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淘宝：学思创想
专题34 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.阿氏圆模型...........................................................................................................................................1
..................................................................................................................................................12
模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P 满足 PA/PB=k（k 为常数，且
k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为
阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
A
B
P
O
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如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB（即
），
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r（即
），∵
，∴
，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴
，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3 所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一
内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中
P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在
中，
，点D 是平面上一点，且
，
连接
，则下列说法正确的是（ ）
A．
长度的最大值是9
B．
的最小值是
C．
D．
面积的最大值是40
【答案】B
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【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题
关键，根据点和圆的位置关系直接判断A、C、D，根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段
最短判断B 即可．
【详解】解：A、
，点D 是平面上一点，且
，
点A、C、D 在同一直线上且D 在
延长线上时，
长度的最大值是
，故本选项不符合题意；
B、在
上取点E，使
，连接
，
当B、D、E 共线时
最小，
此时，
，故本选项符合题意；
C、
点D 是平面上一点，且
，
点在以点C 为圆心，4 为半径的圆上，
随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意；
D、
点在以点C 为圆心，4 为半径的圆上，
如下图，当
所在直线垂直于
时，
面积的最大，
在
中，
，
，
，
，
，
，
面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B．
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个
动点，则
的最大值为_______．
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A
B
C
D
P
【答案】
【解析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造
，在BC 上取M 使得此时PM=
，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=
，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD，对于
△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值
．
A
B
C
D
P
M
M
P
D
C
B
A
A
B
C
D
P
M
M
P
D
C
B
A
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则
PA＋PB 的最小值为________．
【答案】
【分析】
PA＋PB＝
（PA＋
PB），利用相似三角形构造
PB 即可解答．
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【详解】解：设⊙O 半径为r，
OP＝r＝
BC＝2，OB＝
r＝2
，取OB 的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝
，
∵
，
，∴
，∠O 是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴
，∴PI＝
PB，∴AP＋
PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I 在一条直线上时，AP＋
PB 最小，作IE⊥AB 于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝
BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝
，∴AP＋
PB 最小值＝AI＝
，
∵
PA＋PB＝
（PA＋
PB），∴
PA＋PB 的最小值是
AI＝
．故答案是
．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O 半
径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P 在弧MN 上移动，连接PA，PB，则3PA+PB 的最小值为 ___．
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【答案】
【分析】如图，在y 轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据
，∠AOP 是公共角，可得
△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P 三点共线时，3PA+PB 的值最小为BC，利用勾股定理求出BC 的长
即可得答案．
【详解】如图，在y 轴上取一点C（0,9），连接PC,
∵⊙O 半径为3，点A（0，1），点B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵
，∠AOP 是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴当B,C,P 三点共线时，3PA+PB 最小值为BC,
∴BC=
=
=
，∴3PA+PB 的最小值为
．故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B 三点在同一条直线上时
3PA+PB 有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，
在以
为圆
心3 为半径的圆上，则
的最小值为 ．
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【解答】解：在
上取点
，使
，
，
，
，
，
，
，
在
延长线上取
，
，则
，
又
，
，
，
，
，
当
为
和圆的交点时
最小，即
最小，且值为
，
，
的最小值为
，故答案为：
．
例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，
、
分别是边
、
上的两个动点，且
，
是
的中点，连接
，
，则
的最小值为 ．
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【答案】
【解答】解：如图，在
上取一点
，使得
，连接
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6 的正方形
中，M 为
上一点，且
，N 为边
上一动点．连接
，将
沿
翻折得到
，点P 与点B 对应，连接
，则
的最小值为 ．
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【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点
在以
为圆心，以
为半径的圆上，在线段
上取一点
，使得
，利用相似三角形的性质得到
，从而得到
，
当且仅当
三点共线时，取得最小值
，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴点
在以
为圆心，以
为半径的圆上，
在线段
上取一点
，使得
，则
∵
，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
如下图所示，当且仅当
三点共线时，取得最小值
，∴
的最小值为：
例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB 中，已知PA=2，AB=4，Q 为AB 上一点
且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙A 的半径为2，点P
是⊙A 上的一个动点，求2PC+PB 的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，
∠A=60°，⊙A 的半径为2，点P 是⊙A 上的一个动点，求2PC−PB 的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
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（2）在AB 上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q 三点共线时，PC+PQ 的值
最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB 的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P 在
CQ 交⊙A 的点P′时，PC−PQ 的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB 的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴
．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴
．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB 上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q 三点共线时，PC+PQ 的值最小．
∵QC=
=5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB 的最小值为10．
（3）如图，在AB 上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ 交⊙A 于点P′，过点C 作CH 垂
直AB 的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P 在CQ 交⊙A 的点P′时，PC−PQ 的值最大．
∵QC=
=
，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2
．∴2PC−PB 的最大值为2
．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线
段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为
两点之间线段最短解决．
例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．抛物线的对称轴
与经过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
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(1)求直线
及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点
，使得
是以
为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点
的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点
为圆心，画半径为2 的圆，点
为
上一个动点，请求出
的最小值．
【答案】(1)直线
的解析式为
；抛物线解析式为
(2)存在，点M 的坐标为
或
或
(3)
【分析】（1）根据对称轴
，
，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当
时，求出直线
的解析式为
，解
方程组
，即可得到点M 的坐标；②当
时，求出直线
的解析式为
，
解方程组
，即可得到点M 的坐标；（3）在
上取点
，使
，连接
，证得
，又
，得到
，推出
，进而得到当点C、P、F 三点共线时，
的值最小，即为线段
的长，利用勾股定理求出
即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴
，
，∴
，
将
代入直线
，得
，解得
，∴直线
的解析式为
；
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将
代入
，得
，解得
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）存在点
，∵直线
的解析式为
，抛物线对称轴
与
轴交于点
．
∴当
时，
，∴
，
①当
时，设直线
的解析式为
，将点A 坐标代入，
得
，解得
，∴直线
的解析式为
，
解方程组
，得
或
，∴点M 的坐标为
；
②当
时，设直线
的解析式为
，将
代入，
得
，解得
，∴直线
的解析式为
，
解方程组
，解得
或
，∴点M 的坐标为
或
综上，点M 的坐标为
或
或
；
（3）如图，在
上取点
，使
，连接
，
∵
，∴
，∵
，、∴
，
又∵
，∴
，∴
，即
，
∴
，∴当点C、P、F 三点共线时，
的值最小，即为线段
的长，
∵
，∴
，∴
的最小值为
．
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【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，
勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形
中，已知
，
，E 为
边上一动点，将
沿
翻折到
的位置，点A 与点F 重合，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关
键．在
上取点G，使
，连接FG，DG，证明
，可得出
，则
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，当
、
、
三点共线时，
最小，在
中，利用勾股定
理求出
即可．
【详解】解：如图，在
上取点G，使
，连接
，
．
沿
边翻折到
，
，又
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，当
、
、
三点共线时，
最小，
在
中，
，
，
，
，即
的最小值为
．
2．（2024 年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形
中
，
，点
是矩形
内部一个
动点，且
，连接
，则
三分之二
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得：点
在以
为圆心，
为半径的圆弧上运动，在
上取一点
，使
，连
接
，由矩形的性质可得
，
，推出
，证明
，得到
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，推出
，即当
、
、
共线时，
取最小值，最小值为
，
最后根据勾股定理求出
，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：点
在以
为圆心，
为半径的圆弧上运动，在
上取一点
，使
，
连接
，
矩形
中，
，
，
，
，
，
，
，又
，
，
，
，
，
当
、
、
共线时，
取最小值，最小值为
，
，故选:B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解
题的关键是正确作出辅助线．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形
中，已知
，
，E 为
边上一动点，将
沿
翻折到
的位置，点A 与点F 重合，连接
，则
的最小值为（ ）
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A．
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关
键．在
上取点G，使
，连接FG，DG，证明
，可得出
，则
，当
、
、
三点共线时，
最小，在
中，利用勾股定
理求出
即可．
【详解】解：如图，在
上取点G，使
，连接
，
．
沿
边翻折到
，
，又
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
当
、
、
三点共线时，
最小，在
中，
，
，
，
，即
的最小值为
．故选：D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在
中，
，
，
，以
为圆心，为
半径作
，
为
上一动点，连接
、
，则
的最小值为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题
的关键．在
上截取
，使得
，连接
，
，
．利用相似三角形的性质证明
，
可得
，利用勾股定理求出
即可解决问题．
【详解】解：如图，在
上截取
，使得
，连接
，
，
．
∵
，
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，
∵
，在
中，
，
，
，
∴
，∴
，∴
的最小值为．故选：C．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形
中，
，点P 为边
的中点，点E 在
边
上，连接
，点F 为
上的动点，则
的最小值为 ．
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【答案】6
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作
于点
，证明
，求得
，当
三点共线时，
有最小值，最小值为
的
长，据此求解即可．
【详解】解：∵矩形
中，
，点P 为边
的中点，
∴
，
，
作
于点
，∴
，∴
，
∴
，即
，∴
，∴
，
当
三点共线时，
有最小值，最小值为
的长，
此时
，∴
的最小值为6，故答案为：6．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形
边长为8，
为
中点，
为
上的动点，
为
上的点，且
，连接
，则
的最小值是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取
的中点
，连接
，
证明
，得出
，从而得出
，连接
交
于
，当
、
、
在同一直线上时，
最小，即
最小，最小为
，再由勾股定理求出
的长即可．
【详解】解：取
的中点
，连接
，
，
∵四边形
为正方形，边长为8，
为
中点，∴
，
，
，
∵
为
上的动点，∴
，∴
，
∵
为
中点，∴
， ∴
，∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，
连接
交
于
，当
、
、
在同一直线上时，
最小，即
最小，最小为
，
∵
，∴
最小值为
，故选：D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形
中，E、F 分别为
上的动点，
，连接
交于点P，则
的最小值为 ．
【答案】2
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【分析】证明
，则
，
，如图，记
的中点为
，则
在以
为圆心，
为直径的圆上，如图，连接
，由勾股定理得，
，
如图，在
上取点
使
，则
，连接
，
，证明
，则
，
即
，由
，可得当
三点共线时，
的值最小，为
，如
图，作
于
，则
，
，
，则
，即
，可得
，即
，由勾股定理得，
，根据
，计算求解即
可．
【详解】解：∵正方形
，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
如图，记
的中点为
，则
在以
为圆心，
为直径的圆上，
如图，连接
，由勾股定理得，
，
如图，在
上取点
使
，则
，连接
，
，
∵
，
，∴
，∴
，即
，∴
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，∴当
三点共线时，
的值最小，为
，
如图，作
于
，∴
，∴
，∴
，
∴
，即
，解得
，∴
，
由勾股定理得，
，由勾股定理得，
，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
圆周角所对的弦为直径，
相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形
中，点
，
分别在边
，
上（不与顶点重
合），且满足
，连接
，
交于点
．
，
分别是边
，
的中点，连结接
，
．
若正方形的边长为，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由四边形
是正方形，得
，
，证明
，根
据性质得出
，点
无论在何处，均有
，即点
在以
中点为圆心，
为直
径的圆上，用点
表示
的中点，连接
，用点
表示
的中点，用点
表示
的中点，连接
，以
为圆心，
为半径画
圆，然后证明
，则
，
故
的最小值也就是
的最小值，当点
三点共线时，
最小，最小值为线
段
的长度，最后由勾股定理即可求解．
淘宝：学思创想
【详解】∵四边形
是正方形，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴点
无论在何处，均有
，即点
在以
中点为圆心，
为直径的圆上，用点
表示
的中点，连接
，用点
表示
的中点，用点
表示
的中点，连接
，以
为圆心，
为半径画
圆，如图中的
，
∵
在
上运动且不与
重合，∴点
的轨迹就是
，不与
重合，
∵
，
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
的最小值也就是
的最小值，
∵点
在
上，∴当点
三点共线时，
最小，最小值为线段
的长度，
∵点
分别是正方形
边
的中点，∴四边形
是矩形，
∵点
分别是矩形
边
的中点，∴四边形
是矩形，∴
，
，
∵
，∴在
中，由勾股定理得
，
即：
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定
淘宝：学思创想
理，两点之间线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径
AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋
EF 的最小值为
．
【答案】
【分析】连结AF，延长AC 到G 使CG=3，连结GF，过G 作AH⊥AB 于H，先证△FAE∽△GAF，得出
，根据两点间距离最短得出FG+FD≥GD，即
，当点G，F,D 三点在同一直线上
时GF+FD 最短即
最短=DG，然后利用30°直角三角形先证求出AH=
，利用锐角三角函数
求出GH=AG·cos30°=
，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连结AF，延长AC 到G 使CG=3，连结GF，过G 作AH⊥AB 于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，∵
，
，∴
，
∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，∴
，∴
，
∴FG+FD≥GD，即
当点G，F,D 三点在同一直线上时GF+FD 最短即
最短=DG，
在Rt△GHA 中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
∴AH=
，GH=AG·cos30°=
，∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=
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，
∴GD=
，∴
．故答案为
．
【点睛】本题考查圆与相似，解直角三角形联合应用，最短路径问题，勾股定理，利用辅助线构造三角形
相似是解题关键．
10．（23-24 九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形
的边长是4，
的半径是2，点E 是
上
一动点，连接
，
．则
的最小值= ．
【答案】5
【分析】如图，在
上取一点
，使得
，连接
．证明
，推出
，推出
，由
，由此可得结论．
【详解】解：如图，在
上取一点
，使得
，连接
．
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∵四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，∴
的最小值为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．（2024 九年级·广东·专题练习）如图，在
中，
，
的半径为2，D 是
上一动点，点E 在
上，
，连接
，则
的最小值
【答案】
【分析】在AC 上取点H 使CH=1，连接CD、BD、HD，根据
和∠DCB=∠DCE，得出
△CDE∽△CBD，从而得出DB=2DE，再根据△CHD∽△CDA，得出
，根据两点之间线段最短
得出
的最值小为BH，再根据勾股定理即可得出答案
【详解】解：在AC 上取点H 使CH=1，连接CD、BD、HD，
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∵
的半径为2，∴CD=2，∵CE=1，CB=4∴
，
∵∠DCB=∠DCE，∴△CDE∽△CBD，∴
∴DB=2DE
∵CH=1，CA=4 同理可证：△CHD∽△CDA，∴
，∴
∴当点H、D、B 三点共线时，DH+DB 的值最小，即
的值最小为BH；
连接BH，∵
，
，CH=1 ∴
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的基本性质和相似三角形的性质和判定，以及勾股定理等知识点，得出
和DB=2DE 是解题的关键
12．（2024·四川·校考一模）如图，
为
的直径，
，点C 与点D 在
的同侧，且
，
，
，
，点P 是
上的一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
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【分析】连接
，先利用勾股定理求得
，
，在
上截取
，过
作
于
，
于
，求得
，
，
，进而求得
，证明
求得
，利用两点之间线段最短得到
，当
共
线时取等号，即可求解．
【详解】解：连接
，∵
为
的直径，
，∴
，
∵在
中，
，∴
，
，
在
上截取
，过
作
于
，
于
，连接
、
，
∴四边形
是矩形，
，
∴
，
，∴
，
在
中，
，
∵
，
是公共角，∴
，
∴
，则
， ∴
，当
共线时取等号，
故
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的基本概念、相似三角形的判定与性质、两点之
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间线段最短等知识，解答的关键是截取在
上截取
，构造相似三角形求得
是关键．
13．（23-24 九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰
中，
，
，
是
上
一点，以
为圆心的半圆与
、
均相切，
为半圆上一动点，连
、
，如图，则
的最
小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与
、
的切点为
、
，取
的中点
，连接
、
，根据已知条件证明
，得
，当
且仅当
、
、
三点共线时，
取得最小值，进而求解．
【详解】解：设半圆与
、
的切点为
、
，
连接
、
、
、
，则
，
，
，所以
平分
，
，
，
，
，
，取
的中点
，连接
、
，
则
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
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，
，
，当且仅当
、
、
三点共线时，
取得最小值, 最小值为
．故答案为：
．
14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形
中，E、F 分别为
上的动点，
，连接
交于点P，则
的最小值为 ．
【答案】2
【分析】证明
，则
，
，如图，记
的中点为
，则
在以
为圆心，
为直径的圆上，如图，连接
，由勾股定理得，
，
如图，在
上取点
使
，则
，连接
，
，证明
，则
，
即
，由
，可得当
三点共线时，
的值最小，为
，如
图，作
于
，则
，
，
，则
，即
，可得
，即
，由勾股定理得，
，根据
，计算求解即
可．
【详解】解：∵正方形
，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，
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∴
，∴
，
如图，记
的中点为
，则
在以
为圆心，
为直径的圆上，
如图，连接
，由勾股定理得，
，
如图，在
上取点
使
，则
，连接
，
，
∵
，
，∴
，∴
，即
，
∴
，∴当
三点共线时，
的值最小，为
，
如图，作
于
，∴
，∴
，∴
，
∴
，即
，解得
，∴
，由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
圆周角所对的弦为直径，
相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6 为半径
的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD 的最小值是 .
【答案】
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【分析】如下图，在CA 上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将
转化为DE，从而求得
的最小距离，进而得出2AD+3BD 的最小值．
【详解】如下图，在CA 上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4∴
∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴
∴ED=
在△EDB 中，ED+DB≥EB∴ED+DB 最小为EB，即ED+DB=EB∴
在Rt△ECB 中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为：
．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
16．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，在
中，
，
，
，D、E 分
别是边
、
上的两个动点，且
，P 是
的中点，连接
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，在CB 上取一点F，使得
，连接
，
，利用相似三角形的性质证明
，
根据
，利用勾股定理求出
即可解决问题．
【详解】解：如图，在
上取一点F，使得
，连接
，
，
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∵
，
，
，∴
，∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
的最小值为
，故答案为
．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在
中，
，
，
，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP、BP，求
的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB 上取一点D，使
，则
．又
，所以
∽
．所以
．
所以
，所以
．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：
的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求
的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，
，
，
，
，P 是
上一点，
求
的最小值．
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【答案】（1）
；（2）
；（3）13．
【分析】（1）根据题意可知最小值为AD 长度，利用勾股定理即可求出AD 长度．
（2）连接CP，在CA 上取一点D，使
，即可证明
∽
，得到
，即
，所以
的最小值为BD 长度，利用勾股定理即可求出BD 长度．
（3）延长OC 到E，使
，连接PE，OP，即可证明
∽
，得到
，即
，所以
的最小值为BE 长度，利用勾股定理即可求出BE 长度．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D 三点共线时，
最小，最小值
． 故答案为：
．
（2）连接CP，在CA 上取一点D，使
，则有
，
∵
，∴
∽
，得
，
∴
，故
，仅当B、P、D 三点共线时，
的最小值
．
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（3）延长OC 到E，使
，连接PE，OP，
则
，∵
，∴
∽
，∴
，
∴
，∴
，仅当E、P、B 三点共线时，
，即
的最小值为13．
【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出
∽
和
∽
是解题的关键．本题较难．
18．（2023 春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
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【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P 在半径为2 的⊙O 上，求
的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA 上取一点C 使得OC=1，这样可得
，又因为
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以
，得
所以
．
又因为
，所以
最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将
转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
CP+ BP 的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P 是半径为6 的⊙O 上一动点，求
最小
值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D 为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD 面
积的最大值为 ．
【答案】[问题解决]
；[尝试应用]
，见详解；[能力提升]
【分析】[问题解决]利用勾股定理即可求出，最小值为
；
[尝试应用]在
上取一点C 使OC=4，通过证明
得到
，
，所以
，再求出AC 的值，问题即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD 确定点D 的运动轨迹是一个圆，过点D 作
于G，若△ABD 面积的最大，
则DG 最大，所以DG 过圆心，进而求解本题.
【详解】解：[问题解决]如图，在
中，
，
的最小值为
，故答案为：
；
[尝试应用]如图，在OB 上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC
，
，
，
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，
，
，
，
过点C 作
于D，
sin
，
，
，
在
中，
，
最小值为
；
[能力提升]在BC 上取一点E，使BE=6，延长BC 到F，使BF=12，则
，
，
，
，
，
连接DE，DF，由
，
点E，F 到BD，CD 的距离相等，，
DE，DF 是
的内，外角平分线，
，
点D 是平面内任意一点，
点D 在以EF 为直径的圆O 上，
过点O 作
交AB 的延长线于点G，交圆O 于点D，则DG 是直线AB 到圆上的最大距离，此时
的面积最大，
，EO=3，
在
中，
，
，
，
，
△ABD 面积的最大值为
，故答案为：
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【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，
直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键.
19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点
到
的三个顶点的距离分别为
、
、
，若有
，则称点
为
关于点
的勾股点．
(1)如图2，在
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E 均在小正方形的格点上，则
点
是
关于点______的勾股点；若点
在格点上，且点
是
关于点
的勾股点，请在方格纸
中画出
；(2)如图3，菱形
中，
与
交于点
，点
是平面内一点，且点
是
关于
点
的勾股点．①求证：
；②若
，
，则
的最大值为______（直接写出结果）；
③若
，
，且
是以
为底的等腰三角形，求
的长．
(3)如图4，矩形
中，
，
，
是矩形
内一点，且点
是
关于点
的勾股点，
那么
的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②
；③
或
(3)
【分析】（1）根据勾股定理得到
，则点
是
关于点
的勾股点；根据勾股定理结
合定义得到
，据此画图即可；（2）①根据定义可得
，利用菱形的性质和勾股定
理可得
，即可证明
；②利用勾股定理求出
，则点E 在以O 为圆心，
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半径为
的圆上运动，即可当
（点O 在
）三点共线时，
最大，据此求解即可；如图3，
由②可知点
在以
为圆心，
为半径的圆上运动．当点
在
左侧时，连接
．先证明
，
过点
作
，求出
，
，过点
作
，则四边形
为正方形，则
，
，即可得到
；当点
在
右侧时，同理求解即可．（3）如图
4，在
上取点
，使
，则
，先求出
，进而证明
，得到
，
则
，故当A、E、F 共线时，
值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
∴
，∴点
是
关于点
的勾股点；
∵点
是
关于点
的勾股点，∴
∵
，∴
，如图所示，
即为所求；
（2）解：①∵点
是
关于点
的勾股点，∴
，
∵菱形
中，
，∴在
中，
，∴
；
②∵
，
，∴在
中，
，∴
，
∴点E 在以O 为圆心，半径为
的圆上运动，
淘宝：学思创想
∴当
（点O 在
）三点共线时，
最大，最大值为
；
③如图3，由②可知点
在以
为圆心，
为半径的圆上运动．
当点
在
左侧时，连接
．当
时，∵
，∴
，
过点
作
，∴点
为
中点，即
，
∴
，
，过点
作
，则四边形
为正方形，
∴
，∴
，∴
．
当点在
右侧时，可得点
与点
关于
对称，∴
∴
或
（3）解：如图4，在
上取点
，使
，则
，
∵
是
关于点
的勾股点，∴
，
在
中，
，∴
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴当A、E、F 共线时，
值最小，
在
中，由勾股定理得
，
∴
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，
勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
20．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）如图，在
中，
，
交
于点
，
为
线段
上一动点，连接
．(1)如图1，连接
，若
是
的角平分线且
时，求
的度数．(2)如图2，将线段
绕点
按逆时针方向旋转
，得到线段
，连接
交线段
淘宝：学思创想
于点
，连接
，若点
为线段
的中点，求证：
．(3)如图3，在（2）的基础上，
若
，将
绕点
顺时针旋转
角度
，旋转后
对应
，点
对应的点为
，连接
，
，
．旋转过程中，当线段
与线段
存在交点
且
时，记
；当
取得最小值时，记为
．请直接
写出
的值．
【答案】(1)
(2)见解析(3)
【分析】（1）结合
，
，得到
，继而得到
，结合
，证明
，得出
，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）延长
至
，使得
，连接
，证明
，进而证明
，
，得出
是等腰直角三角形，
，即可得证；
（3）根据已知条件设
，则
，
，得出
，则
，延长
至
，延长
交
于点
，得出
，在
上截取
，
过点
作
于点
，连接
，构造
，依题意当
三点共线时，
取得最小值进而求得
，即可求解．
淘宝：学思创想
【详解】（1）证明：∵
，
，
是
的角平分线，
∴
，
，
，
在
与
中，
，∴
，
∴
，∴
，∴
．
（2）如图，延长
至
，使得
，连接
∵点
为线段
的中点，∴
，在
与
中
∴
，
∴
，
，∴
，∴
，
∵将线段
绕点
按逆时针方向旋转
，得到线段
，∴
，
，
∵
，又∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∵
，
，∴
，
在
与
中，
，∴
，∴
，
∴
，∴
是等腰直角三角形，
∵
，∴
，
，∵
，∴
，
∴
是等腰直角三角形，∴
是等腰直角三角形，
又∵
是等腰直角三角形，∴
，∴
；
（3）∵
，
，设
，则
，
，∴
，
淘宝：学思创想
在
中，
，∴
，
∵当线段
与线段
存在交点
且
时， ∴
，∴
，
如图，延长
至
，延长
交
于点
，
由（2）可知
是等腰直角三角形，∴
是等腰直角三角形，
∴
，
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，如图，在
上截取
，过点
作
于点
，连接
则
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴当
三点共线时，
取得最小值，此时
，
∴
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性
淘宝：学思创想
质与判定，求正切，构造相似三角形与全等三角形是解题的关键．
