：
求出
即可．
【详解】解：连接
，∵
，
分别为
，
的中点，∴
，且
，
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要使
最小，只要
最小，当
时，
最小，
∵
的最小值为3，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，
∵四边形
是菱形，∴
．故答案为：
．
【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握
中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在
中，
．P 为边
上一动点，
作
于点D，
于点E，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接
，利用勾股定理列式求出
，判断出四边形
是矩形，根据矩形的对角线相等可得
，再根据垂线段最短可得
时，线段
的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出
方程求解即可．
【详解】解：如图，连接
，
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∵
，∴
，
∵
于点D，
于点E，
，∴四边形
是矩形，∴
，
由垂线段最短可得
时，线段
的值最小，此时线段
的值最小，
此时，
，代入数据：
，
∴
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出
时，线段
的
值最小是解题的关键．
例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，
中，
，
，点D 是边
上一动
点，以点A 为旋转中心，将
顺时针旋转
得到线段
，连接
，若
，则
的长的最小值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】在
上取一点K，使得
，连接
，
，然后证明出
，然后根据
垂线段最短得到当
时，
的值最小，最后利用
角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，在
上取一点K，使得
，连接
，
，
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∵
，
，∴
，
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
，∴当
时，
的值最小，
∵
，
，
，∴
，
∴
，∴
．∴
的长的最小值为
．故选A
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，垂线段最短，
角直角三角形的性质等知识，解题的关
键是熟练掌握以上知识点．
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课后专项训练
1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是
边的中点，
点P 是
边上一个动点，连接
，以
为边在
的下方作等边三角形
，连接
．则
的最
小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】以CD 为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得
△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q 是在QE 所在直线上运动，所以CQ 的最小值为
CQ⊥QE 时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD 为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵
是等边三角形，∴
，
∵∠CDQ 是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
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∵
，
，点D 是
边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，
，∴点Q 是在QE 所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE 时，CQ 取的最小值，∴
，∴
；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角
形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
2．（2023 上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形
中，
，
，E 为
上一点．且
，F 为
边上的一个动点．连接
，将
绕着点E 顺时针旋转
到
的位置，其中点
B、点F 的对应点分别为点H、点G，连接
和
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】如图，将线段
绕点E 顺时针旋转
得到线段
，连接
交
于J．首先证明
，
推出点G 的在射线
上运动，推出当
时，
的值最小，证明四边形
是矩形，进一步推出
，则
，即可得到
的最小值为
．
【详解】解：如图，将线段
绕点E 顺时针旋转
得到线段
，连接
交
于J．
∵四边形
是矩形，∴
，
∵
，∴
，
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∵
，∴
，∴
，
∴点G 的在射线
上运动，∴当
时，
的值最小，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴四边形
是矩形，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
的最小值为
．故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
3.（2023 上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形
的边长为4，点
是正方形对角线
所在
直线上的一个动点，连接
，以
为斜边作等腰
（点
，
，
按逆时针排序），则
长的
最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和题干给定的
是以
为斜边作等腰直角三角形，证明
，
得到
进一步证明
，得到
，由正方形的性质得点H 为
的中点，有点F 在
的垂直平分线
上运动，当点F 与点H 重合时，
的值最小．
【详解】解：连接
交
于点G，连接
并延长交
于点H，如图，
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∵四边形
是正方形，∴
，
，
，
∵
是以
为斜边作等腰直角三角形，∴
，
，
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
，则
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，则
，∴
，
∵点G 为正方形
对角线的交点，∴点H 为
的中点，∴点F 在
的垂直平分线
上运动，
∵
，∴当点F 与点H 重合时，
的值最小，此时
．
即
长的最小值为2．故答案选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相
似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键．
4．（2023 上·河北保定·九年级校考期中）如图，在
中，
，且
，点D
是斜边
上的一个动点，过点D 分别作
于点M，
于点N，连接
，点O 为
的
中点，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出
的长，再证明四边形
是矩形，可得
，根据垂线段最短可得当
时，
的值最小，再利用三角形面积求出
，可得
，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接
，
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，且
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
当
时，
的值最小，
此时，
，
，
的最小值为
，故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对
角线相等．
5．（2023 上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在
中，
，
，点
，
分别是
，
边上的动点，连结
，
，
分别是
，
的中点，则
的最小值为（ ）
A．12
B．10
C．9.6
D．4.8
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接
，作
于点
H．由三角形中位线的性质得
，由垂线段最短可知当
最小，即点E 与点H 重合时
的值最
小，然后利用勾股定理求出
的长即可．
【详解】解：连接
，作
于点H．
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∵点
，
分别是
，
边上的动点，∴
是
的中位线，∴
，
∴当
最小，即点E 与点H 重合时
的值最小．设
，则
，
∵
，∴
，∴
，∴
的最小值为4.8．故选D．
6．（2023 上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形
的边长为4，
，点E 是直线
上一个动点，连接
，线段
绕点B 顺时针旋转
得到
，则线段
长度的最小值等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，在
上截取
，使
，连接
，过点D 作
于点H，证明
，得出
，点F 在直线
上运动，当点F 与H 重合时，
的值
最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接
，在
上截取
，使
，连接
，过点D 作
于点H，如图所
示：
淘宝：学思创想
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，在
和
中
，
∴
，∴
，
∴点F 在直线
上运动，当点F 与H 重合时，
的值最小，
∵
，
，∴
，故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题
意作出辅助线，得出点F 在直线
上运动，当点F 与H 重合时，
的值最小，是解题的关键．
7．（2022·江苏·徐州市三模）如图，
中，
，
，
为
边上的一动点，以
、
为边作
，则线段
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可知
点在平行
的线段
上运动，当
时，
最小，根据勾
股定理即可求解．
淘宝：学思创想
【详解】解：
四边形
是平行四边形，
，则
点在平行
的线段
上运动，当
时，
最小，
，则
，在
中，
，
，
，即
最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定
点的轨迹是解题的关键．
8．（2023 上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知
，B 为
上一点，
于A，
四边形
为正方形，P 为射线
上一动点，连接
，将
绕点C 顺时针方向旋转
得
，连接
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合
应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解
答．连接
，依据
构造全等三角形，即
，将
的长转化为
的长，再依据垂线段最
短得到当
最短时，
亦最短，根据
，
，即可求得
的长的最小值．
【详解】解：如图，连接
，
由题意可得，
∴
，
在
和
中，
， ∴
，∴
，
淘宝：学思创想
当
时，
最短，此时
也最短，
∵
，
，∴
，∴
∴
，
∴当
时，
，∴
的最小值为
．故答案为：
．
9．（2023 上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系
中，已知点
，点C 是y 轴
上一动点，设其坐标为
，线段
绕点C 逆时针旋转
至线段
，则点B 的坐标为 ，连
接
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是
正确寻找点
的运动轨迹，属于中考常考题型．
设
，过点
作
轴，垂足为点
，证明
，推出
，可得
点
的坐标为
，推出点
的运动轨迹是直线
，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】设
，过点
作
轴，垂足为点
，
淘宝：学思创想
∵线段
绕着点
按逆时针方向旋转
至线段
，
∵点
，点
，∴点
的坐标为
，∴点
的运动轨迹是直线
，
∵直线
交
轴于
，交
轴于
，
过点
作
于
．则
，
根据垂线段最短可知，当点
与点
重合时，
的值最小，最小值为
，
故答案为：
；
．
10．（2023 上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，已知
中，
，
，
，
，
，点
为直线
上一动点，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
、
，点
在直线
上且
，则
最小值为 ．
【答案】
【分析】首先通过证明
得到
，再根据垂线段最短将最小值转化为点
到
的
距离，最后利用面积法计算即可．
【详解】解：
，
，
，即
，
由旋转可知：
，
，
，
在
和
中，
，
，
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，则当
时，
最小，即
最小，
，
，
，
，
点
到
的距离为
，
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想．
11．（2023 上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形
中，
，
，
为边
上的
点，且
．
为
边上的动点，以
为边在其右侧作等腰直角三角形
，
．设
中点
为
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点
作
于
，过点
作
，证明
，可得
，
可得点
在平行
且到
距离为的直线
上运动，则当点
、
、
共线时，
有最小值，即可
求解．
【详解】解：如图，过点
作
于
，过点
作
，∴
，
∵四边形
是长方形也就是矩形，
，
，
∴
，
，∴
，
∵
是等腰直角三角形，
，∴
，
∴
，∴
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，∴点
在平行
且到
距离为的直线
上运动，
当点
、
、
共线时，
，则
，此时
有最小值，
此时
，∴四边形
是长方形，
∴
，∴
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
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【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三
角形的性质，垂线段最短，确定点
的运动轨迹是解题的关键．
12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在
中，
，点P 为
边上任意
一点，连接
，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
，则
长度的最小值为_________．
【答案】
##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC 边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP 最短即为PQ 最短，利用垂线
段最短得到点P 的位置，再证明
利用对应线段的比得到
的长度，继而得到PQ 的长度．
【详解】解：∵
，∴
，
∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过O 作BC 的垂线
，
∵
,∴
,
∴
，∴
，∴
，∴则PQ 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂
线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
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13．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角
坐标系中，若点A（
，0），点B 在y 轴正半轴上，则OP 的最小值是 _____．
【答案】
##
【分析】把△AOB 绕点A 顺时针旋转，使AB 与线段AP 重合，点O 的对应点为C，直线CP 交x 轴于点
D，证得△ACD 为等腰直角三角形，可得点P 的运动轨迹在直线CP 上，当OP⊥CP 时，OP 最短，当
OP⊥CP 时，△OPD 为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，把△AOB 绕点A 顺时针旋转，使AB 与线段AP 重合，点O 的对应点为点C，直线CP
交x 轴于点D，
则△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC= AO=3
，
∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC +∠PAO=45°，即∠CAO=45°，
∴△ACD 为等腰直角三角形，∴点P 的运动轨迹在直线CP 上，
∴当OP⊥CP 时，OP 最短，当OP⊥CP 时，△OPD 为等腰直角三角形，
∵△ACD 为等腰直角三角形，AC=3
，∴AD=
AC=6，
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∴OD=6-3
，∴OP=3
-3．即OP 最小值为3
-3．故答案为：
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，
勾股定理，解决本题的关键是得到△ACD 和△OPD 为等腰直角三角形．
14．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D 是AB 上一动点，以
DC 为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE 的最小值为__________________．
【答案】
【分析】以AC 为斜边在AC 右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C 与AB 交于点G，连接E1E 延长与AB 交
于点F，作BE2⊥E1F 于点E2，由Rt△DCE 与Rt△AE1C 为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1
＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E 在直线
E1E 上运动，当BE2⊥E1F 时，BE 最短，即为BE2的长．
【详解】解：如图，以AC 为斜边在AC 右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C 与AB 交于点G，连接E1E 延
长与AB 交于点F，作BE2⊥E1F 于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE 与Rt△AE1C 为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE
∵
，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D 为AB 上的动点，∴E 在直线E1E 上运动，
淘宝：学思创想
当BE2⊥E1F 时，BE 最短，即为BE2的长．
在△AGC 与△E1GF 中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，
∵BF＝
BE2，∴BE2＝
，故答案为：
．
【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握
含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形
中，
，点E 为边
上一动点，将点A 绕点E
顺时针旋转
得到点F，则
的最小值为__________．
【答案】
【分析】
上截取
，过点
作
交
的延长线于点
，证明
，
是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，
上截取
，过点
作
交
的延长线于点
，
正方形
中，
，将点A 绕点E 顺时针旋转
得到点F，
是等腰直角三角形
,
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在射线
上运动，则
是等腰直角三角形，
与
点重合时，
取得最小值，等于
即
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得
的轨迹是解题的关键．
16．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC 中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P 从A 点出发沿AB 运动到B
点，以CP 为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC 的外心运动的路径长为 _____，
BQ 的最小值为 _____．
【答案】
；
【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC 的中点为端点的线
段；利用特殊位置，斜边为AC、BC 的情形，确定点Q 的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，
利用三角形相似计算即可．
【详解】
AB＝5，BC=3，AC＝4，
，
，
，
Rt△PQC 的外心就是斜边的中点，设AC、BC 的中点分别是M、N，
外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC 的中位线，
，
淘宝：学思创想
当点P 与点A 重合时，即点
，此时以CA 为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P 与点B 重合时，
即点
，此时以CB 为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，
为点Q 的运动轨迹，
BQ 的最小值为点B 到
的垂线段的长度，过点B 作
，垂足为E，
三角形AQ1C，三角形BQ2C 均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，
，
，
，
，
，
，
，即
，解得
，故答案为：
；
．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判
定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键．
17．（2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B 两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C 为y 轴上一动点，
以AC 为边向下作Rt
，使得
，
，连接线段
，则线段
的最小值为____．
【答案】
##
【分析】连接
，作
于
，当点
运动到
点时，则点
运动到
，求得
，
为动点
的运动轨迹，当运动到
时，
最小，据
为
角所对的直角边，
为斜边即可求得
答案．
【详解】解：由题意得，连接
，作
于
，如图所示：
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、
当点
运动到
点时，则点
运动到
，
，
，
由题意可得：直线
为动点
的运动轨迹，当运动到
时，
有最小值，
，故答案为
．
【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准
为动点
的运动轨迹，当运动到
时，
有最小值是解题的关键．
18．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD＝120°，E 是边CD 的中点，F 是边
AD 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小
值是________________．
【答案】4+2
【分析】取AD 中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC 的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明
∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E 关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
求出BE 即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD 中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC 的延长线于点H，
∵四边形ABCD 为菱形，∴AB＝AD，
7
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∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD 为等边三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG 也为等边三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．
在△DEF 和△GEF'中，
，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E 关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH 中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴
，
在Rt△BEH 中，BE＝
＝
＝2
，∴BF'+EF'≥2
，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2
，故答案为：4+2
．
【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三
角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
19．（2022·河南南阳·二模）如图所示，
，
，
于点B，点D 是线段BC 上一个动点，
且
于点D，
，连接CE，则CE 长的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC 上截取
，构造相似，可得出
，过C 点作CH⊥EQ 可得出
即可求出CE 的长
【详解】解：在BC 上截取
，则
，
中，
，
DE
GE
DEF
GEF
EF
EF
1
2,
2 3,
2
CH
BC
BH
2
2
BH
EH
12 16
7
7
7
7
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∵
，∴在
中，
，
∴
∴
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
的角度固定不变，∴CH 为CE 的最小值．
过C 点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵
∴∠CQH=∠QAB∴
，
∵
，∴
，CE 的最小值是3.
【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2023 江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1 所示，点P 是直线m
外一点，
，点O 是垂足，点A、B、C 在直线m 上，比较线段PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了
什么？
最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．
（2）小试牛刀：如图2 所示，
中，
，
，
．则点P 为AB 边上一动点，则
CP 的最小值为______．
（3）尝试应用：如图3 所示
是边长为4 的等边三角形，其中点P 为高AD 上的一个动点，连接BP，
将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE 的最小值．②在①的条件下求
的面积．
（4）拓展提高：如图4，
顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动，连接AE．
．
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，
，请求出AE 的最小值．
【答案】（1）PO，垂线段最短；（2）
；（3）①DE 的最小值是1；②△BPE 的面积为
；（4）
AE 的最小值为
．
【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PC⊥AB 时，PC 取得最小值，利用面积法
即可求解；（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到
∠BCE=30°．得到点E 在射线CE 上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE 最短，据此求
解即可；②利用勾股定理求得EC=
，即AP=
，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP 的长，即可求
解；
（4）作出如图的辅助线，先判断出点E 在直线GH 上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AE⊥GH
时，AE 最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）∵PO⊥直线m，∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案为：PO，垂线段最短；
（2）由（1）知当PC⊥AB 时，PC 取得最小值，S△ABC=
AC BC=
AB PC，
∴PC=
，即CP 的最小值为
，故答案为：
；
（3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE 是等边三角形，
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，边长为4，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，
∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；
∵点P 为高AD 上的一个动点，∴点E 在射线CE 上，
根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE 时，DE 最短．
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∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=
CD=1，即DE 的最小值是1；
②由①得CD=2，DE=1，∴CE=
，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE
，
在Rt△BDA 中，AB=4，BD=2，∴AD=
，∴PD=AD-AP=
，∴PB=
，
∴等边三角形△PBE 的高为
，∴△BPE 的面积为
=
；
（4）过点B 作BH⊥AC 于点H，则∠BHC=90°，
∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，
∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此时点F 与点C 重合，点E 与点H 重合，
∵AB=3，BC=4，∴AC=
，
∵S△ABC=
AB BC=
AC BH，∴BH=
，∴AH=
，
取AB 中点G，过点G 作GI⊥AB 交AC 于点I，则∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，
∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此时点F 与点I 重合，点E 与点G 重合，
顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动，且
，
四点共圆，
∴点E 在直线GH 上运动，
根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH 时，AE 最短，过点H 作HP⊥AB 于点P，
淘宝：学思创想
∴△APH
△ABC，∴
，即
，
∴PH=
，AP=
，∴PG=AG-AP=
，∴GH=
，
∵S△AGH=
AG PH=
GH AE，∴AE=
，∴AE 的最小值为
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边
三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
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