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专题03 求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围
1、椭圆中的最值问题：
2、.在求椭圆
离心率范围时常用的不等关系：
，
，
（P 为椭圆上一点）
3、焦点三角形：
4、点差法：
5、通径以及通径的推广：
1
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(一) 借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用
进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率
的范围.
【例1】、（1）已知两定点
和
,动点
在直线
上移动,椭圆
以
为
焦点且经过点
,则椭圆
的离心率的最大值为（ ）
A．
B．
C.
D．
【答案】A
【解析】
关于直线
的对称点为
,连接
交直线于点
,则椭圆
的长轴
长的最小值为
,所以椭圆
的离心率的最大值为
,故选A.
【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值
（2）．（2021·江苏省如皋中学）焦点在x 轴上的椭圆方程为
＋
＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两
个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为
，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
根据三角形
的面积建立有关
的关系，得到
，即可求出离心率.
【详解】
由题意，如图：
2
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由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，
，所以
，故椭圆离心率
．
故答案为：
.
（3）．（2023 上·江苏常州·高二校联考期中）(多选题)已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，
的面积为，则（ ）
A．点
的横坐标为
B．
的周长为16
C．
的内切圆的半径为
D．
的外接圆的半径为
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径
的关系，正余弦定理，即可依次得出答案.
【详解】由题意知
，
，
，则
，
.
对于A 选项，因为
，解得
，又
，
则
，
，故A 错误；
对于B 选项，
的周长为
，故B 正确；
对于C 选项，设
的内切圆的半径，
3
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则
，
又
，
，
解得
，故C 正确；
对于D 选项，在
中，
由
，
解得
，
又
，
即
，
整理得：
，
即
，
即
，
又
，
解得
，
设
的外接圆的半径为
，
由正弦定理知：
，即
，解得
，故D 正确.
故选：BCD.
【小试牛刀】（1）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆
与圆
，
4
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若在椭圆
上存在点
，使得过点
所作的圆
的两条切线互相垂直，则椭圆
的离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
若长轴端点
，由椭圆性质：过
的两条切线互相垂直可得
，结合
求椭圆离心
率的范围.
【详解】
在椭圆
的长轴端点
处向圆
引两条切线
，
，
若椭圆
上存在点
，使过
的两条切线互相垂直，则只需
，即
，
∴
，得
，∴
，又
，
∴
，即
．故选：C
（2）．（2021·湖南永州·高三）已知椭圆的方程为
，
､
为椭圆的左右焦点，
为
椭圆上在第一象限的一点，
为
的内心，直线
与
轴交于点
，若
，则该椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
连接
､
，
是
的内心，得到
为
的角平分线，即
到直线
､
的距离相等，利
5
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用三角形的面积比，得到
，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，连接
､
，
是
的内心，
可得
､
分别是
和
的角平分线，
由于经过点
与
的内切圆圆心
的直线交
轴于点
，
则
为
的角平分线，则
到直线
､
的距离相等，
所以
，同理可得
，
，
由比例关系性质可知
.
又因为
，所以椭圆的离心率
.
故选：A.
【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
6
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（3）．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1(－c，0)，
F2(c，0)，斜率为
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若△ABF1的重心为G
，则椭圆C 的离心率为
．
【答案】
【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得
，
，代入上式，
即可求解.
【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得
＋
＝0.(*)
因为△ABF1的重心为G
，
所以
故
代入(*)式得
，
所以
＝
＝
，即a2＝3b2，
所以椭圆C 的离心率e＝
.
故答案为：
(二) 借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,
的范围等,进一步得到
离心率的不等关系式,从而求解.
7
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【例2】、（1）已知椭圆
上一点
关于原点
的对称点为
为其右焦点,若
设
且
则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式
,然后借助已知条件
利用三角函数的图象求解离心率的范围.
（2）已知平行四边形
内接于椭圆
，且
，
斜率之积的范围为
8
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，则椭圆
离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意，
关于原点对称，设
，
，
，故选A.
（3）．（2023 上·吉林四平·高二统考期中）（多选题）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，点
是椭圆C 上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的周长为
B．
的面积的最大值为2
C．若
，则
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】选项A，由定义可得；选项B，
，数形结合当点
到
的距离最大，即高最大时面积最
大；选项C，设点表达
，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用
的斜率意义，转化为
直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.
9
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【详解】选项A，由椭圆方程
可知，
，
所以
的周长
，故A 正确；
选项B，因为点
是椭圆C 上异于左、右顶点的一点，
所以
，
所以
的面积
，
当
，即
时，
即点
位于短轴端点时，
的面积最大，最大为2，故B 正确；
选项C，由
，点
，且
，
因为
，
当
时，
取最小值，且最小值为
，故C 错误；
选项D，
的几何意义为
与点
两点连线的斜率，设为
，
由
得
，
，
解得
，
如图，当直线
与椭圆C 相切时，
，
10
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所以
的最小值为
.故D 正确.
故选：ABD.
【小试牛刀】．（1）设
为椭圆
上一点，点
关于原点的对称点为
，
为椭圆的
右焦点，且
，若
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设左焦点为
，根据椭圆定义
，可得
，设
，则由
可得
，整理得
，根据
可求.
【详解】
为椭圆上一点，点
关于原点的对称点为
，则
也在椭圆上，
设左焦点为
，则根据椭圆定义
，
又
，
，
是
的斜边中点，
，
设
，则
，
，
，
，
11
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即
，
，
，
，
.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的性质，解题的关键是将离心率表示为关于
的函数.
（2）．（2021·全国高二单元测试）已知椭圆
，
，
分别为椭圆
的左右顶点
､
，
若在椭圆
上存在一点
，使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设
，得到
，结合
，得到
，结合离心率的定义，
即可求解.
【详解】
由题意，椭圆
，可得
，
，
设
，代入椭圆的方程，可得
，
则
，
12
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即
，即
.
又因为
，所以
.
故选：A.
（3）．（2023·江西鹰潭·统考一模）
，
是椭圆E：
的左，右焦点，点M 为椭圆E
上一点，点N 在x 轴上，满足
，
，则椭圆E 的离心率为 .
【答案】
【分析】根据
，得到
，且
是
的角平分线，再结合
和角平分线定理得到
，然后在
中，利用勾股定理求解.
【详解】解：因为
，
所以
，则
是
的角平分线，
所以
，
又因为
，
所以
，设
，
由椭圆定义得
，
即
，解得
，
则
，
13
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则
，
所以
，则
，
故答案为：
(三) 借助函数的值域求解范围
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函
数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】、（1）（2021·广东广州市第二中学高二月考）已知椭圆
的左右焦点分别
是F1，F2，过右焦点F2且斜率为
的直线与椭圆相交于A，B 两点，若满足
，则椭圆的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先设直线
，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得
，与根与系数
的关系联立消元可得
，求得椭圆的离心率.
【详解】
设直线方程为
，设
，
，与椭圆方程联立得
，
，
①
14
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，
，
得
②，由①②联立可得，
即
，得
，
椭圆的离心率
.
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求
离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据
直接求，2.根据条件建立关于
的齐次方程求
解，3.根据几何关系找到
的等量关系求解.
（2）．（2021·浙江高一期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上、下顶点分
别是
，
，点C 在椭圆上，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由
，得到
，得出
，代入椭圆的方程，求得
，即可求解.
【详解】
由题意，可得
，设
，
因为
，则
，可得
，即
，
15
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因为C 在椭圆上，所以
，即
，
所以离心率为
.
故选：B.
【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
（3）、（2023 上·河北保定·高三校联考开学考试）（多选题）已知椭圆
：
的左、
右焦点分别为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，则（ ）
A．
B．
的面积等于
C．直线的斜率为
D．
的离心率等于
【答案】ABD
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知
，且满足
，即可得A 正确；易
知
可得B 正确；在等腰直角三角形
中，可知直线的斜率为
，计算可
得
的离心率等于
.
【详解】由
可知，
16
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不妨设
，又
，可得
；
利用椭圆定义可知
，所以可得
；
即
，所以点
即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：
由
，
可知满足
，所以
；即A 正确；
所以
为等腰直角三角形，且
，
因此
的面积为
，即B 正确；
此时可得直线的斜率
，所以C 错误；
在等腰直角三角形
中，易知
，即可得离心率
，即D 正确；
故选：ABD
【小试牛刀】．（1）（2021·合肥百花中学（理））已知椭圆
的右焦点为F，过点
F 作圆
的切线，若两条切线互相垂直，则C 的离心率为_________．
【答案】
【分析】
根据题意画出示意图，得到
，两边平方，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
17
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由题意，椭圆
，可得右焦点为
，
因为过点
作圆
的切线，可得
，则
，
即
，即
，可得
，所以
.
故答案为：
.
(2)．（2022·浙江高三专题练习）设
,
分别是椭圆
的左右焦点，过点
､
的直线
交椭圆
于
两点，
，若
，则椭圆
的离心率为___________.
【答案】
【分析】
求椭圆的离心率，要列出关于
的等量关系式，设
，根据椭圆的定义以及
，
可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于
的表达式，根据几何关系可以列出关于
的等量关系式，从而求出离心率
【详解】
设
，则
，
，
，
.
18
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，
在
中，由余弦定理得，
，
，
化简可得
，而
，故
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
椭圆的离心率
，
故答案为：
.
【点睛】
题目考察比较综合，需要根据图形列出各边之间的关系式，找到关于
之间的关系，进而求解离心率，
涉及到了以下考点：
（1）椭圆的第一定义
（2）三角形的余弦定理
（3）离心率的计算
(四) 根据椭圆自身的性质或基本不等式求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆
中,
,P 是椭圆上任意一点,则
等.
19
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例4．（1）（2022·江苏高三专题练习）已知F 是椭圆
的一个焦点，若直线
与椭
圆相交于A，B 两点，且
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据已知结合椭圆对称性有
为平行四边形且
，由余弦定理可得
，应用基本不等式有
，即可求椭圆离心率的范围.
【详解】
连接A，B 与左右焦点F，
的连线，由
，
由椭圆及直线的对称性知：四边形
为平行四边形，且
，
在△
中，
，
∴
，可得
，即
，则
，
∴椭圆的离心率
，
故选：C．
（2）、【2020 届河北省正定中学高三上第五次月考】设
为椭圆
的左、右焦
点,且
,若椭圆上存在点
使得
,则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
20
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【点评】
为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把
转化成基本
量
,
,
与
的关系式,结合椭圆的范围,即可得到
的不等式,从而求出其最小值．
（3）、（2023·山西吕梁·统考二模）（多选题）已知椭圆
：
（
），
，
分别为其左、
右焦点，椭圆
的离心率为，点
在椭圆上，点
在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．不存在点
，使得
C．当
时，
的最大值为
D．
的最小值为1
【答案】ABC
【分析】A：根据点
在椭圆内部可得
，从而可得
的取值范围，从而可求离心率的取值
范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c 和
，利用椭圆定义将
化为
，数形结合即
可得到答案；D：利用
可得
21
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，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得，
，所以
，
则
，故A 正确；
对于B，由
可知，点
为原点，显然原点不在椭圆上，故B 正确；
对于C，由已知
，
，所以
，
．
又
，则
．
根据椭圆的定义可得
，
所以
，
由图可知，
，
所以
当且仅当
，
，
三点共线时，取得等号．
故
的最大值为
，故C 正确；
对于D，因为
，
22
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所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
所以，
的最小值为
，故D 错误．
故选：ABC
【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
【小试牛刀】（1）已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任
意一点,若
2
1
2
PF
PF
的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A．
1,3 B．1, 3 C．
3,3
D．
3,
【答案】A
【解析】本题以双曲线为素材,综合考查双曲线的离心率和函数的最值,难度中等．设
,则
,
．又
,当且仅当
时,等号成立．所以
,所以
．故选A．
（2）．（2021·浙江温州市·高二期末）如图，点
为椭圆
：
的左焦点，直线
23
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分别与椭圆
交于
、
两点，且满足
，
为坐标原点，
，则椭圆
的离心率
______．
【答案】
【分析】
设椭圆的另一个焦点为
，则
为平行四边形，由条件可得
，然后由椭圆的定义可得
，再在
用勾股定理，进而求出离心率．
【详解】
如图，设椭圆的另一个焦点为
，连接
，
根据椭圆的对称性可得，
为平行四边形，
由FA⊥AB，在
中, ∠ABF＝∠AFO，
，得
，
24
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在
中有，
,得
，
，
，由椭圆的定义有：
，
在
中：
，即
化简整理得:
,两边同时除以
化为：
，
解得：
.
所以椭圆的离心率为：
故答案为：
.
25
