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重难专攻（十五）求数列的前n 项和
重难点题型1 公式法
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
是等比数列，且
，则数列
的前8 项和为（ ）
A．689
B．716
C．729
D．1597
2．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列
中，
是其前
项和，若
，
，则
（ ）
A．20
B．21
C．24
D．28
目录●重难点题型分布
3．（2025·上海·三模）已知数列
的通项公式为
（
为正整数），则数列
的前
项和
的最小值为 .
4．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）已知
是等比数列，
，则数列
的前
项和
为 .
5．（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
6．（2025·江西宜春·二模）记数列
的前
项和为
，其中
，
，对任意的
，有
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
.
重难点题型2 分组求和法
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
9．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列
各项均为正数，且满足
，
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，试证明：
，
重难点题型3 裂项相消法
10．（2025·重庆·三模）已知数列
是首项为2 的正项等比数列.又
构成等差数列.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若数列
满足
.令
.求数列
的前
项和
.
12．已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
、
、
的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列
的前
项和．
13．（2025·江苏扬州·三模）已知
是等差数列，公差不为
，其前
项和为
.若
，
，
构成等比
数列，
.
(1)求
及
；
(2)数列
满足
，
，
，
为数列
的前
项和，求
.
14．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，且满足
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)令
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
15．（2025·山东·模拟预测）记正项数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
16．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前n 项和
；
(3)记
，求数列
的前n 项和
．
重难点题型4 错位相减法
17．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
18．（2025·天津·高考真题）已知数列
是等差数列，
是等比数列，
．
(1)求
，
的通项公式；
(2)
，
，有
，
（i）求证：对任意实数
，均有
;
（ii）求
所有元素之和．
19．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
前n 项和为
，且满足
，数列
满足
．
(1)求出
(2)求出数列
的前
项和
20．（2025·海南·模拟预测）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
21．（2025·广东惠州·一模）已知数列
的前n 项和为
，且
．数列
是公比为3 的等
比数列，且
．
(1)求数列
和数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
．
22．设等差数列
的公差为
，前
项和为
，等比数列
的公比为
.已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)当
时，记
，求数列
的前
项和
.
23．（2024·吉林·二模）已知数列
,
(1)求
.
(2)求
的通项公式；
(3)设
的前
项和为
,若
,求
.
重难点题型5 并项求和法
24．已知
，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，
，
，···，2，1，···的前
项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．81
B．90
C．100
D．2021
25．数列
中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排
；第二行
项，从左到右分别排
，
；第三行项……以此类推，设数列
的前
项和为
，则满足
的最小正整数
的值为
A．
B．
C．
D．
26．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，为常数，记
.
(1)若数列
为等差数列，求
的公差.
(2)设
.
①求
的通项公式；
②记数列
的前n 项和为
，证明：
.
27．（2025·陕西·二模）已知等比数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求
.
28．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列
满足
，
(1)记
，求
，
，并证明数列
是等比数列；
(2)记
，求满足
的所有正整数
的值.
29．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
为等比数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．.
重难点题型6 奇偶分段求和法
30．（2024 高三下·河南安阳·月考）已知数列
满足
，且
．
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，求使得不等式
成立的n 的最小值．
31．（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
32．已知数列
中，
，
.
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）求数列
的前
项和
，并求满足
的所有正整数
.
33．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，满足
，
，
数列
满足
，
，且
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设
，
为
的前n 项和，求
.
34．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列
中，
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
35．（2025·天津河北·二模）设数列
是等差数列，
是等比数列．已知
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，数列
的前n 项积为
，证明：
．
重难点题型7 其它综合情况
36．（2024·江西景德镇·二模）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及
苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:
.若正项数列
的前
项和为
,且满足
,数列
的通项公式为
,则根据三角垛公式,可得数列
的前10 项和
（ ）
A．440
B．480
C．540
D．580
37．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利
数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
89，144，233，…、即
，
，
．此数列在现代物理及
化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4 整除后的余数构成一个新的数列
，又记数列
满足
，
，
，则
的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
38．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了
一些新的垛积公式，所讨论的数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者
高次差相等．对这类高阶等差数列的研究·杨辉之后一般被称为“垛积术”．现有高阶等差数列前几项分别
为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第21 项为 .
（注：
）
39．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量
子计算领域，九章量子计算机在2020 年便以不到谷歌
的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技
界的卓越实力．2025 年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分
解为连续奇数组，规律如下：
．．．
记
表示第个等式中第
个量子态能量值（如
），研究人员发现
满足：第
行恰含有个连续奇数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
40．（2023·湖南长沙·模拟预测）若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列”．已知数
列
中，
，点
在函数
的图象上，其中n 为正整数，
(1)证明：数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列；
(2)设
，定义
，且记
，求数列
的前n 项和
．
41．在①
；②
；③
是
与
的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
并给出解答.
问题：已知
为公差不为零的等差数列，其前
项和为
为等比数列，其前
项和
为
常数，
，
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
其中
表示不超过
的最大整数，求
的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
