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专题03 平面向量
备战2026 年高考数学命题背景探究（全国通用）
目录
真题命题背景11 以向量平行为命题背景.......................................................................................1
真题命题背景12 以向量垂直为命题背景.......................................................................................1
真题命题背景13 以平面向量基本定理为命题背景.......................................................................2
真题命题背景14 以平面向量线性运算解决几何问题为命题背景...............................................3
真题命题背景15 以平面向量数量积为命题背景...........................................................................4
真题命题背景16 以投影向量为命题背景.......................................................................................4
真题命题背景17 以平面向量模长为命题背景...............................................................................5
真题命题背景18 以平面向量夹角为命题背景...............................................................................6
基础过关练.....................................................................................................................6
提升巩固练.....................................................................................................................8
培优压轴练...................................................................................................................10
真题命题背景11 以向量平行为命题背景
向量的平行关系
，
，
真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量
，若
，则
．
真题命题背景12 以向量垂直为命题背景
向量的垂直关系
真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量
．若
，则
．
真题练2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
1
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真题练3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
真题命题背景13 以平面向量基本定理为命题背景
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
(1) 只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2) 利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减运算或数乘运算.
真题练1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
真题练2．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
2
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真题命题背景14 以平面向量线性运算解决几何问题为命题
背景
向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a 与b 的相反向量
－b 的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ 与向量a 的
积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0 时，
λa 与a 的方向相同；当
λ<0 时，λa 与a 的方向
相反；当λ＝0 时，λa＝
0
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应
抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并
同类项的运算，在计算时可以进行类比．
真题练1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的
结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速
大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线
段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
3
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4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
真题命题背景15 以平面向量数量积为命题背景
向量的数量积
真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
真题练2．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
．
真题练3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
，
，
．
真题命题背景16 以投影向量为命题背景
向量的投影
4
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①定义：如图，设a，b是两个非零向量，⃗AB = a，⃗CD = b，作如下的变换：过⃗AB的起点A和终点B，
分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，⃗
A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
真题练1．（2020·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
真题命题背景17 以平面向量模长为命题背景
向量的模
，则
的模
真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
真题练2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
真题练3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
真题练4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
5
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真题命题背景18 以平面向量夹角为命题背景
向量的夹角
真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
真题练2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
真题练3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
一、单选题
1．（2025·广西·模拟预测）已知向量
，则下列选项中与
同向的单位向量是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
2．（2025·湖南湘潭·一模）平面向量
，
， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形
的边长均为1，则
（ ）
6
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A．-5
B．5
C．1
D．-1
3．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·福建三明·模拟预测）已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·安徽·模拟预测）已知非零向量
满足
，向量
在向量
上的投影向量为
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量
，
且
，则向量
与
夹角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的某地出发，向河
对岸航行．已知船在静水的速度大小为
，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方
式航行到对岸时，所需时间为6 分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量
，若
，则
的值为（ ）
A．10
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2025·全国·模拟预测）设向量
，
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
与
的夹角为钝角
7
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10．（2025·河北保定·三模）已知平面向量
．
与
的夹角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
一、单选题
1．（2025·河北唐山·模拟预测）非零向量
满足
与
垂直，则
与
的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量
，
相互垂直，且
，则满足
的
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知
为坐标原点，直线
与圆
相交于
，
两点，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形
的边长满足
，以
为圆心的圆与
相切
于
，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．
5．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
8
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，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A 港口到B 港口的航行任务，B 港口在A 港口的正北方向．
已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最
短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/s
B．
m/s
C．4m/s
D．
m/s
7．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量
，已知
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
8．（2025·浙江·二模）已知向量
，
，则
，
（
，
），则下列
表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对
，使得
B．存在唯一的实数对
，使得
C．存在唯一的实数对
，使得
D．存在唯一的实数对
，使得
二、多选题
9．（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3 的等边三角形
中，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形
中，
，
，
，
，其中
，
，
，则（ ）
A．
是定值
B．若
，则
9
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C．
D．
一、单选题
1．（2025·广东茂名·一模）向量
与
在单位向量
上的投影向量均为
，且
，当
与
的夹角
最大时，
（ ）
A．8
B．5
C．
D．
2．（2025·河南·一模）已知
，且
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
3．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·安徽·模拟预测）向量
与
在
上的投影向量均为
，
，当
最大时，
则
（ ）
A．
B．6
C．12
D．16
二、多选题
5．（2025·湖北黄冈·二模）设平面向量
的夹角为
，若
，
且
，则
（ ）
A．当
时，
三点共线
B．当
时，
平分
C．当
时，
的最大值为2
10
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D．当
时，
的取值范围为
6．（2025·四川巴中·模拟预测）在
中，角
均不为直角，角
的对边分别为
，
是一
动点，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若
，则
过
的垂心
C．若
，则
过
的重心
D．若
，则
过
的外心
三、填空题
7．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
8．（2025·山东青岛·二模）平面向量满足
，
，则
的最小值为 .
9．（2025·湖南长沙·三模）已知向量
，则当
取得最大值时，
．
10．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在
中，
，点
在以
为直径的半
圆（
外）内及边界上运动，若
，记
的最大值与最小值分别为
，则
.
11
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12
