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专题03 求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围
1．（2024 上·吉林·高二校联考期末）已知双曲线
：
（
，
）的右焦点为F，右顶点
为A，过点F 作x 轴的垂线，垂线与双曲线E 的一个交点为P，
的中点为Q，直线
与直线
（O
为坐标原点）的交点在双曲线E 上，则双曲线E 的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】B
【分析】利用双曲线通径的知识明确点P，Q 的坐标，根据双曲线的对称性就可以得到B 点坐标，再结合
Q，A，B 三点共线，用向量方法可求
，的关系，得到离心率.
【详解】易知
，
，不妨设
，则
．设直线
与直线
的交点为B，
因为B 在双曲线E 上，所以B，P 关于原点对称，即
．
因为Q，A，B 三点共线，所以
．
因为
，
，
所以
，所以
，
．
故选：B
2．（2023 上·山东济宁·高二济宁一中校考阶段练习）设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
是椭圆上一点，
，
，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，由椭圆定义和勾股定理得到
，换元后得到
，根
据二次函数单调性求出
，得到离心率的取值范围.
【详解】设
，
，由椭圆的定义可得，
，
可设
，可得
，即有
，①
由
，可得
，即为
，②
由
，可得
，令
，可得
，
即有
，由
，
可得
，即
，
则
时，取得最小值
；
或4 时，取得最大值
.
即有
，得
.
故选：C
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出
，代入公式
；
②根据条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除
2
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以
或
转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；
③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.
3．（2024 上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）若双曲线
（
，
）的一条渐近线经过点
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出渐近线方程，得到
，从而得到离心率.
【详解】由题意得
的渐近线方程为
，
显然
在
上，故
，
故
，
即双曲线的离心率为
.
故选：A
4．（2023 上·高二单元测试）已知双曲线C：
的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于
x 轴的直线l 与双曲线C 交于M、N 两点，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由题意，设出点M 的坐标，结合所给信息可得
，再利用斜率公式以及离心率公式进行求
解即可．
【详解】因为点M 在双曲线C 上，不妨设
，
3
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因为
，所以
，
故
，即
.
因为双曲线C 的左右顶点分别为
，
而点
满足
，
所以
，
则双曲线C 的离心率
.
故选： A
5．（2024·吉林白山·统考一模）不与坐标轴垂直的直线过点
，
，椭圆
上存在两点
关于对称，线段
的中点
的坐标为
．若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据点差法求出
，再结合
进行计算得出结果.
【详解】设
为坐标原点，在椭圆
中，设
，则
，
4
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所以
，
因为
关于对称，所以
，所以
，
由线段
的中点
的坐标为
，得出
．
所以
，
又
，
∴
，即
，
又
，∴
，所以所求离心率为
.
故选：C．
6．（2023 上·江西宜春·高一校考阶段练习）已知双曲线
(
)的左､右焦点分别为
为双曲线上的一点，
为
的内心，且
，则
的离心率为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】延长
到
且
，延长
到
且
，结合向量的线性关系知
是
的重心，
根据重心和内心的性质，进而得到
，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】如下图示，延长
到
且
，延长
到
且
，
所以
，即
，
故
是△
的重心，即
，
5
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又
，
所以
，而
是
的内心，则
，
由
，则
，故
，即
.
故选：D
【点睛】关键点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到
，再
根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.
7．（2024 上·江苏·高三统考期末）已知反比例函数
（
）的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴
和y 轴，两条渐近线的夹角为
，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线
，由此可求得其离
心率为
.已知函数
的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线
和y 轴，则该双曲线的
离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质，结合旋转即可求解.
【详解】在第一象限内，函数
的图象位于
上方，
6
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由于
和y 轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角
，故
，
不妨将双曲线
绕其中心旋转逆时针旋转
,则可得到其焦点在
轴上的双曲线
，且
两条渐近线之间的夹角
，因此其中一条渐近线的倾斜角为
，
因此
，进而可得
故选：C.
8．（2022 上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）双曲线
：
的渐近线与
圆
相切，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据直线和圆相切列方程，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线
的渐近线为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
由于渐近线和圆相切，所以
，
解得
.
故选：B
9．（2023·四川达州·统考一模）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线分别交双曲线左、右两支于
，
两点，
是以
为斜边的等腰直角三角形，则双曲线离心率为
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定义结合等腰直角三角形的性质可得
，
，再利用余弦定
理可得
，即可得离心率.
【详解】
设
，则
，
由双曲线定义可知
，
，
则
，
又
为等腰直角三角形，则
，即
，
得
，则
，
，
在
中，由余弦定理知
，
即
，
整理可得
，
所以
，
，
8
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故选：B.
10．（2024 上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知椭圆
的上顶点、右顶点、
左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知得到
，结合
关系式即可求出结果.
【详解】由题知等腰三角形的三边为
，
，
，
则
，
即有
，解得
.
故选：D
11．（2021·全国·统考高考真题）设
是椭圆
的上顶点，若
上的任意一点
都满
足
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，由
，根据两点间的距离公式表示出
，分类讨论求出
的最大值，再
构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设
，由
，因为
，
，所以
，
9
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因为
，当
，即
时，
，即
，符合题意，由
可得
，即
；
当
，即
时，
，即
，化简得，
，显然该
不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出
的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
12．（2021·全国·统考高考真题）已知
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出
，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，即
.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立
间的等量关系是求解的关键.
13．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆
的离心率分别为
．若
10
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，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由
，得
，因此
，而
，所以
.
故选：A
14．（2023·天津·统考高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中
一条渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出
，设
，由
得到
，
.再由
三角形的面积公式得到
，从而得到
，则可得到
，解出
，代入双曲线的方程即可得到答
案.
【详解】如图，
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因为
，不妨设渐近线方程为
，即
，
所以
，
所以
.
设
,则
，所以
，所以
.
因为
,所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以双曲线的方程为
故选：D
15．（2022·全国·统考高考真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y
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轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，则
，根据斜率公式结合题意可得
，再根据
，将
用
表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设
，则
则由
得：
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故
，
由椭圆第三定义得：
，
故
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所以椭圆
的离心率
，故选A.
16．（2023 上·湖北·高二湖北省咸宁高级中学校联考阶段练习）（多选题）已知曲线
，
其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B．若
，则曲线的焦点坐标为
和
C．若
，则曲线的离心率
D．若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
【答案】BCD
【分析】通过
的范围，判断曲线的形状，利用特例判断A，求出焦点的坐标，判断B，求出离心率的范
围判断C，求出焦距判断D.
【详解】对于选项A，当
时，曲线
，表示直线
或
，故选项A 错误；
对于选项B，当
时，曲线方程为
，可知曲线
为焦点为
和
的椭圆，故选项B 正
确；
对于选项C，当
时，曲线方程为
，
因为
，可得曲线
为焦点在
轴上的椭圆，
，
，则
，
所以离心率
，因为
，
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所以
，
故选项C 正确；
对于选项D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为
，
所以
，即
，故
，
所以
，
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，故
，所以
，
故焦距
，所以其焦距的最小值为
，故选项D 正确.
故选：BCD.
17．（2024 上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）（多选题）已知双曲线
过点
，且渐近
线方程为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的方程为
B．
的离心率为
C．曲线
经过
的一个焦点
D．直线
与
只有一个公共点
【答案】ACD
【分析】由条件求出双曲线
的方程，可依次判断各个选项.
【详解】由双曲线的渐近线方程为
，可设双曲线方程为
，
，
把点
代入，得
，即
双曲线
的方程为
，故A 正确；
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由
，得
双曲线
的离心率为
，故B 错误；
取
，得
，曲线
过点
，故C 正确；
联立
，化简得
，
，
所以直线
与
只有一个公共点，故D 正确．
故选：ACD．
18．（2023 上·四川攀枝花·高二统考期末）设
是双曲线
：
（
，
）的右焦点，
为
坐标原点，过
的直线交双曲线的右支于点
、
，直线
交双曲线
于另一点
，若
，
且
，则双曲线
的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】设
为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解
，
，再由余
弦定理列式求解双曲线
的离心率即可．
【详解】设
为双曲线的左焦点，如图所示，
由双曲线的对称性可知四边形
为平行四边形，
16
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∴
，
，
而
，所以
，
由双曲线的定义可知，
，
∴
，
，
∵
，∴
，
在
中，由余弦定理知
，
即
，化简得
，
∴
（负值舍去）．
故答案为：
．
19．（2023 上·云南昆明·高二云南师大附中校考期末）
，
分别为双曲线
（
，
）
左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若
的最小值为
，则双曲线的离心率e 的最大值是
．
【答案】3
【分析】根据双曲线的定义
，代入
结合基本不等式可得当且仅当
时取最小
值为
，再根据
求解即可.
【详解】
，
是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以
，
17
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代入得
，
当且仅当
时取等号，即
，
又点P 是双曲线左支上任意一点，所以
，即
，即
.
故答案为：3
20．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知双曲线
：
的左、右焦点分别
为
，
，倾斜角为
的直线
与双曲线
在第一象限交于点
，若
，则双曲线
的
离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.
【详解】
因为倾斜角为
的直线
与双曲线
在第一象限交于点
，
可知直线
的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，
即
，
设
，则
，根据
可知
，
在
中，由余弦定理可知
，
即
，
18
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则
，
故
故答案为：
21．（2023 上·全国·高二专题练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别是F1，F2，过右
焦点F2且斜率为1 的直线与椭圆相交于A，B 两点，若满足
，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
/
【详解】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数、椭圆的离心率公式进行求解即
可.
【解答】设
，
由
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），F2（c，0），
设直线
的方程为
，代入椭圆的方程中，
得
，
因为
，
所以有
，而
，
所以有
，
于是有
19
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故答案为：
22．（2024 上·云南昆明·高二统考期末）已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点为
，
，过
的直线与
轴交于点
，点在
上，且满足
，
，则双曲线
的离心率为
.
【答案】
【分析】如图，设
，
， 由
，可得
，
，后由
结合斜
率公式可得
，后将A 点坐标代入
，整理后可得答案.
【详解】如图，设
，
，
，
，其中
.
由
，则
，则
.
又
，则
，将A 点坐标代入
，
可得
，
则
，又因
，则
.
故答案为：
20
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23．（2020 上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）在平面直角坐标系
中有双曲线
，
以原点为圆心，原点到双曲线的右焦点的距离为半径作圆，当
时，两条渐近线与圆截得的扇形面积为
，则双曲线
的离心率为 .
【答案】
/
【分析】设渐近线的倾斜角为
，由扇形面积得到方程，求出
，从而得到
，进而得到
，
得到离心率.
【详解】设一条渐近线的倾斜角为
，
易知扇形的圆心角为
.
由题意得，
.
，
.
，
则
.
由
，
得
，
21
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双曲线的离心率为
.
故答案为：
24．（2023 上·河北石家庄·高二石家庄市第二十四中学校考期中）已知双曲线
的两
条渐近线均与圆
相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程为
，且右焦点的坐标为
，得到
，结合两
条渐近线均与圆
相切，列出方程求得
，进而求得
的值，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
由题意，双曲线
的渐近线方程为
，即
，
又由圆
，可得圆心
，半径为
，
因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为
，即
，
又因为双曲线
的两条渐近线均与圆
相切，
可得
，即
，解得
，所以
，
所以双曲线的离心率为
.
22
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故答案为：
.
25．（2023 上·江苏镇江·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系
中，点F 是双曲线
（
，
）的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长
与双曲线的左支交于
点B．若
，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据条件与向量的坐标表示，依次求出
的坐标，代入双曲线方程即可得解.
【详解】因为双曲线
（
，
），不妨设其半焦距为，
在
轴上方，
所以
，满足题意的渐近线为
，
所以
，则直线
为
，
联立
，解得
，即
，
设
，则由
，得
，
则
，即
，即
，
23
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因为点
在双曲线
上，
所以
，整理得
，则
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
24
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26．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为
D，过
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到
或
，即可得解，注意就
在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为B，
所以
，因为
，所以
在双曲线的左支，
，
，
，设
，由即
，则
，
25
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选A
情况二
若M、N 在双曲线的两支，因为
，所以
在双曲线的右支，
所以
，
，
，设
，
由
，即
，则
，
所以
，即
，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
26
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过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点都在左支,
，
，
则
，
特值双曲线
，
过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点在左右两支，
在右支，
，
，
则
，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，
若
分别在左右支，
因为
，且
，所以
在双曲线的右支，
又
，
，
，
设
，
，
在
中，有
，
故
即
，
27
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所以
，
而
，
，
，故
，
代入整理得到
，即
，
所以双曲线的离心率
若
均在左支上，
同理有
，其中
为钝角，故
，
故
即
，
代入
，
，
，整理得到：
，
故
，故
，
故选：AC.
28
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27．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直
线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由
及抛物线方程求得
，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线
的
方程，联立抛物线求得
，即可求出
判断B 选项；由抛物线的定义求出
即可判
断C 选项；由
，
求得
，
为钝角即可判断D 选项.
【详解】对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，则
29
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，
则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为钝角，
又
，则
为钝角，
又
，则
，D 正确.
故选：ACD.
28．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到
关于
的表达式，
从而利用勾股定理求得
，进而利用余弦定理得到
的齐次方程，从而得解.
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方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得
，
，将点
代入双曲线
得到关于
的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
（舍去），
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
.
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
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所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
（舍去），故
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于
的齐次方程，从而得解.
29．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线
的实半轴、虚半轴长，再写出
的方程作答.
【详解】令双曲线
的实半轴、虚半轴长分别为
，显然双曲线
的中心为原点，焦点在x 轴上，其半
焦距
，
由双曲线
的离心率为
，得
，解得
，则
，
所以双曲线
的方程为
.
故答案为：
30．（2023·全国·统考高考真题）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为
.
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为
，最后利
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用点的坐标和准线方程计算点
到
的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
.
故答案为：
.
31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率为
的直线
交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心
率是 ．
【答案】
【分析】联立直线
和渐近线
方程，可求出点
，再根据
可求得点
，最后根据
点
在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过
且斜率为
的直线
，渐近线
，
联立
，得
，由
，得
而点
在双曲线上，于是
，解得：
，所以离心率
.
故答案为：
．
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32．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线
的离心率为e，写出满足条件“直线
与C 无公共点”的e 的一个值 ．
【答案】2（满足
皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线
中
即可求得满足要求的e 值.
【详解】解：
，所以C 的渐近线方程为
,
结合渐近线的特点，只需
，即
，
可满足条件“直线
与C 无公共点”
所以
，
又因为
，所以
，
故答案为：2（满足
皆可）
33．（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
轴，则该直线的斜率是
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，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设
，根据图形可知，
，再根据同角三角函数基本关系即可求出
；再根据椭圆的定义求出
，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设
，设切点为
，
，
所以
, 由
，所以
，
，
于是
，即
，所以
．
故答案为：
；
．
34．（2021·全国·统考高考真题）已知
为坐标原点，抛物线
：
(
)的焦点为
，
为
上
一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
，若
，则
的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示
，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得
，即得结果.
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【详解】抛物线
：
(
)的焦点
,
∵P 为
上一点，
与
轴垂直，
所以P 的横坐标为
，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为
,
不妨设
,
因为Q 为
轴上一点，且
，所以Q 在F 的右侧，
又
，
因为
，所以
,
，
所以
的准线方程为
故答案为：
.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
36
