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重难点培优04 解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破
解
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 含中线（向量法）（★★★★★）................................................................................................3
题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）（★★★★★）.............................................................4
题型三 含中线（同理变形）（★★★★）................................................................................................5
题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）（★★★★）.......................................6
题型五 含角平分线（等积法）（★★★★★）........................................................................................7
题型六 含垂线（★★★）............................................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................10
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................13
一、中线问题
如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD 长.
D
A
B
C
①向量法：
,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
二、角平分线问题
ABC
△
中，AD 平分∠BAC.
①
角平分线定理：
证法1（等面积法）
，得
注：
为A 到BC 的距离，
为D 到AB,AC 的距离.
证法2（正弦定理）
如图，
，
,而
，整理得
2
1
4
3
D
A
B
C
②等面积法
D
A
B
C
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
D
C
B
A
题型
一
含中线（
法）
向量
【技巧通法·提分快招】
1、向量法：⃗AD
2＝1
4 (b2＋c2＋2bccos A).
推导过程：由⃗AD＝1
2 (⃗AB＋⃗AC)，得⃗AD
2＝1
4 (⃗AB＋⃗AC)2＝1
4⃗AB
2＋1
4⃗AC
2＋1
2 ｜⃗AB｜｜⃗AC｜·cos A，
所以⃗AD
2＝1
4 (b2＋c2＋2bccos A).
2、中线长定理：在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推导过程：在△ABD 中，cos B＝A B
2＋B D
2－A D
2
2AB·BD
，在△ABC 中，cos B＝A B
2＋BC
2－A C
2
2AB·BC
，
联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
1．在
中，角
的对边分别为
是
边上的中点，则中线
的长等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北保定·一模）记
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上的中线
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已
知
，点
为
的中点，则中线
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
的内角
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，中线
，求．
5．已知在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求
；
(2)若BD 为AC 边上的中线，且
，求
面积的最大值.
6．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)证明：
.
(2)已知C 为钝角，记
.
（
）求
ⅰ
的取值范围；
（
）若
ⅱ
BD 为AC 边上的中线，求
的取值范围.
题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）
【技巧通法·提分快招】
如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD 长.
D
A
B
C
余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
1．在
中，若
，
，
边上的中线
长为
，则
.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
边上中线
长为1，则
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·浙江绍兴·月考）记
三个内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)设
是
的中线，若
，
，求
.
4．（2025·广东·一模）在
中，角
的对边分别为
，
为边
上的中线.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
的最大值.
5．（24-25 高三上·河北石家庄·月考）在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足
.
(1)求角A；
(2)若
，边
上的中线
，求
的面积．
6．（24-25 高三上·江苏盐城·月考）在
中，
，且
边上的中线
长为1．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的长．
题型三 含中线（
理
形）
同
变
【技巧通法·提分快招】
线段定比分点的向量表达式
如图所示，在
中，若点
是边
上的点，且
（
），则向量
1．如图，在
中，
，
，P 为CD 上一点，且满足
，若
的
面积为
，则
的最小值是（ ）
D
A
C
B
A．1
B．
C．
D．
2．已知
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，
是
上的三等分点（靠近点
）且
，
，则
的最大值是（ ）
A．4
B．
C．
D．2
3．（2025·四川广安·模拟预测）已知在
中，角
，边
.点
在线段
上满足
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 年第四届典韦杯线上联考高考模拟数学试题）在
中，
分别是角
的对边
(1)求
；
(2)若点
是
上靠近
的三等分点，且
，求
．
5．在锐角
中，角
的对边分别是
，向量
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)若
，求
的取值范围.
题型四 含角平分线（角平分线
理
接
（
）
理）
定
和直
正
余
弦定
【技巧通法·提分快招】
三角形中与角平分线有关的解题策略
在△ABC 中，AD 平分∠BAC，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.
1、利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.
2、内角平分线定理：AB
AC ＝BD
DC .
1．在
中，角A 的角平分线交
于点D，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在
中，
，
，
.若
的角平分线
交边
于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川成都·三模）在
中，
，
的角平分线AD 交BC 于点D，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．在
中，角A、B、C 的对边分别为a，b、c，若
，
是
的角平分线，
点
在
上，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
5．（2024·河北沧州·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求证：
；
(2)若
的角平分线交AC 于点D，且
，
，求BD 的长．
6．（2024·江西新余·模拟预测）在
中，
，
为
的角平分线，
在线段
上.
(1)求证：
；
(2)求
的长.
题型五 含角平分线（
法）
等积
【技巧通法·提分快招】
等面积法
因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以1
2 c·ADsinA
2 ＋1
2 b·ADsinA
2 ＝1
2 bcsin A，
所以(b＋c)AD＝2bccosA
2 ，整理得AD＝2bccosA
2
b＋c
(角平分线长公式).
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
，
.
(1)求
的面积；
(2)求
中
的角平分线的长.
2．（2025·湖北武汉·三模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
，
角
的角平分线交
于点
，且
．
(1)求
的长；
(2)求
的面积．
3．已知
中，内角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，
，D 是
边AC
上的一点，且
．
(1)若
，
，求AD；
(2)若BD 为
的角平分线，求
面积的最小值．
4．
的角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点D 在
上，
(1)若
，
，求c；
(2)若
是
的角平分线，
，求
周长的最小值．
5．在
中,
为
的角平分线,且
.
(1)若
,
,求
的面积;
(2)若
,求边
的取值范围.
6．已知
的内角
，
，
的对边为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
；
①
为
的中点，求
底边
上中线
长的最小值；
②求内角
的角平分线
长的最大值.
题型六 含垂线
【技巧通法·提分快招】
垂线问题的处理策略
1、等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
2、AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
1．（2024·江苏·模拟预测）锐角
中，
，
，
，则AB 边上的高CD 长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）在
中，
，且
边上的高为
，则
（ ）
A．
的面积有最大值，且最大值为
B．
的面积有最大值，且最大值为
C．
的面积有最小值，且最小值为
D．
的面积有最小值，且最小值为
3．在
中，内角
所对的边分别是
，若
，
边上的高为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为.
若
，则
的最大值为 .
5．（2025·海南三亚·一模）在锐角
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求边
上的高
的长.
6．（2025·湖北·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若
边上的高
为
，求
的最小值．
7．（24-25 高三上·广东深圳·期末）记
的内角A，B，C 的对边分别为
.
(1)求
；
(2)设AC 边上的高为，若
，且
，求
周长的取值范围.
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线AD=
，那么BC=
．
2．（2024·河北·三模）
中，
，
．则
的角平分线
的长为 ．
3．
中，
的角平分线
交AC 于D 点，若
且
，则
面积的最小值为
.
4．（2025·河南·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为.若
，
，则
的最小值为 ；若
，则
的最大值为 .
5．（24-25 高三上·天津·开学考试）如图，在
中，
为
中点，
为
上一点，且满
足
的面积为
，则
；
的最小值为 .
6．（2024·安徽池州·模拟预测）在
中，
是
的角平分线，且
的面积为1，当
最短时，
．
7．（2024·新疆喀什·三模）在
中，
，
，
，
是
边一点，
是
的角平分线，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
8．在
中，
，
，
，
是
中点，
是
上靠近
的三等分点，则
的长为（）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·广东广州·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，
，
的平分线
的长为
，则
边上的中线
的长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·北京丰台·二模）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
,
，求
边上的高．
11．（2025·北京大兴·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，角
的角平分线交
于点
，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，角
的角平分线为
，求
的长．
12．（24-25 高三下·浙江·开学考试）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角A 的大小；
(2)若BC 边上的高为3，求
面积的最小值.
13．（24-25 高三上·山东德州·期中）已知
中的三个角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求
；
(2)若
的角平分线
交
于
，
，求
面积的最小值.
14．（24-25 高三上·云南·月考）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求A；
(2)若
边上的高为2，且
的平分线交
边于
，
，求
.
15．（2025·河北张家口·一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
.
(1)若
，求；
(2)当BC 边上的中线最小时，求
的面积.
16．（2025·江西·三模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
，求
的最小值．
17．在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，
，求
的值；
(3)设
是边
上一点，
为角平分线且
，求
的值.
18．（24-25 高三上·江苏·月考）在面积为S 的
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)若
，求
周长的最大值；
(2)若
为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求
面积的取值范围．
19．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
的角平分线AD 交BC 于点D．
(1)若
，
，求AD 的长度；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
20．
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，角C 的角平分线为
，求
的长；
(3)若
为锐角三角形，E 为边
的中点，求
的取值范围.
21．在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
.点
在
上，满足
且
.
(1)求角
；
(2)求证：
；
(3)求
面积的取值范围.
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．（24-25 高三上·江西新余·月考）在△
中，
为
的角平分线（
在线段
上），
，当
取最小值时，
（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
面积为1，边
上的中线为
，且
，则
边
的最小值为 ．
3．设
中角
所对的边分别为
，
，，
为
边上的中线；已知
且
，
．则
．
4．（2025·山东青岛·一模）已知
的内角
对边分别为
，
边上的高为h，
，
则
的最小值为 .
5．已知
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求内角A 的角平分线
长的最大值．
