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专题02 平面向量
（新课标全国Ⅰ卷）1．已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
（新课标全国Ⅱ卷）2．已知向量
，
满足
，
，则
______．
【答案】
【详解】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
（全国乙卷数学（文））3．正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
1
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所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
（全国乙卷数学（理））4．已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，C 两
点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
2
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当点
位于直线
异侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值.
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
3
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，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
故选：A.
（全国甲卷数学（文））5．已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
（全国甲卷数学（理））6．向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
4
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AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
（新高考天津卷）7．在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，则
的最大值为_________．
【答案】
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
5
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故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量
，
满足
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【详解】
，所以
，
故选：D
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在
中，点
在
的延长线上，
，如果
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
6
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【详解】∵
，
∴
，
故选：B．
3．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量
与
的夹角是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
可得
，
因为平面向量
与
的夹角是
，且
所以
故选：C
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
.又
，所以
.
所以
，
因为
，所以
与
的夹角为
.
故选：C
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量
，
，若
，
则向量
在
上的投影向量的模长为___________.
【答案】
【详解】因为向量
，
，
，
，
若
，则
，
即
，即
，解得:
,
向量
在
上的投影向量的模长为:
7
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.
故答案为：
.
6．（2023·重庆·校联考三模）已知点
，
，若圆
上存在点P 满足
，则实数a 的取值的范围是____________．
【答案】
【详解】设点
，则
，而
，
则
，整理得
，即点
的轨迹是原点为圆心，2 为半径的圆，
因为点
在圆
，即圆
与圆
有公共点，
而圆
的圆心为
，半径为1，
因此
，即
，解得
或
，
所以实数a 的取值的范围是
.
故答案为：
7．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，
，
，则
，
夹角的余弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，
，解得
，
8
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故
，
故
，
故选：A．
8．（2023·云南保山·统考二模）已知向量
，
满足
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由己知条件得：
，
又
在
方向上的投影向量为
.
故选：D.
9．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形
中，
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在梯形
中，
，所以
，
所以
.
故选：C
10．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量
绕坐标原点
顺时针旋转
得到
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
因为向量
绕坐标原点
顺时针旋转
得到
，
9
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所以向量
与向量
的夹角为
，且
，
所以
.
故选：B
11．（2023·广西·校联考模拟预测）已知
和
是两个正交单位向量，
，
且
，
则
（ ）
A．2 或3
B．2 或4
C．3 或5
D．3 或4
【答案】B
【详解】因为
和
是正交单位向量，
，
，
可得
，所以
，解得
或
.
故选：B．
12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面向量
，
，
的夹角为
，
，则实数（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
即
，解得
.
故选：A.
13．（2023·北京·统考模拟预测）若向量
，
，则
与
的夹角等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
又因为
，所以
，即
与
的夹角等于
.
故选：D
14．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知向量
，
，
，且
，则实数
（ ）
10
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A．-1
B．0
C．1
D．任意实数
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，
又
，且
，所以
，解得
.
故选：B.
15．（2023·浙江·统考模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：A.
（多选）16．（2023·山东聊城·统考三模）已知向量
，
满足
，
，则
与
的夹角
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】因为
，则
，且
，则
，
所以
，即
，则
，又因为
，
即
，设
与
的夹角为
，则
，即
，
且
，则
，所以
，则
与
的夹角可以为
，
.
故选：AB
17．（2023·河南开封·统考三模）已知向量
，
，若
，则
______.
【答案】13
【详解】∵
，
，
，
11
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又∵
，
∴
，解得
.
故答案为：13
18．（2022·陕西西安·统考模拟预测）若向量
，
不共线，且
，则
________.
【答案】
【详解】因为向量
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
或
，
又向量
，
不共线，
所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
故答案为：
.
19．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量
满足
,且
，则
=_________________ ．
【答案】
【详解】由
,得
,
所以
.
故答案为：
20．（2023·河南·校联考模拟预测）向量
的夹角为
，定义运算“
”：
，若
，则
的值为___________.
【答案】
【详解】因为
，
12
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所以
，
则
，所以
.
故答案为：
.
13
